第二十二讲统筹优化与操作1.如下图(1)所示，10个圆球在桌子上排成了一个三角形，为将它们摆放成图(2)所示的形状，最少需要移动______个圆球．2.用一个平底锅煎鱼，每次只能煎2条，煎一条鱼需要2分钟（正反面各需1分钟）．如果要煎7条鱼最少需要______分钟．3.小谢要把32张奖状贴到办公室的墙上，他用胶涂好一张奖状需要2分钟，涂好后至少需要等待2分钟才可以开始往墙上粘贴，但是若等待时间超过6分钟，胶就会完全干掉而失去作用．如果小谢粘贴一张奖状还需要1分钟时间，那么，小谢粘贴完全部奖状最少需要_____分钟．4.有1、2、4、5、7克的砝码各一个，丢失了其中一个砝码，结果天平无法称出10克的重量（砝码必须放在天平的一边），丢失的砝码重______克．A.1B．2C．4D．75.今天是12月19日，我们将由边长为1的阴影小正方形组成的数字1、2、1、9放在8×5的大长方形中（见下图），将大长方形旋转180。，就变成了“6121”．如果将这两个8×5的长方形重叠放置，那么重叠的l×1的阴影格子共有______个．6.下图是由某个英文字母形状的纸片折叠1次后形成的样子．请你说出是哪个英文字母，除了“L”还有可能是______.第1页/共15页 7.下图是体操运动员小燕倒立时看到镜子中另一正常站立的运动员小杰的号码，则小杰的号码是_______.8.下面是三个珠子的汉诺塔问题，要求借助2号杆子把1号杆子的三个珠子移动到3号杆子上而不改变珠子的上下顺序．移动规则如下：(1)每次只能移动1个珠子(2)大珠子不能放到小珠子上面问：至少要移动多少次才能完成？9.有一段长绳，把它对折八次，然后用剪刀沿折完后的中点将它剪断．请问剪完后，这条绳子共被分成几小段？10.有21个完全相同的瓶子，其中7个瓶子内装满了果汁、另7个瓶子内只装有半瓶的果汁、其余7个瓶子则是空的．如果不允许从任何瓶中倒出果汁，要求将这些瓶子分成三组，每组七瓶，使得每组的瓶子内所装的果汁之总量都相同．请问在所有可能的分组方案中，在同一组中装有半瓶果汁的瓶子最多能有几个？11.取一张狭长的纸条，扭转半圈并把两端接在一起，形成下图所示的“缪比乌斯带”（缪比乌斯是一位著名的数学家）．请问：如果沿着这条带子的正中央剪开带子，纸带会变成什么样子呢？答_______．（提示填：两个分开的细纸环；两个细纸环，一个套住另一个；一个更大的细纸环或一条更长的纸条）第2页/共15页 12.如下图所示，将两个任意大小的三角形部分重叠，它们的公共部分是由3条线段组成的．那么经过你的摆放后，它们的公共部分的边数最大可能是多少？请画出示意图.13.如下图所示，17根火柴棒拼成了图中的三位数“369”，请你移动两根火柴棒，组成一个新的三位数，这个新的三位数最大是_______.14.如下图所示，在3×3的方格中，各有一个数，由一张或两张数字卡片组成，请你移动一张卡片，使每行每列三个数的和都相等，用箭头表示将哪一张卡片移动到哪里，15.妈妈买了8只月饼，按下图所示的方法放在盒内．(1)小红吃掉了盒中的4个月饼，使得外围的每横行、每竖列都剩下2个，请在下图(1)中勾出小红吃掉哪几个月饼？（在吃掉的月饼上打勾）(2)小红吃掉了盒中的3个月饼，使得外围的每横行、每竖列都剩下2个，请在下图(2)中勾出小红吃掉哪几个月饼？（在吃掉的月饼上打勾）(3)小红吃掉了盒中的2个月饼，使得外围的每横行、每竖列都剩下2个，请在下图(3)中勾出小红吃掉哪几个月饼？（在吃掉的月饼上打勾）第3页/共15页 16.国际象棋中“马”的走法（如左下图）所示，位于O位置的“马”只能走到标有×的格中．在5×5方格的国际象棋棋盘上（如右下图）放入四枚白马（用O表示）和四枚黑马（用●表示）．要求将四枚白马移至四枚黑马的位置，将四枚黑马移至四枚白马的位置，而且必须按照国际象棋的规则，棋子只能移动到空格中，每个格最多放一枚棋子，那么最少需要____步.17.