第三章函数第五节 二次函数的综合应用命题点1 二次函数综合题（必考）1.（2022重庆A卷25题12分）如图，对称轴为直线x＝-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）.（1）求点B的坐标；（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点.①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC.求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.第1题图2.(2022重庆B卷25题12分)如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC.（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标.第2题图17\n3.（2022重庆A卷25题12分）如图，抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.（1）求点A、B、C的坐标;（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积;（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG＝2DQ，求点F的坐标.第3题图4.（2022重庆A卷26题12分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D.17\n（1）求直线BC的解析式；（2）点E（m,0），F（m+2,0）为x轴上两点，其中2＜m＜4.EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N.当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使｜RF′-RE′｜的值最大.请求出R点的坐标及｜RF′-RE′｜的最大值；（3）如图②，已知x轴上一点P（,0），现以P为顶点，2为边长在x轴上方作等边三角形QPG，使GP⊥x轴.现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止.记平移后的△QPG为△Q′P′G′，设△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为S.当点Q′到x轴的距离与点Q′到直线AW的距离相等时，求S的值.图①图②第4题图5.（2022重庆B卷26题12分）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.(1)求直线AD的解析式；(2)如图①,直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值;(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.17\n第5题图【拓展猜押】如图①，抛物线y=ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为y=x+5，抛物线的对称轴与x轴交于点E，点D（-2，-3）在对称轴上.（1）求此抛物线的解析式；（2）如图①，若点M是线段OE上一点（点M不与点O、E重合），过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N，记点N关于抛物线对称轴的对称点为点F，点P是线段MN上一点，且满足MN=4MP，连接FN、FP，作QP⊥PF交x轴于点Q，且满足PF=PQ，求点Q的坐标；（3）如图②，过点B作BK⊥x轴交直线AC于点K，连接DK、AD，点H是DK的中点，点G是线段AK上任意一点，将△DGH沿GH边翻折得△D′GH，求当KG为何值时，△D′GH与△KGH重叠部分的面积是△DGK面积的？图①图②备用图拓展猜押题图命题点3 二次函数的实际应用【答案】 命题点1 二次函数综合题1.解：（1）∵点A(-3,0)与点B关于直线x=-1对称，∴点B的坐标为（1,0）.（2分）（2）∵a=1,∴y=x2+bx+c.17\n∵抛物线过点(-3,0)，且对称轴为直线x=-1,∴b=2,c=-3,∴y=x2+2x-3，∴点C的坐标为(0,-3).