第十章计数原理、概率、随机变量及其分布\n第七讲 正态分布\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\nX～N(μ，σ2)上方x＝μ\nx＝μ1集中分散\n知识点二 正态分布(1)正态分布的定义及表示．若对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝____________，则称X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈____________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈____________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈____________.0.68270.95450.9973\n对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；(2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(3)P(X<x0)＝1－P(x≥x0)；(4)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．注：在X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)时，要充分利用正态曲线的关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．()√√\n√×\n题组二 走进教材2．(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，52)，则P(165<X≤180)＝____________.0.8186\n题组三 走向高考3．(2015·山东)已知某批零件的长度误差X(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：正态分布N(μ，σ2)中，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545)A．0.0456B．0.1359C．0.2718D．0.3174B\n\n4．(2015·湖北，5分)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)C\n\n5．(2021·全国新高考Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是()A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等D\n[解析]对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误．故选D．\n考点突破·互动探究\n(2022·河北唐山模拟)已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，随机变量Y服从正态分布N(1，1)，且P(X>1)＝0.1587，则P(1<Y<2)＝()A．0.1587B．0.3413C．0.8413D．0.6587例1B考点一正态分布的性质——自主练透\n[解析]由正态曲线的性质知，随机变量X、Y的正态曲线形状相同，(如图)．由题意P(Y>2)＝P(X>1)＝0.1587，∴P(1<Y<2)＝0.5－0.1587＝0.3413.故选B．\n对X～N(μ，σ2)中的μ，σ的意义不清楚，特别是对μ的认识不清楚，就会在解题时无从下手，导致随便给出一个结果．这里μ是随机变量X的均值，σ是标准差，x＝μ是正态分布密度曲线的对称轴．\nD\n[解析]由图可知，μ2＝μ3>μ1，排除B、C．又∵σ越大曲线越矮胖∴σ3>σ2，排除A．故选D．\n角度1正态曲线的对称性(2022·山东新高考质量测评联盟联考)在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N(86，σ2)，若已知P(80<X≤86)＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为()A．0.86B．0.64C．0.36D．0.14[解析]由题意P(86<x≤92)＝P(80<x≤86)＝0.36，∴P(X>92)＝0.5－0.36＝0.14，故选D．例2D考点二正态分布——多维探究\n[引申]本例中若有1000名学生参加测试，则测试成绩在80分以上的人数为_______.[解析]1000×P(X>80)＝1000×[1－(0.5－0.36)]＝860.860\n角度2确定正态曲线的对称轴(2022·福建模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<3)＋P(X≤1)＝1，则μ＝_____.[解析]因为X服从正态分布N(μ，σ2)，所以P(X<3)＋P(X≥3)＝1，所以P(X≤1)＝P(X≥3)，由正态曲线的对称性知对称轴为X＝2，所以μ＝2.例32\n角度3三个常用数据(2020·安阳二模)2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标X～N(15，0.0025)，单位为g，该厂每天生产的质量在(14.9g，15.05g)的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为()参考数据：若X～N(μ，σ2)，则例4\nP(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.A．158700B．22750C．2700D．1350[解析]由题意知，X～N(15，0.0025)，即μ＝15，σ2＝0.0025，即σ＝0.05；\n[答案]D\n关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．\n〔变式训练2〕(1)(角度1)(2022·江苏调研)已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(－2<X<1)＝()A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6(2)(角度2)(2022·江西模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<2)＝P(X>8)＝0.15，则P(2≤X<5)＝()A．0.3B．0.35C．0.5D．0.7CB\n(3)(角度3)(2022·青岛模拟)已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额X(单位：元)服从正态分布N(2000，1002)，则该市某居民手机支付的消费额在(1900，2200)内的概率为()附：随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.A．0.9759B．0.84C．0.8186D．0.4772C\n\n(2)根据题意，正态分布N(μ，σ2)，若P(X<2)＝P(X>8)＝0.15，则μ＝5，即这组数据对应的正态曲线的对称轴x＝5，则P(X<5)＝0.5，又由P(X<2)＝0.15，得P(2≤X<5)＝0.5－0.15＝0.35.故选B．\n\n例5考点三正态分布的综合应用A\n(2)(2021·河南六市模拟)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：\n\n\n\n\n\n\n解决正态分布问题的三个关键点若随机变量X～N(μ，σ2)，则(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率\n〔变式训练3〕(2021·广西柳州铁路一中、玉林一中联考)从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：\n\n\n\n\n名师讲坛·素养提升\n利用均值与方差求解决策性问题(2021·湖南益阳调研)已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名未感染，需要通过化验血液来确定感染者．血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为未感染者．(1)若从这6名密切接触者中随机抽取2名，求抽到感染者的概率；(2)血液化验确定感染者的方法有：方法一是逐一化验；方法二是平均分组混合化验，先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒，若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验；直至确定感染者．例6\n(ⅰ)采取逐一化验，求所需化验次数X的分布列及数学期望；(ⅱ)采取平均分成三组混合化验(每组血液份数相同)，求该分组方法所需化验次数的数学期望．你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由．\n\n\n随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．\n〔变式训练4〕(2021·山东潍坊期末)在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为r(0<r<1)，它们之间相互不影响．(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值；(2)当r＝0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；\n(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元．请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？\n\n(3)设方案1、方案2的总损失分别为X1、X2.采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9，由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999，因此，E(X1)＝80000＋0.001×500000＝80500元．采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度达到0.8，由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008，E(X2)＝50000＋0.008×500000＝54000元；因此，从期望损失最小的角度，决策部门应选择方案2.
