第八章解析几何\n第七讲 抛物线\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 抛物线的定义抛物线需要满足以下三个条件：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离________；(3)定点F与定直线l的关系为__________.相等点F∉l\n知识点二 抛物线的标准方程与几何性质\n1\n\n抛物线焦点弦的处理规律如图，直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，CA⊥l于C，BD⊥l于D，BM⊥AC于M，交OF于N，(l为抛物线的准线)．则△HBD∽△HFQ∽△HAC∽△BFN∽△BAM等，且\n\n××\n×√√\nB\nBC\n\n题组三 走向高考4．(2020·新课标Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A．2B．3C．6D．9C\n\n考点突破·互动探究\n角度1轨迹问题动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线例1D考点一抛物线的定义及应用——多维探究\n[解析]设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2距离为r＋1，即动圆圆心到定点(－2，0)和定直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D．\n角度2到焦点与到定点距离之和最小问题(1)(2021·河北保定七校联考)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则|MF|＋|MC|的最小值为()A．2B．3C．4D．5例2B\nB\n[解析](1)设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，所以C的坐标为(－1，2)，过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以问题求|MF|＋|MC|的最小值，就转化为求|ME|＋|MC|的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值为|CE|＝2－(－1)＝3，故选B．\n\n[引申]本例(2)①中，(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值为______；最小值为________；(ⅱ)若N为⊙C上任一点，则|MF|＋|MN|的最小值为_____.2\n例3A\n例4B\n\n利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．注：看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．\nx2＝8yB\n2C[解析](1)由题意知P到A的距离等于其到直线y＝－2的距离，故P的轨迹是以A为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线，所以其方程为x2＝8y.\n\n\n\n(1)过点P(－3，2)的抛物线的标准方程为________________.(2)焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程为_____________________，准线方程为________________.例5考点二抛物线的标准方程——自主练透y2＝16x或x2＝－8yx＝－4或y＝2\nB\n\n\n\n[引申]本例(3)中，若不给出图形，则kAB＝________.\n求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．一般焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝ay(a≠0)．注：数形结合解题时，注意图形的对称性，不要丢解．\nA\n(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为()A．x2＝8yB．x2＝4yC．x2＝－4yD．x2＝－8yD\n\n(1)(2021·广西四校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A．4B．9C．10D．18例6C考点三抛物线的几何性质——师生共研\nD\n\n\n在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．注意抛物线上点到焦点距离与到准线距离的转化，关注图中的直角梯形(直角三角形)．\nC\n(2)(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AF|＝4|BF|，则|AB|＝______.\n\n\n(1)(2021·吉林长春外国语学校期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，且弦AB中点的纵坐标为1，则抛物线C的标准方程为()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝6xD．y2＝8x例7B考点四直线与抛物线的综合问题——师生共研\n(2)(2021·湖南五市十校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线y＝x－1与C相交所得的弦长为8.①求p的值；②过原点O的直线l与抛物线C交于M点，与直线x＝－1交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点．\n\n\n\n\n(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用根与系数的关系“整体代入”求解．注意根据抛物线方程确定消x还是消y，一般消一次项变量．(2)求解抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)“中点弦”问题的处理方法——点差法．\nD\n\n\n\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例8D\n\n\n\n利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．\n±1C\n\n
