2.6对数与对数函数第二章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.4.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).\n备考指导作为另一种重要的基本初等函数,对数函数比指数函数在高考中更加常见,除了基本的对数运算、图象与性质外,对数运算还经常与其他知识综合考查.解题时要重视对数的真数大于0这一条件,重视其图象以及单调性等性质的应用,提升数学抽象素养与应用数形结合思想解题的能力.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.对数的概念(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:(2)a的取值范围:a>0,且a≠1.\n2.常用对数与自然对数3.对数的性质\n\n6.对数函数的图象与性质\n7.反函数对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.它们的定义域与值域正好互换.\n1.换底公式的两个重要结论其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m≠0,n∈R.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.\n【知识巩固】××××√\nB\n3.函数y=logax与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A当a>1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1,选项B,D中的图象都不符合要求;当0<a<1时,函数y=logax的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0<a<1,选项A中的图象符合要求,选项C中的图象不符合要求.\n4.函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点是.(2,2)当x=2时,函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的值为2,所以图象恒过定点(2,2).4\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1对数式的化简与求值A-20\n解题心得对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数的运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.\n(2)原式=(lg2)2+(1+lg5)lg2+lg52=(lg2+lg5+1)lg2+2lg5=(1+1)lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.2\n能力形成点2对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的大致图象为()C先作出当x≥0时,f(x)=ln(x+1)的图象,显然图象经过点(0,0),再作此图象关于y轴对称的图象,可得函数f(x)在R上的大致图象,如选项C中图象所示.\nB\n\n拓展延伸若本例(2)变为方程4x=logax在区间上有解,则实数a的取值范围为.\n解题心得应用对数型函数的图象可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.\n对点训练2(1)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1D由该函数的图象通过第一、第二、第四象限知该函数为减函数,所以0<a<1.因为图象与x轴的交点在区间(0,1)之间,所以该函数的图象是由函数y=logax的图象向左平移不到1个单位长度后得到的,所以0<c<1.\n(2)若不等式x2-logax<0对任意恒成立,则实数a的取值范围为.\n能力形成点3对数函数的性质及其应用命题角度1比较对数值的大小例3已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<bA\n命题角度2解简单的对数不等式C\nA.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)C\n命题角度3对数型函数的综合问题例5已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的单调性.解(1)由ax-1>0,得ax>1.当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.故当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).所以f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.类似地,当0<a<1时,f(x)在区间(-∞,0)内单调递增.\n解题心得1.比较对数式的大小:(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.2.解简单的对数不等式,先统一底数,再利用函数的单调性,要注意对底数a的分类讨论.3.在判断对数型复合函数的单调性时,一定要明确底数a对单调性的影响,以及真数必须为正数的限制条件.\n对点训练3(1)已知a=log2e,b=ln2,,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>bD且y=log2x在区间(0,+∞)内单调递增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1.因为y=lnx在区间(0,+∞)内单调递增,且b=ln2,所以ln2<lne=1,即b<1.综上可知,c>a>b.故选D.\n(2)若不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立,则实数x的取值范围是.\n对点训练4已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0,且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.\n解(1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),故所求函数的定义域为{x|-1<x<1}.(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,所以x的取值范围是(0,1).\n第三环节 学科素养提升\n对数型复合函数的单调性与奇偶性问题命题角度1对数型复合函数的单调性问题典例1求下列函数的单调区间;解题提示本题主要考查复合函数单调区间的求法,求解时要先求函数的定义域.\n解:(1)由题意知x2+4x-12>0,依据二次函数t=x2+4x-12的图象可得x>2或x<-6.且t=x2+4x-12在区间(-∞,-6)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.又是区间(0,+∞)内的减函数,故所求函数的单调递增区间是(-∞,-6),单调递减区间是(2,+∞).(2)令t=log0.4x,且t=log0.4x在区间(0,+∞)内单调递减.又y=t2-2t+2=(t-1)2+1在区间[1,+∞)内单调递增,在区间(-∞,1)内单调递减,由t=log0.4x≥1,得0<x≤0.4,由t=log0.4x<1,得x>0.4.故所求函数的单调递增区间为(0.4,+∞),单调递减区间为(0,0.4].\n解题心得对数型复合函数单调性的求解策略(1)对数型复合函数一般可分两类:一类是对数函数为外函数,即y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型;另一类是对数函数为内函数,即y=f(logax)(a>0,且a≠1)型.(2)对于y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型函数的单调性,有以下结论:y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的单调性与u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反.研究y=f(logax)(a>0,且a≠1)型复合函数的单调性,一般令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.\n命题角度2对数型复合函数的奇偶性问题典例2已知是奇函数.(1)求实数m的值;(2)判定f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.\n\n解题心得1.对数函数本身不具有奇偶性,但与有些函数复合后,就具有了奇偶性,如y=log2|x|就是偶函数.这类函数的奇偶性可利用函数奇偶性的定义,并结合对数的运算性质来判断.
