19.3.1矩形第19章四边形第1课时矩形的性质
学习目标1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.（重点）2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.（重点、难点）3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.（重点）
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.导入新课情景引入
思考长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？你还能举出其他的例子吗？
讲授新课矩形的性质一活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.矩形
平行四边形矩形有一个角是直角矩形是特殊的平行四边形.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.归纳总结平行四边形不一定是矩形.
思考因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？可以从边，角，对角线等方面来考虑.
活动2：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
ABCDOABADACBD∠BAD∠ADC∠AOD∠AOB橡皮擦课本桌子物体测量（实物）（形象图）（2）根据测量的结果,你有什么猜想？猜想1矩形的四个角都是直角.猜想2矩形的对角线相等.你能证明吗？
证明：由定义，矩形必有一个角是直角，设∠A=90°.∵AB∥DC，AD∥BC，∴∠B=∠C=∠D=90°.（两直线平行，同旁内角互补）即矩形ABCD的四个角都是直角.已知,矩形ABCD.求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.ABCD证一证
证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.ABCDO如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相较于点O.求证：AC=DB.
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有：矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.归纳总结几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相较于点O.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.ABCDO
例1如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形对角线的长.解：∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD，OA=OC=AC,OB=OD=BD,∴OA=OB.又∵∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=4，∴AC=BD=2OA=8.ABCDO典例精析矩形的对角线相等且互相平分
例2如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF=DC.ABCDEF证明：连接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.又∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.
例3如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.又由折叠知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
思考请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?矩形的性质：对称性：.对称轴：.轴对称图形2条
练一练1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）A．AB∥DCB．AC=BDC．AC⊥BDD．OA=OBABCDOC
2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
3.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
直角三角形斜边上的中线的性质二ABCDO活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.BCOA问题Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.试给出数学证明.
OCBAD证明:延长BO至D,使OD=BO,连接AD、DC.∵AO=OC,BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:BO=AC?∴BO=BD=AC.1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.性质证一证
例4如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18.
(2)求证：EF垂直平分AD.证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD.当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．归纳
例5如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.解：连接EG，DG.∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BDC＝∠BEC＝90°.∵点G是BC的中点，∴EG＝BC，DG＝BC.∴EG＝DG.又∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE.在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．归纳
如图，在△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=_____cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm,则AC=_____cm,BD=_____cm.ABCD6105练一练
归纳总结直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型
当堂练习1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角线相等B.对边相等C.对角相等D.对角线互相平分2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为()A.13B.6C.6.5D.不能确定3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是()A.20°B.40°C.80°D.10°ACC
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．2.55.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．6第4题图第5题图
6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE;（2）若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.ABCDOE(1)证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,∴BD=2BO=2×4=8.∵∠DBC=30°,∴CD=BD=×8=4,∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在Rt△BCD中,BC=∴四边形ABED的面积=×(4+8)×=.ABCDOE
7.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.解：连接OP.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=S矩形ABCD=×6×8=12.在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，∴AO=OD=5，∵S△APO+S△DPO=S△AOD，∴AO·PE+DO·PF=12，即5PE+5PF=24，∴PE+PF=.能力提升：
课堂小结矩形的相关概念及性质具有平行四边形的一切性质四个内角都是直角，两条对角线互相平分且相等轴对称图形有两条对称轴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
