专题三 函数的概念、性质与基本初等函数备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、函数的概念1.了解函数三要素及分段函数,会求简单函数的定义域.2.会根据不同需要选择恰当方法表示函数.1.本专题重点考查以基本函数或由基本函数组合的函数为载体,考查函数的三要素、表示方法及性质、图象.特别是以指数、对数函数为载体,新高考Ⅰ第6题考查了指数函数及对数函数的数学模型的应用.2.常结合函数性质、分段函数考查函数的零点与方程根的问题.3.函数与其他知识结合考查.如函数与数列、函数与不等式、函数与解析几何.考查数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想方法.1.本专题内容为高考热点.考题难度覆盖易,中,难.题型主要以选择题或填空题的形式出现.2.处理函数性质的相关问题,常画出函数的图象,利用数形结合法解决,综合考查函数的单调性、奇偶性、对称性,并注意函数与不等式的转化应用.3.要关注在数列、解析几何中的最值问题以及数学建模解决实际问题.二、函数的基本性质了解函数奇偶性、周期性的含义,理解函数单调性、最值及几何意义.三、二次函数与幂函数了解二次函数、幂函数的概念,理解二次函数图象并简单应用.四、指数与指数函数了解指数函数模型背景,实数指数幂的含义,理解有理指数幂的含义,指数函数的概念,单调性.掌握幂的运算,指数函数的图象.五、对数与对数函数理解对数的概念和运算性质,了解对数函数的概念及性质,掌握对数函数的图象经过的特殊点,会用换底公式.六、函数的图象理解描点法作图和图象变换.利用函数图象讨论函数性质.七、函数与方程了解函数零点与方程根的联系.八、函数模型及函数的综合应用了解函数模型的广泛应用,基本函数等不同函数类型的增长意义.【真题探秘】核心考点函数的单调性、奇偶性,抽象函数及不等式.思路分析利用函数奇偶性和单调性画出示意图,结合图象解不等式.
核心素养直观想象、逻辑推理.思想方法分类讨论思想、数形结合思想.方法总结奇偶性与单调性综合的两种题型及解法:1.比较大小.一般解法是先利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.2.抽象不等式问题.解题步骤:(1)将所给不等式转化为两个函数值的大小关系;(2)利用奇偶性得出其区间上的单调性,并利用单调性“脱去”函数符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,注意偶函数中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020新高考Ⅰ,85单项选择题难函数的奇偶性与单调性奇函数与解不等式数形结合逻辑推理2020新高考Ⅱ,75单项选择题中函数的单调性已知单调性求参数取值范围定义法逻辑推理2020新高考Ⅰ,65单项选择题中函数模型及其应用指数函数的应用待定系数法数学建模数学运算2020课标Ⅰ文,85选择题易指数式与对数式指数与对数的互化公式法数学运算2020天津,35选择题易函数图象的识辨由解析式判断图象排除法逻辑推理2020北京,64选择题易函数图象的应用结合图象求不等式解集图象观察法逻辑推理2020天津,65选择题中指数式与对数式指数与对数的大小比较中间量法数学运算2020北京,104选择题中函数模型及其应用函数模型的应用综合法数学建模数学运算2020课标Ⅰ理,125选择题难指数函数与对数函数指数、对数函数的单调性的应用放缩法定义法逻辑推理2020北京,155填空题中函数模型及其应用与函数有关的实际应用问题数形结合直接法数学建模逻辑推理数学运算2020北京,115填空题易求函数的定义域对数函数、反比例函数的定义域定义法数学运算2020天津,95选择题难函数零点由零点个数求参数的范围数形结合数学运算逻辑推理2.命题规律与探究1.从2020年高考情况来看,本章内容为高考热点,考题难度覆盖易、中、难,题型主要以选择题或填空题的形式出现.2.本章内容在2020年高考试题中多以基本初等函数,特别是指数、对数函数为载体,如新高考Ⅰ卷第6题,课标Ⅰ卷第8(文)、12(理)题、北京卷第6、11题等,这些题以指数、对数运算为主线,考查了指数、对数函数的图象及性质.
