★数学建模——初等函数模型的应用2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.3.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.\n备考指导1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.3.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.常见的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(3)反比例函数模型:(k为常数,k≠0);(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);\n2.指数函数、对数函数、幂函数模型的性质比较\n1.当描述的增长速度变化很快时,选用指数型函数模型.2.当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,选用对数型函数模型.3.幂函数模型y=xn(n>0)可以描述增长幅度不同的变化,当n值较小(n≤1)时,增长较慢;当n值较大(n>1)时,增长较快.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)幂函数增长比一次函数增长更快.()(2)在区间(0,+∞)内,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.()(3)指数型函数模型一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.()(4)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f(x)<g(x).()(5)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a>0,b>1)增长速度越来越快的形象比喻.()×√√√√\n2.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()D\n3.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表,则x,y最适合的函数模型是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2xD根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除选项A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除选项B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.\n4.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为(单位:万元).1万件商品的售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为万件.18\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1一次函数、二次函数模型例1某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原料价格决定,预计m∈[6,8],另外,年销售x件B产品时需上交0.05x2万元的特别关税,假设生产出来的产品都能在当年销售出去.(1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x1,x2之间的函数解析式,并指明定义域;(2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划.\n解(1)由题意得y1=10x1-(20+mx1)=(10-m)x1-20(0≤x1≤200,=-0.05(x2-100)2+460(0≤x2≤120,且x2∈N).\n(2)因为6≤m≤8,所以10-m>0,所以y1=(10-m)x1-20单调递增.又0≤x1≤200,x1∈N,所以当x1=200时,生产A产品的最大利润为(10-m)×200-20=1980-200m(万元).因为y2=-0.05(x2-100)2+460(0≤x2≤120,且x2∈N),所以当x2=100时,生产B产品的最大利润为460万元.(y1)max-(y2)max=(1980-200m)-460=1520-200m.易知当6≤m<7.6时,(y1)max>(y2)max.即当6≤m<7.6时,投资生产A产品200件可获得最大年利润;当m=7.6时,投资生产A产品200件或投资生产B产品100件,均可获得最大年利润;当7.6<m≤8时,投资生产B产品100件可获得最大年利润.\n解题心得解决一次函数、二次函数模型问题的三个注意点:(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法;(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.\n对点训练1某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①所示;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②所示(注:利润和投资单位:万元).(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数解析式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入到A,B两种产品的生产中.①若平均投入生产两种产品,则可获得多少利润?②怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润为多少万元?\n\n能力形成点2分段函数模型例2某市计划明年投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以30天计),民族文化旅游人数f(x)(单位:万人)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足,人均消费g(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足g(x)=104-|x-23|.(1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N*)的函数解析式;(2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.\n\n\n解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系就是分段函数.2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同的问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.\n对点训练2某公司为了变废为宝,节约资源,新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算,该项目月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可以近似地表示为且每处理一吨生活垃圾,可得到能利用的生物柴油价值为200元.若该项目不获利,则政府将给予补贴.(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?若获利,求出最大利润;若不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?\n解(1)当x∈[200,300]时,设该项目获利为S元,即当x∈[200,300]时,S<0,因此该项目不会获利.当x=300时,S取得最大值-5000,故政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损.\n\n能力形成点3y=ax+的函数模型例3如图,公园里有一块边长为2的等边三角形ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.(1)设AD=x(x≥1),DE=y,求用x表示y的函数解析式;(2)公园管理处想沿DE设计一条智能灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?\n\n拓展延伸本题条件下,若计划将DE设计成一条参观线路,则希望它最长,此时DE的位置又该在哪里?请说明理由.\n\n对点训练3某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧及后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?\n能力形成点4指数型函数、对数型函数模型例4某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市的人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数解析式;(2)计算10年以后该城市的人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210,log1.0121.2≈15.3)\n解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%),2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2,3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3,……x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.故该城市人口总数y与年份x的函数解析式是y=100×(1+1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).故10年后该城市人口总数约为112.7万.\n(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x=120,即大约15年后该城市人口将达到120万人.解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数型函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.\n对点训练4声强级Y(单位:分贝)由公式给出,其中I为声强(单位:W/m2).(1)平常人交谈时的声强约为10-6W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,则能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝,已知熄灯后两名同学在宿舍说话的声强为5×10-7W/m2,则这两名同学是否会影响其他同学休息?\n\n第三环节 学科素养提升\n确定数据拟合函数模型的种类对于给出一组数据拟合函数模型的题目,应根据由数据得到的散点图观察图象的变化趋势,结合常见函数模型的图象特点,找出比较合理的函数模型,根据数据的特点,可能有多种不同结果.正确地将实际问题转化为函数模型,这是解应用题的关键.通过对已知条件的综合分析、归纳与抽象,并与熟知的函数模型相比较来确定函数模型的种类.比如某信息研究所对某种蔬菜的需求量和供给量进行了市场调查,得到以下数据:价格为4元/千克,需求量为80吨,供给量为56吨;价格为4.8元/千克,需求量为77吨,供给量为68吨;价格为5.6元/千克,需求量为73吨,供给量为74吨;价格为6.5元/千克,需求量为65吨,供给量为80吨;价格为7.2元/千克,需求量为60吨,供给量为90吨.试分析市场的供求规律,探求市场的供需平衡点(即供给量和需求量相等点).\n先将问题的信息浓缩为下面的表格,可以直观地抓住问题的关键信息.运用数据拟合的方法,根据收集的数据在平面直角坐标系中描点,建立需求曲线和供给曲线,提供以下几种不同的方案参考:方案一:认为散点近似地落在两条直线上,建立直线模型,通过求出两直线的交点,寻求市场的供需平衡点;方案二:认为散点近似地落在两条抛物线上,建立抛物线模型;方案三:认为散点近似地落在两条指数曲线上,建立指数曲线模型.选择函数对数据进行拟合后,需要对模型加以检验,如果偏差太大,那么需要重新选取函数模型进行拟合.\n典例以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表:(1)根据表中提供的数据,能否从我们已经学过的函数y=ax+b,y=alnx+b,y=a·bx中选择一种函数,使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系?试求出这个函数解析式.(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于相同身高男性体重平均值的0.8为偏瘦,则该地区某中学一男生身高为175cm,体重为78kg,他的体重是否正常?\n解题提示可以先根据表中的数据描点作出图象(散点图),再根据散点图的形状判断应当选择哪种函数模型,并根据已知数据求出所选函数解析式的待定系数,最后将表中的数据代入求得的解析式看所得函数值是否与已知体重数据基本吻合.\n解:(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,在平面直角坐标系中作出散点图,如图.①②根据散点图考虑用函数y=a·bx反映上述数据之间的对应关系.把x=70,y=7.90和x=160,y=47.25两组数据分别代入y=a·bx,\n所以,该地区未成年男性体重关于身高的近似函数关系式可选为y=2×1.02x.将已知数据代入所得函数解析式,或作出所得函数的图象,可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系.(2)把x=175代入y=2×1.02x,得y=2×1.02175,解得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2,因此这名男生体形偏胖.\n解题心得数据拟合过程的一般步骤:(1)收集数据,并进行列表,以方便观察和描点;(2)在平面直角坐标系中画出散点图;(3)选择合适的函数模型;(4)代入数据,求出函数模型;(5)对所求得的模型进行检验,看是否符合实际.
