第4讲二次根式 二次根式的有关概念二次根式一般地，形如(①________)的式子叫做二次根式.最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号). 二次根式的性质两个重要的性质()2＝a(a②________)．＝|a|＝积的算术平方根＝·(a≥0，b≥0).商的算术平方根＝(a≥0，b>0). 二次根式的运算二次根式的加减先将各根式化为⑤____________，然后合并被开方数⑥________的二次根式.二次根式的乘法·＝⑦________(a≥0，b≥0)二次根式的除法＝⑧________(a≥0，b＞0)二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算⑨________，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).绝对值：|a|；偶次幂：a2n；非负数的算术平方根：(a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：(1)非负数形式有最小值为零；(2)几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．命题点1 二次根式有意义的条件 (2022·绵阳)要使代数式有意义，则x的()A．最大值是 B．最小值是C．最大值是D．最小值是此命题点的考查多是在求函数自变量的取值范围中一同考查，另外需注意的是：若是使复合型的式子有意义，必须得使每个式子有意义． 4\n1．(2022·宜昌)下列式子没有意义的是()A.B.C.D.2．(2022·株洲)x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义()A．－2B．0C．2D．43．(2022·内江)函数y＝＋中自变量x的取值范围是()A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x≠14．(2022·乐山)函数y＝的自变量x的取值范围是________．命题点2 二次根式的运算 (2022·广元)计算：－－.【解答】 对于二次根式的混合运算，其运算顺序同实数的运算顺序，即是先乘方，再乘除，最后加减．在二次根式的乘法运算中，若能使用整式乘法公式则尽量使用公式可使计算简便．运算结果一定要是最简二次根式．1．(2022·安徽)计算×的结果是()A.B．4C.D．22．(2022·凉山)下列根式中，不能与合并的是()A.B.C.D.3．(2022·眉山)计算：2－＝________．4．(2022·滨州)计算(＋)(－)的结果为________．命题点3 非负数的性质 (2022·资阳)已知：(a＋6)2＋＝0，则2b2－4b－a的值为________．【思路点拨】 首先根据非负数的性质可求出a的值和b2－2b＝3，进而可求出2b2－4b－a的值．本题主要考查非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根)．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.1．(2022·攀枝花)已知实数x，y，m满足＋|3x＋y＋m|＝0，且y为负数，则m的取值范围是()A．m＞6B．m＜6C．m＞－6D．m＜－62．(2022·巴中)若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足＋(b－2)2＝0，则第三边c的取值范围是________．3．(2022·巴中)若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．4\n1．(2022·重庆A卷)化简的结果是()A．4B．2C．3D．22．(2022·重庆B卷)计算3－的值是()A．2B．3C.D．23．(2022·金华)在式子、、、中，x可以取2和3的是()A.B.C.D.4．(2022·宁夏)下列计算正确的是()A.＋＝B.÷＝2C．()－1＝D．(－1)2＝25．(2022·济宁)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①＝，②·＝1，③÷＝－b，其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③6．(2022·南京)计算的结果是________．7．(原创)若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝________，b＝________．8．(2022·临沂)计算：(＋－1)(－＋1)．9．已知a、b、c满足＋＋(c－)2＝0.(1)求a、b、c的值；(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？如果能构成三角形，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．10．(2022·随州)若代数式＋有意义，则实数x的取值范围是()A．x≠1B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠111．(2022·孝感)已知x＝2－，则代数式(7＋4)x2＋(2＋)x＋的值是()A．0B.C．2＋D．2－12．(原创)对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b＝，如3※2＝＝.那么8※4＝________．13．观察下面的变形规律：4\n＝－1，＝－，＝－，＝－，…解答下面的问题：(1)若n为正整数，请你猜想＝________；(2)计算(＋＋＋…)×(＋1)．参考答案考点解读考点1 ①a≥0 ②≥0 ③a ④－a考点2 ⑤最简二次根式 ⑥相同 ⑦ ⑧ ⑨乘除各个击破例1 A题组训练 1.A 2.D 3.B 4.x≥2例2 原式＝3－－2＝3－(2＋)－2＝3－2－－2＝－2.题组训练 1.B 2.C 3.－ 4.－1例3 12题组训练 1.A 2.1＜c＜5 3.5整合集训基础过关1．B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.5 7.0 1 8.原式＝[＋(－1)][－(－1)]＝()2－(－1)2＝3－(2－2＋1)＝2. 9.(1)由非负数的性质求得：a＝3，b＝7，c＝4.(2)因为a＋c＝3＋4＝7，所以a＋c>b，因为c－a＝4－3＝.所以c－a<b.所以以a、b、c为边能构成三角形．三角形的周长为7＋7.能力提升10．D 11.C 12. 13.(1)－ (2)原式＝[(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)](＋1)＝(－1)(＋1)＝()2－12＝2016－1＝2015.4