如下图所示，8个大小相同的正方形纸片依次放到桌面上，形成下面图形．如果按照自下而上的排放次序将这些正方形依次编号为1～8，那么，标有字母F的正方形编号应该是________.18.如下图所示，编号为1～4的四块拼版都是由5个1×1的小正方形组成的．请你分别从中选出三块，拼成图(1)、图(2)两个4×4的大正方形中缺一块1×1的小正方形的图形（两个图形都各自由3块不同的拼版拼成，不能多用或少用）．请分别在图(1)和图(2)上画出你的拼法（要求描线清晰），并标上所用的拼版的编号．（拼版正反面都可以用来拼搭）第4页/共15页 19.下图可沿格线分成三块，然后拼成一个正方形．请将第一块的方格都标上“1”，第二块的方格都标上“2”．20.在左下表中，将有公共边的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作．经过有限次操作后由左下表变为右下表，那么右下表中A处的数是______.21.有9个一面为黑，一面为白的棋子，如下左图所示摆放，将同时翻转同一行或同一列的3个棋子称为一次操作，试问能否经过若干次操作使得棋子的摆放方式变为下右图？如果可以，请写出具体步骤；如果不能，请简要说明原因，22.下图(1)中编号为1到4的立体图形，分别是由3个或4个棱长为l的小正方体组成的，请你制作出这4个几何体，并将它们拼成如图(2)的立体图形．每个几何体必须只能用一次，可翻转拼搭，请在图(2)上用粗线条画出你的拼法，并标上每个几何体的编号．第5页/共15页 23.将下图所示图形拆成形状相同、面积相等的三部分，使每个部分中含有一个，请将第一部分的六边形都标上“1”，第二部分的六边形都标上“2”．24.如下图所示，现有5段铁链，每段上有4个封闭的铁环．现在要打开一些铁环，把这20个铁环焊接成一个一环套一环的圆圈，如果每打开一个铁环要2分钟，焊接上一个铁环要3分钟．那么焊成这个圆圈，最少需要()分钟.A.14B．18c．20D．24E．2525.在8×8表格的每格中各填入一个数（见下图），使得任何一个5X5正方形中25个数的平均数都大于3，而整个8×8表格中64个数的平均数小于2。第6页/共15页 26.在纸上写着一列自然数1，2，…，98,99．一次操作是指将这列数中最4前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4,5，…，98,99,6；而第二次操作后得到7,8，…，98,99,6,15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，最初的99个数连同后面写下的数，纸上出现的所有数的总和是____.27.在1×5的方格表内有四个筹码，这些筹码一个面为白色另一个面为黑色．每一次操作可以任选一个筹码跳过一个、二个或三个筹码到空位上，但不可以不跳直接走动的．被跳过的筹码都必须翻面，但跳的筹码则不翻面．现欲经过六次的操作，将下左图的。情况变成下右图的情况．如果依次将跳动的筹码跳动前所在位置的号码记录下来’就可以得到一个六位数．请给出可能完成任务的一个六位数。第二十二讲统筹优化与操作1.答案：3分析：将图(1)的第四层左右两边的圆球移到第二层的左右两边，最后再将第一层的一个圆球移到最下面，所以最少只要移动3个球．2.答案：7分钟分析：平底锅一次可煎两个面，7条鱼共2×7=14（个）面，分14÷2-7（次）可煎完，7×1-7（分钟）．第7页/共15页 3.答案：96分析：显然对于贴每一张奖状而言至少需要2+1=3（分），所以32张奖状至少需要32×3=96（分）；另一方面对于每4张奖状来说，可以满足每张奖状只用3分钟：先用2分钟涂第1张，再用2分钟涂第二张，然后用1分钟贴第一张，再用2分钟涂第三张，然后用2分钟涂第四张，之后再依次贴第二、第三、第四张，各用1分钟，这四张共用2+2+1+2+2+1+1+1=12（分），而32是4的8倍，所以可以用12×8=96（分）贴完全部奖状．