专题10多变的行程问题阅读与思考行程问题的三要素是：距离（）、速度（）、时间（），基本关系是：，，．行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．其中相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下：1．相遇问题其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇，一般地，甲行的路程＋乙行的路程＝两地之间的距离．2．追及问题其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者．一般地，快者行的路程－慢者行的路程＝两地之间的距离．例题与求解【例1】在公路上，汽车、、分别以80千米/时，70千米/时，50千米/时的速度匀速行驶，从甲站开往乙站，同时，、从乙站开往甲站．在与相遇后两小时又与相遇，则甲、乙两站相距__________千米．（“希望杯”竞赛试题）解题思路：本例为直线上的相遇问题，可依据时间关系列方程．【例2】如图，某人沿着边长为90来的正方形，按→→→→…方向，甲从以65米/分的速度，乙从以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（）．A．边上B．边上C．边上D．边上（安徽省竞赛试题）解题思路：本例是一个特殊的环形追及问题，注意甲实际在乙的前面（米）处．【例3】亚州铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行．比赛程序是：运动员先同时下水游泳1.5千米到第一换项点，在第一换项点整理服装后，接着骑自行车40千米到第二换项点，再跑步10千米到终点．下表是亚洲铁人三项赛女子组（19岁以下）三名运动员在比赛中的成绩（游泳成绩即游泳所用时间，其他类推，表内时间单位为秒）．运动员号码游泳成绩第一换项点所用时间白行车成绩第二换项点所用时间长跑成绩1911997754927403220194150311056865736521951354745351443195（1）填空（精确到0.01）：第191号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；第194号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；第195号运动员骑自行车的平均速摩是__________米/秒；（2）如果运动员骑自行车都是匀速的，那么在骑自行车的途中，191号运动员会追上195号或194号吗？如果会，那么追上时离第一换项点有多少米（精确到0.01）？如果不会，为什么？（3）如果运动员长跑也都是匀速的，那么在长跑途中这三名运动员有可能某人追上某人吗？为什么？（江苏省徐州市中考试题）解题思路：从表格中获取信息，注意速度、时间的比较是解本例的关键．【例4】一小船由港到港顺流需行6小时，由港到港逆流需行8小时．一天，小船从早晨6点由港出发顺流行至港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈，问：（1）若小船按水流速度由港漂流到港时需多少小时？（2）救生圈是何时掉人水中的？（天津市中考试题）解题思路：要求小船按水流速度由港漂流到港时所需时间，需求两港间的距离及水流速度，考虑增设辅助未知数．【例5】某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校后，接参观的师生立即出发去县城，由于汽车在赴校的途中发生故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比预定到达县城的时间晚了半小时，如果汽车的速度是步行速度的6倍，汽车在途中排除故障花了多少时间？（山东省中考试题）解题思路：从题中比原定时间晚到半小时入手，选好未知量，找出汽车所用时间与师生步赶所用时间之间的关系．依时间、速度和路程之间的关系列出方程．【例6】甲、乙两人分别从，两地同时出发，在距离地6千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达地、地后，立刻返回，又在距地4千米处相遇，求，两地相距多少千米？（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：本例有多种解法，可借助图形辅助分析．能力训练A级1．某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是__________千米/小时．2．汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，已知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车离山谷的距离是__________米．（江苏省竞赛试题）3．甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米．当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了__________千米和__________千米．（武汉市选拔赛试题）4．上午9时整，时计与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是（）．A．9时30分B．10时5分C．10时分D．9时分（“希望杯”竞赛试题）5．甲、乙两人同时从地到地，如果乙的速度保持不变，而甲先用的速度到达中点，再用的速度到达地，则下列结论中正确的是（）．A．甲、乙同时到达地B．甲先到地C．乙先到地D．无法确定谁先到6．甲与乙比赛登楼，他俩从36层的长江大厦底层出发，当甲到达6楼时，乙刚到达5楼，按此速度，当甲到达顶层时，乙可到达（）．A．31层B．30层C．29层D．28层7．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们的第2007次相遇在边（）上．A．B．C．D．（湖北省黄冈市竞赛试题）8．甲、乙两列火车同时从相距120千米的两地相向行驶，甲速为每小时84千米，乙速为每小时60千米，则当两车相距24千米时行驶的时间为（）．A．40分钟B．1小时C．1小时或20分钟D．40分钟或1小时9．有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时自己前面还有36人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计）．通过道口后，还需7分钟到达学校：（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过逬口，求维持秩序的时间．（江西省中考试题）10．某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时骑摩托车的速度应该是多少？（湖北省孝感市竞赛试题）11．