单项式与多项式相乘一、说教材 《整式的乘法》是北师大版教材第一章《整式的乘除》重要内容。是进一步学习方程、函数以及其它数学知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的工具。与其它数学知识一样，它在工业生产和实际生活中有着广泛的应用。 学习单项式与多项式乘法并熟练地进行运算是学好整式乘法的关键，为学生综合运用多种运算法则拓宽了空间，有利于学生对双基的掌握，在综合运用多种运算法则的过程中，逐渐形成运算能力，同时本节课的教学难度有所增加。单项式与多项式乘法、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等运算法则的综合运用，又是今后将要学习的多项式乘以多项式的基础。同时，本课中由图形面积引入单项式乘以多项式的法则也渗透着数形结合的数学思想。由此可以看出，单项式乘以多项式的学习既是前面学习的综合应用，又是后续学习的基础，本节课教学质量的好坏将直接影响着学生的后续学习。考虑到以上这些因素，确定本节课的目标和重点、难点如下：说知识目标： 1．理解和掌握单项式与多项式乘法法则及推导． 2．熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算．说能力目标：培养灵活运用知识的能力，通过用文字概括法则，提高学生数学表达能力．感受整体思想、转化思想和数形结合思想，并培养学生由具体到抽象的思维能力。通过反馈练习，培养学生计算能力和综合运用知识的能力。说情感目标：学生从已有知识出发，通过适当的探究、合作讨论、实践活动，获得一些直接的经验，体会数学的实用价值，体验单项式与单项式的乘法运算的规律，享受体验成功的快乐。体会公式恒等变形的数学美．说教学重点： 单项式与多项式乘法法则及其应用．这是因为单项式与多项式乘法法则的导出是对学生已有的数学知识的综合运用，渗透了“将未知转化为已知”的数学思想，蕴含着“从特殊到一般”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一。说教学难点：单项式与多项式相乘时结果的符号的确定．这是因为单项式与多项式乘法最终将转化为有理数乘法、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等运算，对于初学者来说，由于难于正确辩论和区别各种不同的运算以及运算所使用的法则，易于将各种法则混淆，造成运算结果的错误。同时由于课本弱化了对于单项式系数、次数和多项式次数、项数的定义，学生在解题中容易混淆。实际教学中发现学生一是容易忽略多项式的每一项包含前面的符号，二是对于多项式次数不理解。课时安排：一课时．教具学具准备：多媒体设备．师生互动活动设计1．设计一道可运用乘法分配律进行简便运算的题目，让学生复习乘法分配律，并为引入单项式与多项式的乘法法则打下良好的基础．5
2．通过面积分割法，形象直观地引入单项式与多项式的乘法法则，并引导学生用文字语言概括出其结论． 3．通过举例，教师分析、讲解并示范板书全过程，让学生规范解题过程，再通过反复的练习巩固所学过的法则．二、说学情学生的知识技能基础：在第一节课的学习中，学生已学会了单项式与单项式相乘的法则，并通过练习进一步巩固了幂的运算性质，在练习的过程中，体会了运用法则进行计算的算理。本节课所学主要知识是单项式与多项式相乘，就是将其转化为单项式与单项式相乘，学生只要理解转化的方法和依据，本节课知识就迎刃而解了。所以，通过前面的学习，学生具备了学习本课的知识基础。从前一节课的学习中，力求通过变式练习及巩固检测，帮助学生加深对于幂的运算性质的区分及应用，学生的计算能力得到进一步提高，也为本课学习奠定了基础。学生的活动经验基础：在上一节课的学习中，学生经历了从实际问题中抽象出数学问题，并在解决问题的过程中探究得出单项式与单项式相乘的法则的过程，具备了解决此类问题的经验，另外在学习过程中也体会到了数学知识之间的相互联系与转化，例如单项式乘法转化为同底数幂的乘法，初步具有的这种数学思想也为本节课学习打下了基础。三、说教法与学法本节课在教学过程中的不同阶段采用了不同的教学方法，以适应教学的需要．