（4分）①设P的坐标为（x,y）.由题意S△BOC=×1×3＝，∴S△POC=6.（6分）当x>0时，有×3×x=6,∴x=4,∴y=42+2×4-3=21.（7分）当x<0时，有×3×（-x）=6,∴x=-4,∴y=(-4)2+2×(-4)-3=5.（8分）∴点P的坐标为(4,21)或（-4,5）.（9分）②设点A、C所在直线的解析式为y=mx+n（m≠n）,把A（-3，0）、C(0，-3)代入，则,解得，∴y=-x-3.设点Q的坐标为(x,-x-3),-3≤x≤0.因为QD⊥x轴，且D在抛物线上，则D(x,x2+2x-3)，则有QD＝-x-3-(x2+2x-3)=-x2-3x=-(x+)2+.（11分）∵-3≤-≤0,∴当x=-时，QD有最大值.∴线段QD长度的最大值为.（12分）第1题解图2.解：（1）当y=0时，-x2+2x+3=0,解得：x1=-1,x2=3,∴A（-1,0），B（3,0）,(2分)当x=0时，y=3,∴C(0,3),(3分)17\n∴点A、B、C的坐标分别是A（-1,0），B（3,0），C(0,3).(4分)（2）设△BCM的面积为S，点M的坐标为（a,-a2+2a+3）,则OC=3,OB=3,ON=a，MN=-a2+2a+3,BN=3-a.根据题意，S△BCM=S四边形OCMN+S△MNB-S△COB=（OC+MN）·ON+MN·NB-OC·OB=［3+(-a2+2a+3)］a+(-a2+2a+3)(3-a)-×3×3=-a2+a=-(a-)2+,∴当a=时，S有最大值，(6分)此时，ON=a=,BN=3-a=,∵OC=OB=3,∠COB=90°，∴∠PBN=45°，∴PN=BN=,根据勾股定理，得PB==，∴△BPN的周长=++=3+.(8分)（3）根据题意，抛物线的对称轴是直线x=1.且对称轴交x轴于D点.Ⅰ.如解图①，以CN为直径作圆，分别交抛物线的对称轴于点Q1、Q2，连接CQ1、NQ2，作Q1F⊥y轴交y轴于点F,则∠CQ1N=∠CQ2N=90°.第2题解图①①∵∠FQ1C+∠CQ1D=∠DQ1N+∠CQ1D，∴∠FQ1C=∠DQ1N，又∵∠Q1FC=∠Q1DN=90°，∴△FQ1C∽△DQ1N，∴=，即=，解得：CF=或CF=（舍去），∴DQ1=OC+CF=3+=，∴Q1(1,)；(9分)17\n②与①同理可证△DNQ2∽△DQ1N，∴=，即=，解得：Q2D=，∴Q2（1，-）.(10分)Ⅱ.如解图②，过点N作CN的垂线，交对称轴于点Q3.第2题解图②∵∠Q3ND+∠ONC=∠OCN+∠ONC=90°，∴∠Q3ND=∠OCN，又∵∠COD=∠NDQ3=90°，∴△Q3ND∽△NCO，∴=，即=，解得：Q3D=，∴Q3(1,-)；(11分)Ⅲ.如解图③，过点C作CN的垂线，交对称轴于点Q4.作CE⊥DQ4于E.∵∠Q4CE+∠ECN=∠OCN+∠ECN=90°，∴∠Q4CE=∠OCN，第2题解图③又∵∠CON=∠CEQ4=90°，17\n∴△Q4CE∽△NCO，∴，即=，解得：Q4E=，∴DQ4=3+=，∴Q4(1,).综上所述，点Q的坐标为：Q1(1,)，Q2（1，-），Q3(1,-)，Q4(1,)(12分)3.解：(1)y=-x2-2x+3,令x=0，得y=3,则C（0，3）,(1分)令y=0,得-x2-2x+3=0，解得x1=-3,x2=1,∴A(-3,0),B(1,0).(3分)(2)由x=-＝-1得，抛物线的对称轴为直线x=-1.(4分)设点M（x,0）,P(x,-x2-2x+3),其中-3＜x＜-1.∵P、Q关于直线x=-1对称，设Q的横坐标为a，则a-(-1)=-1-x,∴a=-2-x,∴Q(-2-x,-x2-2x+3)，(5分)∴MP=-x2-2x+3,PQ=-2-x-x=-2-2x,∴矩形PMNQ的周长d=2(-2-2x-x2-2x+3)=-2x2-8x+2＝-2(x+2)2+10,∴当x=-2时，d取最大值.(6分)此时，M（-2,0）,∴AM=-2-(-3)=1，设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),则,解得.∴直线AC的解析式为y=x+3.将x=-2代入y=x+3得y=1,∴E(-2,1),∴EM=1,(7分)∴S△AEM＝AM·ME＝×1×1＝.(8分)（3）由（2）知，当矩形PMNQ的周长最大时，x=-2,此时点Q（0，3）,与点C重合，17\n∴OQ=3.将x=-1代入y=-x2-2x+3，得y=4,∴D(-1,4).