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/小时，骑车人速度为16.8千米/小时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米？（河北省竞赛试题）B级1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，小时相遇；若同向而行，则小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为__________．（江苏省竞赛试题）2．甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是__________秒．（“希望杯”邀请赛试题）3．某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若，两地的距离为10千米，则，的距离为__________千米．（重庆市竞赛试题）4．某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，，．则该汽车在这段公路上行驶的平均速度为（）．A．B．C．D．（天津市竞赛试题）5．静水中航行，甲船的速度比乙船快，在水流速度不为零的河流中，甲、乙两船同时从港出发，同向航行1小时后立即返航，那么（）．A．甲船先返回港B．乙船先返回A港C．甲、乙两船同时返回港D．不能确定哪条船先返回港（《时代学习报》数学文化节试题）6．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上的自动扶梯级数为__________．（北京市竞赛试题）7．甲、乙两同学从400米的环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了__________米．8．某风景区的旅游线路如右图所示，其中为入口处，，，为风景点，为三岔路的交汇点，图中所给的数据为相应两点间的路程（单位：千米）．某游客从处出发，以每小时2千米的速度步行游览，每到一个景点逗留的时间均为半小时．（1）若该游客沿跨线“→→→→”游览回到处，共用去3小时，求,两点间的路程．（2）若该游客从处出发，打算在最短时间内游完三个景点并返回处（仍按上述步行速度和在景点的逗留时间，不考虑其他因素），请你为他设计一个步行路线，并对路线设计的合理性予以说明．（江苏省竞赛试题）9．某人沿电车路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来，假定此人和电车都是匀速前进，则电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？（湖北省黄冈市竞赛试题）10．如图，甲、乙两人分别在，两地同时相向而行，于处相遇后，甲继续向地行走，乙则休息了14分钟，再继续向地行走，甲和乙到达和后立即折返，仍在处相遇，已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则和两地相距多少千米？（“华罗庚金杯”竞赛试题）专题10多变的行程问题例11950提示:设甲乙两站相距S千米,则,解得S=1950千米例2B提示:乙第一次追上甲用了分钟,例3⑴8.127.037.48⑵191号能追上194号,这时离第一换项点有24037.96米191号不会追上195号⑶从第二换项点出发时,195号比191号提前216秒,且长跑速度比191号快,所以195号在长跑时始终在191号前面,而191号在长跑时始终在194前面,故在长跑时,谁也追不上谁.例4⑴设小船在静水中的速度为α,水流的速度为b,由题意,得6(a+b)=8(a-b),解得a=7b.故小船按水流速度由A港漂流到B港所需的时间为小时⑵设小船行驶x小时后救生圈掉入水中,则小船找到救生圈即小船与救生圈相遇,他们行驶的路程如图所示:由题意得(6-x+1)b+(a-b)×1=(6-x)(a+b),将a=7b代入上式,解得x=5故救生圈是在上午11点掉入水中的.例5如图,设点A为县城所在地,点B为学校所在地,但C为师生途中与汽车相遇之处.汽车晚到的的半小时一方面是因晚出发了10分钟,另一方面是从B到C由于步行代替乘车而多花了20分钟.若设汽车从C到B需要X分钟,则师生从B到C应花(x+20)分钟,由于汽车由C到B与师生从B到C的路程相等由时间与速度成反比可得解得x=4故排除故障花的时间为4×2+30=38分钟例6解法一:第一次相遇时,甲乙两人所走的路程之和,正好是AB两地相距的路程,即当甲乙合走完AB间的全部路程时，乙走了6千米.第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的3倍(如图，图中实线表示甲走的路程，虚线表示乙走的路程)，因此，这时乙走的路程应为千米.考虑到乙从B地走到A地后又返回了4千米，所以A,B两地间的距离为18-4=14千米.解法二:甲、乙两人同时出发，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有:两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例.到第一次相遇，甲走了(全程-6)千米，乙走了6千米;到第二次相遇，甲走了(2×全程-4)千米，乙走了(全程+4)千米.设全程为S，则可列方程.解得(舍去).故A,B两地相距14千米.解法三:设全程为S千米，甲、乙两人速度分别为v,则得，解得(舍去)故A,B两地相距14千米.A级1.4.82.6403.150200提示:设第一辆车行驶了(140十)千米，则第二辆车行驶了千米，由题意得，解得.4.D提示:因为分针每分钟转,时针每分钟转，设两针从上午9时开始，分钟后两针成直角，由题意知,解得.5.C6.C提示：.7.C8.D9.(1)因,故王老师应选择绕道去学校.(2)设维持秩序时间为t,则,解得t=3(分钟).10.设此人从家里出发到火车开车的时间为x小时，由题意得，解得x=1.此人打算在火车前10分钟到达火车站，骑摩托车的速度应为千米/时.11.设火车的速度为x米/秒，由题意得，解得x=14.故火车的车身长为(14-1)×22=286米.B级1.2.7.5提示：先求出甲、乙两车速度和为米/秒.3.20或4.D提示:设三个等长路段的路程均为S，则平均速度为.5.D提示:考虑两船同时先顺水航行的情形，设想乙船在静水中的速度接近水流的速度，则它将迟迟难以返航.而甲先返回A港,类似的可考虑两船同时先逆水航行的情形.6.667.4448.(1)CE=0.6千米.(2)基本的行走路线有两条:一是A→D→C→B→E→A(或A→E→B→C→D→A)，总时间为4小时;二是A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A)，总时间为3.9小时.9.设电车速度为，人速为，电车每隔t分钟开出一辆，则每两辆电车之间的距离vt，对于迎面来的电车，这个距离是人与电车共同走4分钟完成的，对于后面追上的电车，两辆电车之间的距离是电车在12分钟追上起始时的距离，由题意得，解得t=6分钟.10.AE:BE=60:80=3:4，设AE=3x,BE=4x，从而AB=7x(米).由题意得，解得x=240，故AB=7x=7×240=1680米.
