第14讲 三角形及其性质A组 基础题组一、选择题1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于( )A.45°B.60°C.75°D.90°2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点3.下列说法错误的是( )A.三角形三条中线交于三角形内一点B.三角形三条角平分线交于三角形内一点C.三角形三条高交于三角形内一点D.三角形的中线、角平分线、高都是线段4.在△ABC中,AB=4a,BC=14,AC=3a,则a的取值范围是 ( )A.a>2B.2<a<14C.7<a<14D.a<145.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )8\nA.有且只有1个B.有且只有2个C.组成∠E的角平分线D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)6.在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长是( )A.14B.4C.14或4D.以上都不对二、填空题7.(2022滨州)在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C= . 8.(2022枣庄)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S=14a2b2-a2+b2-c222.现已知△ABC的三边长分别为1,2,5,则△ABC的面积为 . 9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点.若CD=5,则EF的长为 . 10.已知:a、b、c是△ABC的三边长,且M=(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c),那么M 0.(填“>”“<”或“=”) 三、解答题11.一个飞机零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D应分别是20°和30°,康师傅量得∠BCD=143°,就能断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?8\n12.已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明;(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.B组 提升题组 一、选择题1.已知锐角三角形的边长分别是2,3,x,那么x的取值范围是( )A.1<x<5B.5<x<13C.13<x<5D.5<x<152.(2022浙江湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于( )A.1B.2C.32D.2二、填空题3.如图,平面上直线a,b分别经过线段OK的两个端点(如图),则a,b相交所成的锐角是 . 8\n4.如图所示,AB=BC=CD=DE=EF=FG,∠1=130°,则∠A= °. 5.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,已知AC=5,AD=4,则AB的取值范围是 . 对比训练 上题中若作修改“AC=5,AB=4,求AD的取值范围”,怎样计算?三、解答题6.已知∠MON=40°,OE平分∠MON,点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.(1)如图1,若AB∥ON,则①∠ABO的度数是 ; ②当∠BAD=∠ABD时,x= ; ③当∠BAD=∠BDA时,x= ; (2)如图2,若AB⊥OM,则是否存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.8\n第14讲 三角形及其性质A组 基础题组一、选择题1.C 180°×53+4+5=180°×512=75°,即∠C=75°.故选C.2.D 3.C 4.B 5.D 6.C二、填空题7.答案 100°解析 ∵在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,∴∠C=180°-30°-50°=100°.故答案为100°.8.答案 1解析 ∵S=14a2b2-a2+b2-c222,△ABC的三边长分别为1,2,5,则△ABC的面积为:∴S△ABC=1412×22-12+22-(5)222=1,故答案为1.9.答案 5解析 ∵△ABC是直角三角形,CD是斜边的中线,∴CD=12AB,∴AB=2CD=2×5=10,又∵EF是△ABC的中位线,∴EF=12×10=5.10.答案 <解析 根据三角形的三边关系可得,a+b+c>0,a+b-c>0,a-b-c<0,由实数运算得M<0.三、解答题11.解析 能.理由如下:延长DC与AB相交于点E.易知∠BED=∠D+∠A=120°,8\n∵∠BCD=∠B+∠BED=130°≠143°.∴这个零件不合格.12.解析 (1)△CDF是等腰直角三角形.证明如下:∵AF⊥AD,∠ABC=90°,∴∠FAD=∠DBC.在△FAD与△DBC中,AD=BC,∠FAD=∠DBC,AF=BD,∴△FAD≌△DBC(SAS),∴FD=DC,∴△CDF是等腰三角形.易知∠BDC+∠DCB=90°,∠FDA=∠DCB.∴∠BDC+∠FDA=90°,即∠FDC=90°,∴△CDF是等腰直角三角形.(2)∠APD的度数是一个固定的值.理由如下:如图,作AF⊥AB于A,且AF=BD,连接DF,CF.由(1)得△CDF是等腰直角三角形,∴∠FCD=45°.由题意得AF∥CE,且AF=BD=CE,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AE∥CF,∴∠APD=∠FCD=45°.B组 提升题组一、选择题1.B 因为32-22=5,32+22=13,所以5<x2<13,即5<x<13.故选B.2.A 连接CP并延长,交AB于点D.8\n∵P是Rt△ABC的重心,∴CD是Rt△ABC的中线,∴PD=13CD.∵∠ACB=90°,∴CD=12AB=3,∴PD=13CD=1,∵AC=BC,CD是Rt△ABC的中线,∴CD⊥AB.∴点P到AB所在直线的距离等于1.故选A.二、填空题3.答案 30°解析 由三角形的外角性质得,a,b相交所成的锐角的度数是100°-70°=30°,故答案为30°.4.答案 10解析 设∠A=x°,根据三角形两内角之和等于第三个角的外角、等腰三角形的性质,知∠ACB为x°,∴∠CBD=∠CDB=2x°,∴∠DCE=∠DEC=3x°,同理可得:∠EDF=∠EFD=4x°,∠FEG=∠FGE=5x°,∵∠1+∠FGE=180°,∴∠FGE=50°,∠A=10°.5.答案 3<AB<13解析 如图,过点B作平行于AC的直线,与AD的延长线交于点E,则△ACD≌△EBD,∴AD=ED,AC=EB,∵AC=5,AD=4,∴在△ABE中,AE=8,BE=AC=5,∴3<AB<13.对比训练 12<AD<92三、解答题6.解析 (1)①∵∠MON=40°,OE平分∠MON,8\n∴∠AOB=∠BON=20°.∵AB∥ON,∴∠ABO=∠BON=20°.②∵∠BAD=∠ABD,∴∠BAD=20°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=120°.③∵∠BAD=∠BDA,∠ABO=20°.∴∠BAD=80°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=60°.故答案为①20°;②120;③60.(2)存在.理由如下:①当点D在线段OB上时,若∠BAD=∠ABD,则x=20;若∠BAD=∠BDA,则x=35;若∠ADB=∠ABD,则x=50;②当点D在射线BE上时,因为∠ABE=110°,且三角形的内角和为180°,所以只有∠BAD=∠BDA,此时x=125.综上可知,当x=20、35、50、125时,存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角.8