如解图，过D作DK⊥y轴于K，则DK=1，OK=4，∴QK=OK-OQ=4-3=1，∴△DKQ是等腰直角三角形，DQ=.(9分)∴FG=2DQ=2×2＝4，(10分)设F（m,-m2-2m+3），G（m,m+3）,则FG=(m+3)-(-m2-2m+3)=m2+3m，∵FG＝4，∴m2+3m=4,解得m1=-4,m2=1，当m=-4时，-m2-2m+3=-(-4)2-2×（-4）+3＝-5，当m=1时，-m2-2m+3=-12-2×1+3＝0，∴F（-4，-5）或（1，0）.(12分)第3题解图4.解：∵y=x2＋x＋3=(x-2)2＋4，∴C(2，4).(1分）当y=0时，即0=x2＋x＋3，解得x1=6，x2=-2，∴B(6，0)，A(-2，0).(2分）设直线BC的解析式为y=kx＋b，代入B(6，0)，C(2，4)，得，，∴y=-x＋6.(4分）17\n(2)∵E(m，0)，∴M(m，-m＋6)，E′(m，-m2＋m＋3)，∴E′M=(-m2＋m＋3)-(-m＋6)=-m2＋2m-3.∵F(m＋2，0)，∴N(m＋2，-(m＋2)＋6)，F′(m＋2，-(m＋2)2＋(m＋2)＋3)，∴F′N=［-(m＋2)2＋(m＋2)＋3］-［-(m＋2)＋6］=-(m＋2)2＋2(m＋2)-3=-m2+m,(5分)∴E′M＋F′N=(-m2＋2m-3)＋(-m2+m)=-(m-3)2＋.∴当m=3时，ME′＋NF′的值最大.此时E′(3，)，F′(5，).(6分)延长F′E′交y轴于R点，如解图①,则R满足|RF′-RE′|最大,即在y轴上取异于R的任一点R′，连接R′F′、R′E′，则|R′F′-R′E′|＜E′F′=|RF′-RE′|，即R使|RF′-RE′|最大.第4题解图①设直线E′F′的解析式为y=ax＋b（a≠0），代入E′(3，)，F′(5，)，得17\n，解得，∴y=-x＋.当x=0时，y=，∴R(0，).作F′K⊥EM于点K，如解图①,则F′K=2，E′K=-=2，∴E′F′==4,∴|RF′-RE′|的最大值为4,此时点R（0，）.(8分)(3)∵对y=-x2＋x＋3，当x=0时，y=3，∴W(0，3).∵点Q′到x轴、直线AW的距离相等，∴点Q′在∠WAB的平分线上或在∠WAB补角的平分线上.①当点Q′在∠WAB的平分线上时，如解图②，作∠WAB的平分线AL.过Q点作x轴的平行线交AW于S点，交AL于T点，交PG于V点.当Q′与T重合时，Q′为符合题意的点.第4题解图②∵PG⊥x轴，∴SV⊥PG，∴在等边△PGQ中，PV=PG=，17\n∴S、T点的纵坐标都为，V(，).设直线AW的解析式为y=mx＋n（m≠0），代入(-2，0)，(0，3)，得，，∴直线AW的解析式为y=x＋3.当y=时，即=x＋3，得x=-，∴S(-，)，SV=＋=.作SZ⊥x轴于Z点，如解图②,则AZ=2-=，SZ=，∴AS==.∵AL平分∠WAB，∴∠WAL=∠LAB.∵SV∥x轴，∴∠STA=∠LAB，∴∠WAT=∠STA，∴ST=SA=,∴T到CD的距离为SV-ST-DP=--(-2)=.(9分)显然点Q′与点T重合时，点Q′为符合题意的点，此时△Q′P′G′与△ADC重合部分是一个等边三角形，为这个等边三角形的高线.这个等边三角形的边长为×,所以S＝×××=.(10分)②当点Q′在∠WAB的补角的平分线上时，如解图③，作∠WAB的补角的平分线AL.过点Q作x轴的平行线交AW于S点，交AL于T点，交PG于V点.当点Q′与点T重合时，点Q′为符合题意的点.17\n第4题解图③同①，SV=，SA=ST=，∴TV=＋，在Rt△PQV中，∠VPQ=60°，PV=，∴QV=PV=3.∴△PGQ向左平移的距离为TQ=＋-3=＋，∴AP′=2＋-(＋)=-，点P′的横坐标为-2＋(-)=-.(11分）可以求得直线AC的解析式为y=x＋2，且∠CAB=60°，则直线P′G′与直线AC的交点纵坐标为(-)＋2=(2＋-)＜2=PG，∴G′在直线AC的上方.∵∠CAB=60°，∠AP′T=30°，∴AC⊥P′T,∴重叠部分是一个含有60°的直角三角形.∵AP′=-，∴阴影部分直角三角形的两直角边为AP′、AP′，17\n∴S=AP′2=(-)2=.(12分)5.解：(1)当y=0时，即0=-x2+2x+3,解得x1=-1，x2=3.∴A(-1，0)，B(3，0).当x=0时，y=3，∴C(0，3).(1分）∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点(1，4)，∴C点关于x=1的对称点D(2，3).