（1）在新课学习阶段单项式与多项式乘法的法则的推导过程中，采用引导发现法．通过教师精心设计的问题链，引导学生将需要解决的问题转化成用已经学过的知识可以解决的问题，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用，学生始终处在观察思考之中．（2）在新课学习的例题讲解阶段，采用讲练结合法．对于例题的学习，围绕问题进行，教师引导学生通过观察、思考，寻求解决问题的方法，在解题的过程中展开思维．与此同时还进行多次有较强针对性的练习，分散难点．对学生分层进行训练，化解难点．并注意及时矫正，使学生在前面出现的错误，不致于影响后面的学习，为后面学习扫清障碍．通过例题的讲解，教师给出了解题规范，并注意对学生良好学习习惯的培养．（3）本节课可以师生共同小结，旨在训练学生归纳的方法，并形成相应的知识系统，进一步防范学生在运算中容易出现的错误．学生学法：学习单项式与多项式相乘的运算法则是运用了“转化”的数学思想方法，利用分配律把单项式乘以多项式问题转化为前面学过的单项式与单项式相乘；最后再合并同类项，故在学习中应充分利用这种方法去解题．四、说程序以下是我对本课教学过程的设计。 本节课共设计了四个环节：提出问题，引入新课—借助情境，探究规律—变式训练，巩固新知—延伸拓展，解决问题。第一环节：提出问题，引入新课活动内容：教师依次提出以下几个问题：（1）叙述单项式乘法法则．单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）什么叫多项式？说出多项式的项和各项系数.5
（3）如何进行单项式的乘法运算？①系数相乘为积的系数；②相同字母因式，利用同底数幂的乘法相乘，作为积的因式；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；④单项式与单项式相乘，积仍是一个单项式；⑤单项式乘法法则，对于三个以上的单项式相乘也适用．整式乘法除了我们上节课学习的单项式乘以单项式外，还应包含哪些内容？学生回答，还应该有单项式乘以多项式和多项式乘以多项式。感受问题引入今天将学习单项式与多项式相乘。依据及活动目的：单项式乘以多项式最终转化为单项式乘以单项式，所以帮助学生理解单项式与多项式的联系非常重要。问题1、2的设计是让学生从宏观上把握所学知识间的关系，而不是只见树木，不见森林。不仅回顾上节课所学知识，而且自然复习有关多项式的知识，为本节课奠定基础。问题3渗透了分类讨论的思想，围绕整式乘法，让学生列举出整式之间都包含哪些运算？有利于学生理解知识之间的联系，将本单元知识融会在一起。第二环节：借助情境，探究规律：活动内容：给学生提供如下问题情景，并通过问题，引导学生积极探索，发现单项式与多项式相乘的运算规律：mabc1．实际问题：如图所示，这个长方形可分割为宽为m，长分别为a、b、c的三个小长方形，求长方形面积.让学生独立思考完成。2．提出问题：（1）你是怎样列式表示长方形的面积的?是否有不同的表示方法？其中包含了什么运算?与同伴交流.通过小组交流学生可以发现此问题的解决可以有不同的途径：利用面积的不同表示方法：通过小组交流，学生会发现同一部分的面积有了不同的表示方法，自然会去探究两种表示方法的关系，通过教师适时提出问题，引导学生发现两种不同的运算一方面是包含单项式与单项式乘法、再把所得的积相加，另一方面是单项式与多项式相乘，二者最终是统一的，从而发现单项式乘以多项式的方法。这时再通过问题3，让学生进行更深层次的思考。（2）由上面的探索，我们得到了m(a+b+c)=ma+mb+mc，你能用所学过的知识来说明上面的等式成立的原因吗?上面等式从左到右运用了乘法分配律，将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式。（3）你能用上面的方法计算吗？请说明每一步的依据。（4）通过以上过程，你发现如何进行单项式与多项式相乘的运算？请你试着用语言来描述。鼓励学生用自己的语言描述自己所发现的规律，教师再适时进行数学语言的渗透，师生共同概括出：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。5
