§3.8 函数模型及函数的综合应用应用篇【应用集训】1.(2020福建永安一中、漳平一中第一次联考,8)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水只有升,则m的值为( )A.5 B.8 C.9 D.10答案 A2.(2020江西新余四中月考,11)中国古代近似计算方法源远流长,早在8世纪,我国著名数学家张遂为编制《大衍历》发明了一种二次不等距插值算法.若函数y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),则在区间[x1,x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替,f(x)=y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2),其中k1=,k=,k2=.若令x1=0,x2=,x3=π,请依据上述算法,估算sin的值是( )A. B. C. D.答案 C[教师专用题组]【应用集训】1.(2017北京顺义二模,8)某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人,当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人,那么,各班可推选候选人人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 ( )A.y= B.y=C.y= D.y=答案 B 采用特值法.令余数分别为7和8,将两个临界值代入选项加以判断.=0,=0,排除A;=0,=1,B符合;=1,=1,排除C;=1,=1,排除D.故选B.2.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 小时. 答案 24解析 依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,所以e22k===,所以e11k=或-(舍去),于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·eb=×192=24(小时).3.(2016北京西城一模,14)一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶,跑道由几段直道和弯道组成,图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.
图1图2根据图1,有以下四个说法:①在第二圈的2.6km到2.8km之间,赛车速度逐渐增加;②在整个跑道中,最长的直线路程不超过0.6km;③大约在第二圈的0.4km到0.6km之间,赛车开始了那段最长直线路程的行驶;④在图2的四条曲线(注:s为初始记录数据位置)中,曲线B最符合赛车的运动轨迹.其中,所有正确说法的序号是 . 答案 ①④解析 由题图1看,在2.6km到2.8km之间,赛车速度从100km/h逐渐增加到140km/h,①对;在0.4km到1.2km之间,赛车应该是缓慢加速到平稳行驶,最长直线路程超过0.6km,②错;在1.4km到1.8km之间,赛车开始了最长直线路程的行驶,③错;从题图1看,赛车先直线行驶一小段距离,然后减速拐弯,然后直线行驶一大段距离,再减速拐弯,再直线行驶一大段距离,然后拐弯后直线行驶一小段距离,曲线B最符合赛车的运动轨迹,④对.失分警示 利用图象还原赛车的路线要考虑实际情况,特别地,进入弯道前就需要提前减速.不考虑实际情况会得出错误的结论.4.(2018北京东城二模,14)某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为M(t)=art+24(a,r为常数).在t=0min和t=1min时,测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L,那么在t=4min时,该物质的浓度为 mg/L;若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最小整数t的值为 .(参考数据:lg2≈0.3010) 答案 26.56;13解析 由题意知当t=0时,M=124,即a+24=124,解得a=100;当t=1时,M=64,即ar+24=64,∴r=,∴M(t)=100+24,将t=4代入得M(4)=26.56.由题意得100+24<24.001,即100<0.001,即<10-5,两边取以10为底的对数得tlg<-5,t(lg2-lg5)<-5,t[lg2-(1-lg2)]<-5,t(2lg2-1)<-5,∴t>,∴tmin=13.创新篇【创新集训】
1.(2020安徽示范高中联考,7)在《九章算术》方田章圆田术(刘徽注)中指出:“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程.比如在中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程=x确定出来x=2,类比上述结论可得log2(2+log2(2+log2(2+…)))的正值为( )A.1 B. C.2 D.4答案 C2.(2020重庆万州二中第一次月考,8)中华文化博大精深.我国古代对年龄的表述可谓是名目繁多,比如“二八年华”指女子16岁.乾隆曾出上联“花甲重逢,外加三七岁月”,纪晓岚对下联“古稀双庆,更多一度春秋”,暗指一位老人的年龄.根据类比思想和文化常识,这位老人的年龄为( )A.71岁 B.81岁 C.131岁 D.141岁答案 D3.(命题标准样题,19)给出一个满足以下条件的函数f(x),并证明你的结论.①f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线;②f(x)是偶函数;③f(x)在(0,+∞)上不是单调函数;④f(x)恰有2个零点.[教师专用题组]【创新集训】1.(2018北京石景山期末,8,5分)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的( )A.点M B.点N C.点P D.点Q答案 D A.假设这个位置在点M,则从A至B这段时间,y不随时间的变化而变化,与函数图象不符,故本选项错误;B.假设这个位置在点N,则从A至C这段时间,A点与C点对应y的大小应该相同,与函数图象不符,故本选项错误;C.假设这个位置在点P,由函数图象可得,从A到C的过程中,会有一个时刻,教练到小明的距离等于t=30时教练到小明的距离,而点P不符合这个条件,故本选项错误;D.经判断点Q符合函数图象,故本选项正确.故选D.思路分析 分别假设这个位置在点M、N、P、Q,然后结合图象进行判断.2.(多选题)(2021届华南师范大学附中模拟)如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=at.则下列说法正确的是( )
A.浮萍每月的增长率为2B.浮萍每月增加的面积都相等C.第4个月时,浮萍面积不超过80m2D.若浮萍蔓延到2m2,4m2,8m2所经过的时间(单位:月)分别是t1,t2,t3,则2t2=t1+t3答案 AD 由图象可知,函数图象过点(1,3),∴a=3,∴函数解析式为y=3t(t≥0),∴浮萍每月的增长率为==2,故选项A正确;∵函数y=3t是指数函数,是曲线型函数,∴浮萍每月增加的面积不相等,故选项B错误;当t=4时,y=34=81>80,故选项C错误;对于D选项,∵=2,=4,=8,∴t1=log32,t2=log34,t3=log38,又∵2log34=log316=log32+log38,∴2t2=t1+t3,故选项D正确.故选AD.3.(2018北京一六一中学期中,8)经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),用横轴表示产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政府限制最高价格等)的影响下,市场会自发调解供求关系:当产品价格P1低于均衡价格P0时,需求量大于供应量,价格会上升为P2;当产品价格P2高于均衡价格P0时,供应量大于需求量,价格又会下降,价格如此波动下去,产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0.能正确表示上述供求关系的图象是( )答案 D 因为当价格为P1时,需求量应大于供应量,由此可将B、C排除.选项A、D的区别在于两条曲线的斜率变化的快慢.当价格为P2时,供应量大于需求量,价格下降为P3,此时供应量小于需求量,价格会上升为P4,在价格由P1到P4的变化过程中,选项A和选项D的图象如图:
由图可知,选项A的价格会越来越远离P0,选项D越来越靠近P0.故选D.
