第五节 相似三角形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2022·石家庄裕华区一模)李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是( )已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC.求证：△ADE∽△DBF.证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A＝∠BDF，④∴∠ADE＝∠B，∴△ADE∽△DBF.A．③②④①B．②④①③C．③①④②D．②③④①2．(2022·邢台宁晋质检)如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是( )A.＝B．AO·CO＝BO·DOC．∠A＝∠DD．∠B＝∠C3．(2022·保定一模)如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC的面积与△A′B′C′的面积比是16∶9，则OA∶OA′为( )8\nA．4∶3B．3∶4C．9∶16D．16∶94．(2022·随州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为( )A．1B.C.－1D.＋15．(2022·廊坊安次区二模)如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E.如果＝，那么等于( )A.B.C.D.6．(2022·保定三模)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可由图中获得(单位：尺)，则井深为( )A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺7．(2022·临沂)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则建筑物CD的高是( )A．9.3mB．10.5mC．12.4mD．14m8．(2022·原创)将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则△AEB与△CED的面积比为________．8\n9．(2022·易错)如图，已知E是矩形ABCD的CD边上一点，BF⊥AE于F，求证：△ABF∽△EAD.10.(2022·原创)如图，在△ABC中，AC＝4，D为BC边上的一点，CD＝2，且△ADC与△ABD的面积比为1∶3.(1)求证：△ADC∽△BAC；(2)当AB＝8时，求AD的长度．11．(2022·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．8\n1．(2022·哈尔滨)如图，△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD且交AB于点E，GF∥AC且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( )A.＝B.＝C.＝D.＝2．(2022·保定莲池区模拟)如图，等边△ABC中，AB＝2，AD⊥BC，以AD、CD为邻边作矩形ADCE，将△ADC绕点D顺时针旋转一定的角度得到△A′DC′，使点A′落在CE上，连接AA′，CC′.(1)求AD的长；(2)求证：△ADA′∽△CDC′；(3)求CC′2的值．3．(2022·宁波)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；(2)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC是比例三角形；(3)如图②，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．8\n参考答案【基础训练】1．B 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.B 8.1∶39．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAE＋∠BAF＝90°，∵BF⊥AE，∴∠BFA＝∠D＝90°，∠ABF＋∠BAF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∴△ABF∽△EAD.10．(1)证明：∵CD＝2，且△ADC与△ABD的面积比为1∶3.∴BD＝3DC＝6，8\n∴BC＝BD＋CD＝8，∴在△ABC与△ACD中，BC∶AC＝AC∶CD＝2，∠BCA＝∠ACD.∴△ADC∽△BAC.(2)解：∵△ADC∽△BAC，∴＝，又∵AB＝8，AC＝4，CD＝2，∴AD＝＝4.11．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC.∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠ADC＝90°.∴△BDE∽△CAD.(2)解：∵BC＝10，AD为BC边上的中线，∴BD＝CD＝5，∵AC＝AB＝13，∴由勾股定理可知AD＝＝12.由(1)中△BDE∽△CAD可知：＝，得＝，故DE＝.【拔高训练】1．D2．解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD＝CD＝1，∠B＝60°，∴AD＝BD＝.(2)∵△A′DC′是由△ADC绕点D旋转得到的，∴AD＝A′D，CD＝C′D，∠ADC＝∠A′DC′＝90°，∴∠ADA′＝∠CDC′，＝，∴△ADA′∽△CDC′.(3)∵△ADA′∽△CDC′，∴＝＝.即CC′2＝AA′2.在Rt△A′DC中，A′D＝AD＝，CD＝1，8\n∴A′C＝.∴A′E＝CE－A′C＝－，在Rt△AEA′中，由勾股定理得AA′2＝AE2＋A′E2＝12＋(－)2＝6－2，∴CC′2＝2－.3．(1)解：或或.(2)证明：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD.又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴＝，即CA2＝BC·AD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC·AB，∴△ABC是比例三角形．(3)解：如解图，过点A作AH⊥BD于点H.∵AB＝AD，∴BH＝BD.∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°.∴∠BHA＝∠BCD＝90°.又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴＝，∴AB·BC＝DB·BH，∴AB·BC＝BD2.8\n又∵AB·BC＝AC2，∴BD2＝AC2，∴＝.8
