专题06转化与化归----特殊方程、方程组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程(组)(次数高于两次)、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略,而降次与消元的常用方法是:1、因式分解;2、换元;3、平方;4、巧取倒数;5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想,而化归的途径是降次与消元,而化归的方向是一元二次方程,这也可以说是“九九归宗”.例题与求解【例1】已知方程组的两组解是与,则的值是_______(北京市竞赛题)解题思路:通过消元,将待求式用同一字母的代数式表示,运用根与系数的关系求值.【例2】方程组的正整数解的组数是()A.1组B.2组C.3组D.4组解题思路:原方程组是三元二次,不易消元降次,不妨从分析常数的特征入手.【例3】解下列方程:(1);(“祖冲之杯”邀请赛试题)(2);(河南省竞赛试题)(3);(山东省竞赛试题)(4)(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路:注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系,利用换元法求解.\n【例4】解下列方程组:(1)(山东省竞赛试题)(2)(西安市竞赛试题)(3)(全苏数学奥林匹克试题)解题思路:观察发现方程组中两个方程的特点和联系,用换元法求解或整体处理.【例5】若关于的方程只有一个解(相等的解也算一个).试求的值与方程的解.(江苏省竞赛试题)【例6】方程的正整数解有多少对?(江苏省竞赛试题)解题思路:确定主元,综合利用整除及分解因式等知识进行解题.\n能力训练A级1.方程的实数根是_____________.2.,这个方程的解为=_________________.3.实数满足则的值为_______________.(上海市竞赛题)4.设方程组有实数解,则(武汉市选拔赛试题)5.使得成立的的值得个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个(“五羊杯”竞赛试题)6.已知方程组有实数根,那么它有()A.一组解B.二组解C.三组解D.无数组解(“祖冲之杯”邀请赛试题)7.设,且,则代数式的值为()A.5B.7C.9D.118.已知实数满足,则的值为()A.6B.17C.1D.6或179.已知关于的方程组有整数解,求满足条件的质数.(四川省竞赛试题)\n10.已知方程组的两个解为且是两个不等的正数.(1)求的取值范围;(2)若,试求的值.(南通市中考试题)11.已知是方程的两个实根,解方程组(“祖冲之杯”邀请赛试题)12.已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为,且满足关系式试求这个一元二次方程.(杭州市中考试题)B级1.方程组的解是___________________.2.已知,则的值为______________.(全国初中数学联赛试题)3.已知实数是方程组的解,则(全国初中数学联赛试题)\n4.方程组的解是_________________.(“希望杯”邀请赛试题)5.若二元二次方程组有唯一解,则的所有可能取值为______________.(《学习报》公开赛试题)6.正数同时满足,,,,,.则的值为________.(上海市竞赛试题)7.方程的所有根的积是()A.3B.-3C.4D.-6E.以上全不对(美国犹他州竞赛试题)8.设为实数,且满足则()A.1B.-1C.2D.-2(武汉市选拔赛试题)9.已知则的值为()A.1B.C.2D.10.对于实数,只有一个实数值满足等式,试求所有这样的实数的和.(江苏省竞赛试题)11.解方程,其中,并就正数的取值,讨论此方程解的情况.(陕西省竞赛试题)\n12.已知三数满足方程组试求方程的根.(全国初中数学联赛试题)13.解下列方程(组):(1);(武汉市竞赛试题)(2);(湖北省竞赛试题)(3)(加拿大数学奥林匹克竞赛试题)\n专题06转化与化归——特殊方程、方程组例1例2B提示:由(x+y)z=23。例3(1),,提示:=,令=y.(2)设=y,则原方程可化为,解得(3)设1999-x=a,x-1998=6,∴a+b=1,则原方程为:,得ab=0,即(1999-x)(x-1998)=0,解得,.(4)设=a,=b,∴=a+b,原方程可化为:,得ab=0,∴=0,解得例4(1)(2)提示:原方程可化为(3)方程两式相减得=0,而,∴x-y=0代入原方程得,可求得解为例5原方程化为,当k=0时,原方程有唯一解;当k≠0时,△=.总有两个不同的实数根,由题意知必有一个根是原方程的增根,葱原方程知增根只能是0,1,显然0不是方程的根,故x=1,k=.例6解法一:把原方程变形为(x-1)y=,因x=1不满足方程,即x≠1,故y==2x-1+,由于2005=1×2005=5×401,即2005有正因数1,5,401,2005,∴分别取x-1=1,5,401,2005时,x与y均为正整数,即共有4对正整数解.解法二:把方程看成关于x的一元二次方程.由方程有整数解,其判别式为完全平方数,据此可得一下解法:△=(a为非负整数),化简得,即,∴\n①.∵(y-1-a)与(y-1+a)奇偶性相同,且其积为偶数,故(y-1-a)与(y-1+a)同为偶数.由于y-1-a≤y-1+a,据①,只可能有(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)将方程(Ⅰ)~(Ⅳ)中的两个方程相加,分别得到的y值为4012,2008,808,412.由此可得相应的x值,故共有4对正整数解(x,y).①②②A级1.2或2.1,-4,2,3.94.05.B6.A7.B提示:a,b为方程的两个不相等实根.8.B9.由及p为质数,知或或或当时,x=,y=,代入3xy+p(x-y)=得,解得p=3,或p=1(舍).其他情况经计算知没有符合条件的质数.10.(1)(2)a=-11.提示:原方程组化为,①+②得x+y=-1.12.B级1.2.提示:有条件得.从而=7x+2,两边平方化简得,其正跟为x=.3.4.(x,y)=(1,9)5.1,-16.1+7.D8.C9.D10.原方程化为①,其中△=4-4×2(a+4)=-8a-28.当方程①有两个相等的实根时,由△=0,得;当方程①有两个不相等实根时,且x=1是方程①的一个根,解得,,;当方程①有两个不相等的实根时,且x=-1是方程①的一个根,解得,.故.11.由方程知,=a,当时,得a=2.讨论:当a>2时,方程有一个根为x=;当a=2时,方程有无数多个解为;当a<2时,方程无解.\n12.显然a,b是方程+c2-8c+48=0的两根,由△≥0得c=4,从而,解得a=b=4.故原一元二次方程化为x2+x-1=0,解得x1=,x2=.13.(1)原方程可变形为(x-3)2+6x+()2=25,即(x-3+)2=25,∴x-3+=5或x-3+=-5,解得x1=-1+,x2=-1-.(2)原方程化为(6x+7)2(6x+8)(6x+6)=72.设y=6x+7,解得x1=-,x2=-.(3)显然(x1,y1,z1)=(0,0,0)符合条件.若xyz≠0,原方程可化为,三式相加,得(-1)2+(-1)2+(-1)2=.0,∴(x2,y2,z2)=(,,).故(x,y,z)=(0,0,0)(,,).