第6讲一元二次方程命题点年份(2022～2022)题序题型分值考查方向一元二次方程的应用20226选择题4近5年考查两次，另外3年考查的是其解法，2022和2022两年考查的是增长率问题.20227选择题4 一元二次方程的解法思想和思路解一元二次方程的基本思想是①____；解一元二次方程的常规思路是将二次方程转化为②________.主要解法(1)直接开平方法；(2)因式分解法；(3)③______；(4)公式法．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为：④________________. 一元二次方程的应用一元二次方程的应用题解题步骤(1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；(3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；(6)答：写出答案.1．在解一元二次方程时，要注意每一种解法的特点，灵活地选用合适的解法．在利用求根公式时，要注意前提条件b2－4ac≥0.2．用一元二次方程解决实际问题时，应把实际问题转化为数学模型，建立方程求解，分析等量关系，可借助画线段、表格等方法，同时应掌握一些常见的等量关系，如平均增长率问题、工程问题、利润问题等．对于一元二次方程的根要根据实际情况进行取舍．命题点1 一元二次方程的解法 (2022·安徽)解方程：x2－2x＝2x＋1.【思路点拨】 分析该一元二次方程的特点，先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法．【解答】 解一元二次方程通常就是四种方法，即直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法．只要方程有实数根，配方法和公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦5\n，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松．1．(2022·滨州)用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的为( )A．(x＋3)2＝1B．(x－3)2＝1C．(x＋3)2＝19D．(x－3)2＝192．(2022·聊城)一元二次方程x2－2x＝0的解是________．3．(2022·丽水)解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写________________________________________________________________________．4．(2022·大连)解方程：x2－6x－4＝0.命题点2 一元二次方程的应用 (2022·蜀山二模)“大湖名城·创新高地·中国合肥”，为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九(1)班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：(1)如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；(2)如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【思路点拨】 根据题中条件容易判断出参加的人数为30人以上，等量关系为：人均价格×参加人数＝3150，而人均费用代数式可表示为：[100－2(x－30)]．从而可以列出方程，所求出的解需要根据人均费用不能低于80来判断是否符合题意．【解答】 列方程解决实际问题的关键是要找到等量关系，在寻找等量关系时有时要借助示意图，图表等，在得到方程的解后，需要检验它是否符合实际意义．1．(2022·安徽)我省2022年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2022年增速位居全国第一．若2022年的快递业务量达到4.5亿件，设2022年与2022年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是( )A．1.4(1＋x)＝4.5B．1.4(1＋2x)＝4.5C．1.4(1＋x)2＝4.5D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.52．(2022·济南)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( )A．10cmB．13cmC．14cmD．16cm5\n3．(2022·达州)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为________________________． 1．(2022·随州)用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是( )A．(x－6)2＝－4＋36B．(x－6)2＝4＋36C．(x－3)2＝－4＋9D．(x－3)2＝4＋92．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m等于( )A．1B．2C．1或2D．03．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )A．x＝－1B．x＝2C．x＝1和x＝2D．x＝－1和x＝24．(2022·安徽)目前我们已经建立了比较完整的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是( )A．438(1＋x)2＝389B．389(1＋x)2＝438C．389(1＋2x)＝438D．438(1＋2x)＝3895．(2022·烟台)如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为( )A．2或－1B．0或1C．2D．－16．(2022·佛山)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )A．7mB．8mC．9mD．10m7．(2022·厦门)方程x2＋x＝0的解是____________．8．(2022·广州)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的解为____________．9．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有________支．10．解方程：(1)(2022·广东)x2－3x＋2＝0；(2)(2022·兰州)x2－1＝2(x＋1)．11．(2022·自贡)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．5\n12．(2022·合肥三十八中模拟)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？13．(2022·长沙)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？参考答案考点解读①降次 ②一次方程 ③配方法 ④x＝各个击破例1 原方程化为：x2－4x－1＝0.配方，得x2－4x＋4－1－4＝0.整理，得(x－2)2＝5.∴x－2＝±，即x1＝2＋，x2＝2－.题组训练 1.D 2.x＝0或x＝2 3.x＋3＝0(或x－1＝0) 5\n4.移项，得x2－6x＝4，配方，得x2－6x＋9＝4＋9，即(x－3)2＝13.所以，x－3＝±，因此，原方程的解为x1＝3＋，x2＝3－.例2 ∵100×30＝3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九(1)班共有x人去旅游，则人均费用为[100－2(x－30)]元，由题意得：x[100－2(x－30)]＝3150.整理得x2－80x＋1575＝0，解得x1＝35，x2＝45.当x＝35时，人均旅游费用为100－2(35－30)＝90>80，符合题意．当x＝45时，人均旅游费用为100－2(45－30)＝70<80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学游活动．题组训练 1.C 2.D 3.(40－x)(20＋2x)＝1200整合集训1．D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.x1＝0，x2＝－1 8.x1＝1，x2＝ 9.5 10.(1)Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1，∴x＝＝，∴x1＝1，x2＝2.(2)原方程可以化为：(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0，左边分解因式，得(x＋1)(x－3)＝0，∴x＋1＝0或x－3＝0.因此，原方程的解为x1＝－1，x2＝3. 11.设垂直于墙的一边为x米，得：x(58－2x)＝200.解得x1＝25，x2＝4.∴另一边为8米或50米．答：矩形长为25米宽为8米或矩形长为50米宽为4米． 12.(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64.解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)7×64＝448(人)．答：第三轮将有448人被传染． 13.(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得10(1＋x)2＝12.1，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍)．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.(2)6月：12.1×1.1＝13.31(万件)．∵21×0.6＝12.6<13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．∵22<<23，∴至少还需增加2名业务员．5