3.在处理函数性质的相关问题时,可利用数形结合法画出函数图象,综合考查函数的单调性、奇偶性、对称性,并注意函数与不等式的转化运用,如新高考Ⅰ卷第8题.4.本章重点考查的核心素养为数学运算和逻辑推理.3.命题变化与趋势1.高考对本章内容的考查较为稳定,考查方式及题目难度与往年相比变化不大,延续此前的考试风格.2.考查内容主要体现在以下方面:①函数模型及其应用,如新高考Ⅰ卷第6题,基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果,考查了相关的数学知识和从资料中提取信息的能力,突出数学模型的应用,同时考查了利用单调性解不等式、比较大小,利用周期性求函数值;②结合函数性质、分段函数考查函数的零点与方程的根的问题;③函数与其他知识结合考查,如函数性质与数列结合考查,函数知识在概率问题中的应用等.常以这些内容为考查重点,同时需要加强对数形结合思想和分类讨论思想在解决函数问题中的应用,备考时需给予关注和强化.3.适当关注函数与其他章节知识的交汇应用,如在数列中求最值,解决解析几何中最值问题以及函数在实际问题中的应用.§3.1 函数的概念基础篇【基础集训】考点一 函数的有关概念1.设函数f(x)=lg(1-x),则函数f(f(x))的定义域为( )A.(-9,+∞) B.(-9,1) C.[-9,+∞) D.[-9,1)答案 B2.下列函数为同一函数的是( )A.y=x2-2x和y=t2-2t B.y=x0和y=1C.y=和y=x+1 D.y=lgx2和y=2lgx
答案 A3.函数f(x)=++(x-4)0的定义域为 . 答案 {x|x<-2或-2<x≤-1或1≤x<2或2<x<4或x>4}4.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域为 . 答案 考点二 函数的表示方法5.下列图象可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )答案 C6.已知f(2x+1)=x2-2x,则f(x)= , f(3)= . 答案 x2-x+;-17.已知函数f(x)=则f= . 答案
8.设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a= . 答案 [教师专用题组]【基础集训】考点一 函数的有关概念 若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)=( )A.2 B.0 C.1 D.-1答案 A 令x=1,得2f(1)-f(-1)=4①,令x=-1,得2f(-1)-f(1)=-2②,联立①②,解得f(1)=2.故选A.考点二 函数的表示方法1.已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a等于( )A. B. C.2 D.9答案 C f(f(0))=f(2)=4+2a=4a⇒a=2,选C.2.(2020浙江Z20联盟开学联考,6)已知函数f(x)=若f(a)≤1,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-4]∪[2,+∞) B.[-1,2]C.[-4,0)∪(0,2] D.[-4,2]答案 D 本题考查分段函数的概念以及不等式的解法;考查学生数学运算的能力和分类讨论的思想;考查了数学运算的核心素养.由f(a)≤1得或解得-4≤a≤0或0<a≤2,即实数a的取值范围是[-4,2],
故选D.3.(2019河南洛阳模拟,7)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(1,2] D.(,2]答案 D 当x≤2时,f(x)=8-2x∈[4,8),当x>2时,f(x)=3+logax,∵函数f(x)的值域是[4,+∞),∴当x>2时的值域是[4,+∞)的子集,若0<a<1,则函数f(x)为减函数,不满足条件.∴a>1.当x>2时,f(x)=3+logax是增函数,且f(x)>3+loga2,此时只需4≤3+loga2<8,即1≤loga2<5,也即1≤<5,则<log2a≤1,解得<a≤2,即实数a的取值范围是(,2].故选D.4.(2018福建福州模拟,6)设函数f(x)=则满足f(x2-2)>f(x)的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-)∪(,+∞)C.(-∞,-)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(,+∞)答案 C 由题意知,x>0时,f(x)递增,故f(x)>f(0)=0,又x≤0时,f(x)=0,故若f(x2-2)>f(x),则x2-2>x,且x2-2>0,解得x>2或x<-,故选C.5.(2019北京西城期末文,13)设函数f(x)=则f(f(0))= ;若方程f(x)=b有且仅有3个不同的实数根,则实数b的取值范围是 .