(2分）设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），代入A(-1，0)，D(2,3)，得，解得，∴直线AD的解析式为y=x+1.(3分）(2)对于y=x+1，当x=0时，y=1，∴OE=OA=1，∴△AOE为等腰直角三角形.∵FG⊥AD，FH∥x轴，∴∠FHG=∠EAO，∠FGH=∠EOA，∴△FHG∽△EAO，∴△FGH是等腰直角三角形，∴FG∶GH∶FH=1∶1∶.(4分）设F(t，-t2+2t+3)，则点H的纵坐标为-t2+2t+3，代入y=x+1，得x=-t2+2t+2.∴H(-t2+2t+2，-t2+2t+3)，∴FH=(-t2+2t+2)-t=-t2+t+2，(5分）∴C△FGH=FG+GH+FH=++FH=(+1)FH=(+1)(-t2+t+2)=-(+1)(t-)2+(+1)，(6分）∴当t=时，C△FGH最大=(+1)=+.(7分）(3)(ⅰ)当点P在AM上方时，如解图①，过点M作MP⊥AM交y轴于P点，过P点作AM的平行线、过A点作PM的平行线，交点为点Q，直线AQ交y轴于点T.由作法知四边形AMPQ为平行四边形，且∠AMP=90°，∴四边形AMPQ是符合题意的矩形.作MR⊥y轴于点R，设AM交y轴于点S.∵A(-1，0)，M(1，4)，17\n∴RM=OA=1，又∵∠MRS=∠AOS，∠MSR=∠ASO，∴△MRS≌△AOS（AAS），∴SO=RS=OR=2，∴SM===SA.(8分）∵∠MSR=∠PSM，∠MRS=∠PMS，∴△PMS∽△MRS，∴=，∴PS==.(9分）∵SM=SA，∠PSM=∠TSA，∠PMS=∠TAS=90°，∴△PMS≌△TAS(ASA)，∴PM=AT，PS=ST=.∵OS=2，∴OT=-2=，∴T(0，-).在矩形AMPQ中，PM=AQ，∴AQ=AT.∵QT⊥AM，∴点Q、T关于AM成轴对称，∴T(0，-)为所求的点;(10分）第5题解图(ⅱ)当点P在AM下方时，如解图②作矩形APQM，延长QM交y轴于点T.同(ⅰ)可知MQ=AP=TM，且AM⊥QT，则Q关于AM的对称点为点T，此时ST与解图①中的SP相等，即TS=，又OS=2，∴OT=OS+TS=,17\n∴T(0，).(11分）∴综上，点T坐标为(0，-)，(0，).(12分）【拓展猜押】解：（1）在y=x+5中，令y=0，得x=-5，∴A（-5，0），∵D（-2，-3）在对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线x=-2，∴解得：，∴抛物线的解析式为y=-x2-4x+5.（2）∵MN⊥QM，MN⊥FN，QP⊥PF，如解图①，拓展猜押题图①∴∠2=∠6=90°，∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5又∵PF=PQ，∴△QMP≌△PNF，∴MQ=NP，MP=NF，设M（m，0）（-2＜m＜0），则N（m，-m2-4m+5），MN=-m2-4m+5∴F（-4-m，-m2-4m+5），FN=m-（-4-m）=2m+4，∴-m2-4m+5=4（2m+4），解得m=-1或m=-11（舍），∴MN=8，M（-1，0），∴MQ=NP=MN=6，∴Q（-7，0）.（3）令-x2-4x+5=0，得x=-5或x=1，∴B（1，0），K（1，6），∵DK==3，①若翻折后，点D′在直线GK上方，记D′H与GK交于点L，连接D′K，如解图②，∴S△GHL=S△KDG=S△GHK=S△GHD′，即S△GHL=S△D′GL=S△KHL，17\n∴GL=LK，HL=D′L，∴四边形D′GHK是平行四边形，拓展猜押题解图②∴DG=D′G=KH=KD=，又∵BK=BA=6，DE=AE=3，∴△ABK和△AED都是等腰直角三角形，AD=3，∴∠DAG=45°+45°=90°，由勾股定理得：AG==，∴KG=KA-AG=62-=，②若翻折后，点D′在直线DK下方，记D′G与KH交于点L，连接D′K，如解图③，∴S△GHL=S△DGK=S△GHK=S△GHD′，即S△GHL=S△D′HL=S△KGL，∴HL=KL，GL=D′L，拓展猜押题解图③∴四边形D′KGH是平行四边形，∴KG=D′H=DH=KD=，③若翻折后，点D′于点K重合，则重叠部分的面积等于S△KGH=S△KDG，不合题意；综上所述，KG=或KG=.17