4.答案：A分析：由于10=1+2+7①或10=1+4+5②所以，失去2克或7克砝码时，可用②称出10克的重量；失去4克或5克砝码时，可用①称出10克的重量，因此排除B、C、D，正确答案为A.5.答案：30分析：该图与旋转180。的图重合在一起，因此重合的就是关于中心对称的两个方格，而重叠的阴影就是关于中心对称的两个方格都是阴影．方法一：寻找中心对称的两个方格都是阴影的，这种方格都用“×”标出，共30个（见下图）．方法二：寻找中心对称的两个方格不全是阴影的，用“○”表示，即重合的为5×8-10=30个（见下图）．第8页/共15页 6.答案：F分析：折下来的部分可能刚好盖住了F中的横线，所以还有可能是F．7.答案：5006分析：把纸反过来并倒放，从背面来看这个数即可得出答案．8.答案：7分析：根据规则，如果要移动底部珠子，必须先将上方珠子移到旁边，可得出以下最简方案．如上图共7次9.答案：257分析：找规律，发现折叠一次，绳子总行数变为2，从中间剪断，段数变为2+1—23；折叠两次，绳子总行数为24，段数变为4+1=5；折叠3次绳子总行数变为328，段数变为8+1=9；折叠四次绳子总行数为24=16，段数为16+1=17.因此对8折八次这条绳子共被分成21257(段)．第9页/共15页 10.答案：5个分析：根据题意把所有的果汁都兑换成半瓶，那么共有21个，平均每组可以分到7个，在同一组中装有半瓶果汁的瓶子最多，那么其他两组用的半瓶最少，各用1个，因此同一组中装有半瓶果汁的瓶子最多能有7-1-1=5（个）．11.答案：更大的细纸环分析：这是一道著名问题，动手操作容易得出答案，得到的将是一个更大的细纸环．数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白，你想想，应该怎样粘这个纸圈？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈呢？做几个简单的实验，就会发现“缪比乌斯圈”有许多让我们惊奇有趣的结果．如果在裁好的～张纸条正中间画一条线，粘成“缪比乌斯圈”，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈．如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“缪比乌斯圈”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈？都不是．它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了．12.答案：6分析：交点越多，公共部分的边数越多，经尝试可知边数最多是6条（见下图）．13.答案：995分析：要使三位数最大，应尽量使最高位最大，最高位最大是9，而十位如果移动一根火柴棒也可以变成9，所以移动个位的一根火柴棒到最高位，十位也移动一根，变成995.第10页/共15页 14.答案：分析：如下图所示，把每行的和标出，可知需要把第三行的一张卡片移到第一行，使得这两行的和都变为45，同理按照每列的和去分析，需要把第三列的一张卡片移动第一列使这两列的和都变成45，可知需要移动的卡片是位于第三行第三列处的19，只需将第3行中的卡片移动到第1行卡片后面，组成21即可．15.答案：分析：(1)吃了4个，则剩下8-4=4个，而每行每列均有2个，2×4-8个，说明这4个都需要重复计算，所以要剩下角上的4个．(2)吃了3个，则剩下5个，每行每列均有2个，2×4=8（个），说明其中有3个要重复计算，所以可安排吃掉第一行第二个，第二行第一个和第三行第三个．第11页/共15页 (3)吃了2个，则剩下6个，每行每列均有2个，2×4-8（个），说明其中有2个要重复计算，所以可安排吃掉第一行第一个和第三行第三个．