答案 ;解析 ∵f(0)=e0=1,∴f(f(0))=f(1)=-12+1+=.作出分段函数y=f(x)的图象,再观察y=b的图象.∴b∈时,方程f(x)=b有且仅有3个不同的实数根.综合篇【综合集训】考法一 函数定义域的求法1.函数y=的定义域是( )A.(-∞,2] B.(0,2] C.(-∞,1] D.[1,2]答案 B2.若函数f(x)=的定义域为一切实数,则实数m的取值范围是 . 答案 [0,4]3.已知函数y=f(x)的定义域是[0,2],那么g(x)=的定义域是 . 答案 ∪考法二 函数解析式的求法4.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( )
A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2xC.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x答案 B5.已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=ex,则函数f(x)的解析式为 . 答案 f(x)=e-x-ex6.已知函数f(x)=,若f(x)+f=3,则f(x)+f(2-x)= . 答案 6考法三 分段函数问题的解题策略7.(2019山西太原三中模拟,10)设函数f(x)=若f(m)=3,则实数m的值为( )A.-2 B.8 C.1 D.2答案 D8.已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为( )A.- B. C.- D.答案 A9.若函数f(x)=则f(f(-8))=( )A.-2 B.2 C.-4 D.4答案 C10.已知f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))=( )A.-2 B.2 C.3 D.-3答案 B
11.(2020山西平遥中学第一次月考)已知函数f(x)=若f(x)=-1,则x= . 答案 2或[教师专用题组]【综合集训】考法一 函数定义域的求法1.(2020浙江镇海中学分校检测,6)已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是 ( )A.[2,+∞) B. C. D.答案 A 令t=2x(t>0),则at2+at+3a-6≥0对t>0恒成立,所以a≥,又<=2,所以a≥2.故选A.易错警示 忽视t>0,容易错选B.2.(2019华南师范大学附属中学月考,8)已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1] B.(0,1) C.[0,1) D.(0,1]答案 B 由函数f(x)的定义域为[-1,1],得-1≤x≤1,令-1≤2x-1≤1,解得0≤x≤1,又由1-x>0且1-x≠1,解得x<1且x≠0,所以函数g(x)的定义域为(0,1),故选B.3.(2019徐州检测,3)函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数f(lox)的定义域为 . 答案 解析 因为f(x)的定义域是[-1,1],所以-1≤lox≤1,所以≤x≤2,故所求定义域为.
考法二 函数解析式的求法1.(2018重庆巴蜀中学二诊,4)与函数y=10lg(x-1)的图象相同的函数是( )A.y=x-1 B.y=|x-1|C.y= D.y=答案 C 函数y=10lg(x-1)的定义域为{x|x>1},且y=x-1.对于A,它的定义域为R,故不符合题意;对于B,它的定义域为R,故不符合题意;对于C,它的定义域为{x|x>1},对应关系也与题干相同,故符合题意;对于D,它的定义域为{x|x≠-1},故不符合题意.故选C.2.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=x+2,则f(x)=( )A.x+1 B.2x-1 C.-x+1 D.x+1或-x-1答案 A 设f(x)=kx+b(k≠0),则由f(f(x))=x+2,可得k(kx+b)+b=x+2,即k2x+kb+b=x+2,∴k2=1,kb+b=2,解得k=1,b=1,则f(x)=x+1.故选A.3.(2014湖南,3,5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )A.-3 B.-1 C.1 D.3答案 C 解法一:∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(1)+g(1)=1,故选C.解法二:令f(x)=x2+1,g(x)=-x3,显然符合题意,∴f(1)+g(1)=12+1-13=1.选C.4.(2016北京朝阳二模,13)为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资60
万元建了一个蔬菜加工基地.第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设f(n)表示前n(n∈N*)年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额),则f(n)= (用n表示),此经销商从第 年开始盈利. 答案 -n2+19n-60;5解析 f(n)=26n-60-=-n2+19n-60(n∈N*),设此经销商从第n年开始盈利,则即解得∴n=5.考法三 分段函数问题的解题策略1.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1) B.C. D.答案 C 由题意知y=lnx(x≥1)的值域为[0,+∞).故要使f(x)的值域为R,则必有y=(1-2a)x+3a为增函数,且1-2a+3a≥0,所以1-2a>0,且a≥-1,解得-1≤a<,故选C.2.(2019天津七校期中联考,7)对实数m,n定义运算“