依据及活动目的：以上环节，教师用大量的时间，从实际问题出发，利用环环相扣的问题，为学生创设了思考与探究的空间。由于课本提供的问题情景与上节课相类似，不易激发学生兴趣，因此选取了另外一个同样是学生身边的实际问题。一方面学生能够直接用长宽表示画面的面积，另一方面可能用面积差得到结果，这样不同的结果引发学生的讨论，最终发现二者是相等的，从而得到本节课关键的等式=。教师再引导学生运用乘法的分配律、同底数幂乘法的性质等说明上面等式成立的原因，教师又通过问题3再次要求学生运用以上方法进行计算，目的是让学生获得更充分的体验，由此体会到乘法分配律的重要作用，明确算理，为利用法则进行计算奠定基础。在此基础上，学生可以自己总结出单项式乘以多项式的运算法则，并运用语言进行描述，帮助学生总结法则。在教学过程中，教师要帮助学生进一步体会到转化的数学思想。第三环节：变式训练，巩固新知活动内容：通过一组例题和练习，让学生在应用法则解决问题的过程中，获得解题体验，学会方法，进一步明确算理。例1计算：（1）（2）（3）（4）例2计算：先让学生独立尝试进行计算，再结合自己解答过程中遇到的困难、出现的错误或悟出的解题体会，在四人小组中进行交流，并将小组讨论的结果在全班进行交流。在此过程中，教师可安排学生上黑板板演解题过程，结合学生出现的问题，示范解题的步骤。同时围绕以下两个问题引导学生进行解题后的反思、总结：（1）单项式与多项式乘法的方法与步骤是什么？（2）解题时应注意哪些问题？教师与学生共同概括出：单项式与多项式相乘的步骤：①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；②转化为单项式的乘法运算;③把所得的积相加.解题时需要注意的问题：①单项式乘多项式的积仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。②单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号的确定，多项式中的每一项前面的符号是性质符号，同号相乘得正，异号相乘得负，最后写成省略加号的代数和的形式。③单项式要乘以多项式的每一项，不要出现漏乘现象。④混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。随堂练习：1．判断正误：（1）m(a+b+c+d)=ma+b+c+d()（2）（）（3）(-2x)•（ax+b-3）=-2ax2-2bx-6x()5
2．计算：（3）（4）（5）(6)3．先化简,再求值：2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中a=2,b=-3.依据及活动目的：在应用法则进行计算时，需要有一定的方法和步骤，以上设计并不是由教师讲给学生听，再进行简单的模仿，而是先让学生独立尝试解决。教师提前就预料到学生容易出现这样那样的错误，但是只有让学生在解决问题的过程中亲身经历困难，才能获得解决问题能力的提高，即使学生独立解决不了，那在小组合作中才有交流的实际内容。其中第3，4题有一定的难度，也有易错点，学生可以结合自己的实践总结出解题步骤和注意事项，提高认识，再进行变式训练，及时巩固。变式训练的难度与类型较例题有一定的变化，目的是不断促进学生思考，不断运用所学知识解决新问题，在解决问题的过程中获得能力的提高。第四环节：延伸拓展，解决问题：活动内容：学生探究完成以下几个拓展题：1．2．求证对于任意自然数n，代数式n(n+7)-n(n-5)+6的值都能被6整除。依据及活动目的：设计本组练习的目的在于引导学生利用单项式与多项式的乘法解决数学问题，提高学生的综合能力。其中第1题需要学生合理运用题中信息列式解决，第2题综合运用方程的思想，与上一节课的类似练习相呼应，加深认识，第3题是一个证明题，通过本环节训练，学生能够更灵活地应用本节课所学知识解决不同类型的问题，提高分析问题和解决问题的能力，达到较高层次的要求。课堂小结：师生以谈话交流的形式共同总结本节课所学知识：1.本节课我们学习了那些内容？2.单项式乘以多项式的依据是什么？3.如何进行单项式与多项式乘法运算及注意事项？4．转化的数学思想。5