16.答案：16分析：每枚黑马走到白马的位置最少需2步，每枚白马走到黑马的位置也最少需2步，所以将四枚黑马和四枚白马互换位置，最少需2×8=16（步）．17.答案：5分析：由于B的下半部分被遮盖，所以可以判断出E必须在B的上面，即E比B后放，同理可以判断出G比H后放，C比F后放；而E的下半部分也被遮盖，所以H比E后放，同理F比G后放，A比C后放，D显然是最后放置的，所以这些纸片的放置顺序依次为B、E、H、G、F、C、A、D，即F的编号为5．18.答案：如下图，答案不唯一。分析：因为缺口处不规则，所以缺口处是突破口．可以试验出上述的方案19.答案：分析：图中共有64个方格，最终拼得的正方形一定是8×8的，上图的左边部分是规则的8×6，所以这部分尽量保持不动，对右边不规则的部分进行剪拼即可．20.答案：5分析：方法一：第12页/共15页 缺图因此A是5．方法二：将表的四角和中心五个位置染色，则可发现，在操作过程中，由于每次操作的是相邻的两格，所以染色格与非染色格之间的差始终保持不变．起始时差为5，所以操作后差仍为5．所以A处的数是5．21.答案：不能分析：在左图中，考虑左上方的2×2区域的4个棋子，则每次操作后，这4个棋子要么有两个翻转，要么都不翻转，所以黑白两种颜色朝上的个数都是偶数，但有图中左上方的2×2区域的4个棋子中黑白两种颜色朝上的个数都是奇数不符合条件，所以左图不能变成右图．22.答案：23.答案：分析：21÷3=7，则每部分由7块拼成．注意左下角可知每一部分都会包含由四个正六边形组成的长条，结合这个条件进行尝试即可得出答案．第13页/共15页 24.答案：C分析：把两段铁链接在一起，既要打开一个环，还要焊接上这个环，这就需要3+2=5（分钟），可以把第一段上的铁链全部打开，利用打开的4个铁环把其余四条连成一圈即可，这需要5×4=20（分钟）．选C．25.答案：方案不唯一，例如中间四个为30，其余均为O分析：如上图所示，根据题意，任何一个5×5正方形中的总和应该大于75，而所有数之和要小于128，其中画阴影部分的正方形在所有的5×5的正方形里都存在，我们要让它尽可能的大，同时让外边的尽可能的小，则外面的60个方格最小和为O（即所有都填o），则中间四个方格，应该小于128.在每一个5×5的正方形内除去这4个，所有之和为O，则中间四个数之和应该大于75，即只要中间四个数的和在75到128之间即可．如30+30+30+30，其他方格里均填写0．26.答案：25128分析：从简单的情况人手找规律．(1)若纸上只写有1、2、3则一次操作即可，为1、2、3、6；(2)若纸上只写有1、2、3，…8、9则操作四次即两轮即可．为1、2、3、…、7、8、9、6、15、24、45.显然，当数的个数为3”个时，划3”1次，划去了前3”个，写上了3—1个，继续如此划下去，最终变成1个．并且，个数由3”变成3”1时，3”个数的和与3”1个数的和相等，即每操作完一轮，增加一个原有数的和，对于1，2，…，97，98，99，首先划去一部分，使其个数变为3”个，34—81，99-81-18，先去掉18介数，使数的个数变成81，即先划去1～27这27个，写上9个，写上的9个数之和等于1～27的总和，对于此时留在纸上的81个数，划第1轮变成27个，划第2轮变成9个，接着划第3轮变成3个，最后划第4轮，变成1个，此时由于操作了4轮，所以和变为原来的5倍，纸上所出现的所有数的和是(1+2+3+…+99)×5+(1+2+3+…+27)=25128.第14页/共15页 27.答案：152415或251425分析：根据题意，第一次筹码只能从1到4或从2到4，(1)当第一次筹码从1到4时，如下图完成6次操作只有152415(2)当第一次筹码从2到4时，如下图完成6次操作只有251425第15页/共15页
