11.6正态分布第十一章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例,借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、方差及其含义.备考指导正态分布在高考中一般以选择题、填空题的形式进行考查,难度不大.纵观近几年的高考趋势,对概率的要求有所提高,正态分布知识有可能出现在概率解答题中的某一环节,尤其对于正态分布的3σ原则要引起重视.本节常利用对称性、间接法进行概率求解,素养方面要加强逻辑推理、直观想象和数学建模的培养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.正态密度函数及其图象(1)正态密度函数的解析式为,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数.(2)正态密度函数对应的图象称为正态密度曲线,简称正态曲线.2.正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.问题思考1若随机变量X~N(μ,σ2),则参数μ和σ的意义是什么?μ和σ分别为随机变量X的均值和标准差.\n3.正态曲线的特点(1)曲线在x轴的上方,曲线与x轴围成的面积总为1;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值(4)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.\n问题思考2参数μ,σ对正态曲线的位置和形状有何影响?(1)当σ一定时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图①所示.(2)当μ一定时,正态曲线的形状由σ确定.σ越小,峰值越高,曲线越“瘦高”,表示随机变量的分布越集中;σ越大,峰值越低,曲线越“矮胖”,表示随机变量的分布越分散,如图②所示.图①图②\n4.3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)随机变量X服从正态分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中参数μ和σ2分别表示正态分布的均值和方差.()(2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积随参数μ,σ的变化而变化.()(3)正态曲线可以关于y轴对称.()2.已知随机变量X~N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0<X<2)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2√×√C由题意可知P(X<2)=0.5,P(0<X<2)=P(2<X<4)=P(X<4)-P(X<2)=0.3.故选C.\n3.(多选)已知甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布,其正态曲线如图所示,则下列说法正确的是()A.乙类水果的平均质量为0.8kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量左右C.μ1<μ2D.σ1>σ2ABC\n因为甲的图象关于直线x=0.4对称,乙的图象关于直线x=0.8对称,所以μ1=0.4,μ2=0.8,故A正确,C正确.因为甲的图象比乙的图象更“瘦高”,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量左右,σ1<σ2,故B正确,D错误.\n4.已知随机变量X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率约为.(精确到千分位)5.设某城市居民私家车的平均每月汽油费用为随机变量X(单位:元),经统计,X~N(520,14400),从该城市私家车中随机选取容量为10000的样本,则平均每月汽油费用在区间(400,640)内的私家车约有辆.0.0236827因为X~N(520,14400),所以μ=520,σ=120,所以P(400<X<640)=P(520-120<X<520+120)≈0.6827.所以平均每月汽油费用在区间(400,640)内的私家车约有10000×0.6827=6827(辆).\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1正态曲线及其性质例1(多选)已知三个正态密度函数,x∈R(i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.σ1=σ2=σ3B.σ1=σ2<σ3C.μ1=μ2>μ3D.μ1<μ2=μ3BD观察图象可知μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3.\n解题心得对于正态曲线,首先应抓住图象的两个实质性特点:一是对称轴为直线x=μ,二是峰值为.这两点确定以后,相应参数μ,σ便确定了,然后根据参数对图象影响的规律进行判断.\n对点训练1设随机变量,X,Y的密度曲线如图所示,则有()A.μ1<μ2,σ1<σ2B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σ1>σ2A根据正态曲线的特点,观察题中图象可知μ1<μ2,σ1<σ2.\n能力形成点2利用正态曲线的对称性求概率例2设随机变量X~N(1,22),试求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X>5).\n拓展延伸例2条件不变,若P(X>c+1)=P(X<c-1),求c的值.解因为X~N(1,22),所以μ=1.又P(X>c+1)=P(X<c-1),即c=1.\n解题心得利用正态分布求概率的两种方法(1)对称法:已知X~N(μ,σ2),因为正态曲线关于直线x=μ对称,所以X的取值在关于直线x=μ对称的区间上的概率相等.(2)3σ法:已知X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.\n对点训练2已知随机变量X~N(1,σ2),若P(-1<X<1)=a,则P(X>3)=()A\n第三环节 学科素养提升\n正态分布的实际应用典例1(多选)已知在某市的一次学情检测中,学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,则下列说法正确的是()附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.该市学生数学成绩的均值为100B.该市学生数学成绩的标准差为100C.该市学生数学成绩的及格率超过0.8D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等答案:AC\n解析:依题意,μ=100,σ=10,故该市学生数学成绩的均值为100,标准差为10,故A正确,B错误.因为X~N(100,100),所以P(X<100)=P(X≥100)=0.5,P(90≤X≤110)≈0.6827,P(80≤X≤120)≈0.9545,所以该市学生数学成绩不及格的人数比优秀的人数多很多,故D错误.\n典例2有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5000个,试求:(1)这批零件中尺寸在18~22mm的零件所占的百分比;(2)若规定尺寸在24~26mm的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个?解:(1)因为X~N(20,4),所以μ=20,σ=2,所以P(18≤X≤22)≈0.6827,所以这批零件中尺寸在18~22mm的零件所占的百分比约为68.27%.(2)因为P(16≤X≤24)≈0.9545,P(14≤X≤26)≈0.9973,所以P(24≤X≤26)=[P(14≤X≤26)-P(16≤X≤24)]≈0.0214.所以这批零件中尺寸在24~26mm的零件大约有5000×0.0214=107(个).\n解题心得解决正态分布的实际应用问题,关键是将待求问题的正态变量的取值范围向[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]这三个区间进行转化,在此过程中用到转化与化归思想和数形结合思想.
