知识点6：二次根式一、选择题1.（2022·山东省淄博市一模，7，4）估计＋1的值是（）A．在42和43之间B．在43和44之间C．在44和45之间D．在45和46之间【答案】C2.（2022·山东省淄博市一模，10，4）某个长方体主视图是边长为1cm的正方形．沿这个正方形的对角线向垂直于正方形的方向将长方体切开，截面是一个正方形．那么这个长方体的俯视图是（）【答案】D3.（2022·江苏省泰兴市一模，5，3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则SinA的值是（）A．B．C．2D．【答案】B4.（2022·江苏省张家港市一模，3，3）函数的自变量x的取值范围是()A．x≥－1且x≠0B．x>－1且x≠0C．x≥0且x≠－1D．x>0且x≠－1【答案】A5.（2022·江苏省张家港市一模，10，3）若a·b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，则的值为()A．B．C．D．【答案】A6.（2022·江苏省扬州市一模，1，3）下列各式结果是负数的是（）A．B．C．D．【答案】C7.（2022·江苏省扬州市一模，3，3）函数y=中自变量x的取值范围是（）A.x≥2B.x＞2C.x≤2D.x＜2【答案】D\n8.（2022·河北省邢台市一模，5，2）函数中，自变量的取值范围是（）A．≥3B．＞3C．≠3D．＜3【答案】B9.（2022·上海市金山区一模，1，4）下列实数中，属于有理数的是()A．B．C．D．【答案】B10．（2022·上海市长宁区一模，2，4）若，化简=()A．B．C．D．【答案】B11.（2022·江苏省常熟市一模，2，3）若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3B．x＝3C．x<3D．x>3【答案】C12.（2022·江苏省常熟市一模，10，3）如图，已知A（1，），B(4，0)，∠OAB的平分线AC交x轴于点C，则点C坐标为（）A．(2，0)B．（，0）C．(－1，0）D．（2－2，0）【答案】D13.（2022·浙江省泰州市一模，2，3）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≠0D．x≠2【答案】D14.（2022·江苏省阜宁县一模，4，3）函数的自变量的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B15.（2022·浙江省义乌市一模，2，3）函数y=中自变量的取值范围是()\nA．≥2.5B．≠-1且≠2.5C．>2.5D．<2.5【答案】C16.（2022·浙江省义乌市一模，9，3）已知是半径为1的⊙的一条弦，且．以弦为一边在⊙内作正△，点为⊙上不同于点A的一点，且，的延长线交⊙于点，则的长为（）A．B．1C．D．【答案】B17.（2022·江苏省南通市一模，2，3）在－3，－，－1，0这四个实数中，最大的是（）A.－3B.－C.－1D.0【答案】D18.（2022·山东省东营市一模，8，3）在学校“放飞四月”风筝节上，张华同学制作了一个蝶形风筝，它可以看作是边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成了一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（）A．2－B．C．2－D．2第8题图【答案】A19.（2022·山东省东营市一模，12，3）如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG,,则图中阴影部分的面积为（）A、B、6C、D、\n第12题图【答案】D20．（2022·山东省东营市一模，1，3）的平方根是()A．B．C．D．【答案】C21.（2022·山东省东营市一模，6，3）如图，圆锥的轴截面是一个以圆锥的底面直径为底边，圆锥的母线为腰的等腰三角形，若圆锥的底面直径=4cm，母线=6cm，则由点出发，经过圆锥的侧面到达母线的最短路程是()A．cm B．6cmC．cmD．cmABCO（第6题）·【答案】C22.（2022·广东省从化市一模，4，3）计算的结果是（）A．1B．-1 C．D．【答案】D23.（2022·广东省从化市一模，10，3）如图3，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位到达点，点表示，设点所表示的数为则的值为（）．A．B．C．D．\n120-1-2AB图3【答案】C24.（2022·山东省××市一模，8，3）已知函数y=――，则在平面直角坐标系中关于该函数图像的位置判断正确的是（）A.必在t轴的上方B.必定与坐标轴相交C.必在y轴的左侧D.整个图像都在第四象限【答案】B25.（2022·安徽省淮北市一模，1，4）函数中，自变量的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B26.（2022·河南省××市一模，1，3）在0，－2，1，这四个数中，绝对值最小的数是（）A.0B.－2C.1D.【答案】A27.（2022·河南省许昌市一模，1，3）在二次根式中，的取值范围是（）A．＞－2B．≥－2C．≠－2D．≤－2【答案】B28.（2022·河南省许昌市一模，8，3）如图，已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点E，∠A=70o，∠C=50o，那么sin∠AEB的值为（）A.B.C.D.【答案】D29.（2022·北京市昌平区一模，4，4）+=0，则的值为（）A．B．C．D．\n【答案】D30．（2022·北京市昌平区一模，5，4）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A31.（2022·北京市崇文区一模，4，4）下列说法正确的是（）A．6的平方根是B．对角线相等的四边形是矩形C．近似数0.270有3个有效数字D．两个底角相等的梯形一定是等腰梯形【答案】C32.（2022·北京市崇文区一模，7，4）某人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S（米）与时间t（秒）间的关系式为S＝10t+t2，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）A．24米 B．12米 C．米 D．11米【答案】B33.（2022·北京市丰台区一模，4，4）若，则的值是（）A．1B．C．4D．【答案】C34.（2022·北京市房山区一模，7，4）若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C35.（2022·江西省新余市一模，1，3）下列各式中，运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D36.（2022·江西省新余市一模，3，3）如图，太阳光线与地面成60º的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影AB长是，则皮球的直径是（）A．B．15C．10D．\nA60º（第3题图）B【答案】C37.（2022·江西省高安市一模，6，3）化简得（）.A.－2B.C.2D．【答案】A38.（2022·江苏省宜兴市一模，8，3）如图8，斜坡的坡度，那么的值为（）A．B．C．D．ABC图8【答案】D39.（2022·江苏省宜兴市一模，9，3）用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（）A．5cmB．5cmC．5cmD．7.5cm【答案】A40．（2022·江苏省靖江市一模，4，3）如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是（）A．1B．C．D．2（第4题）·OABC\n【答案】D41.（2022·江苏省靖江市一模，8，3）8.在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则ΔCEF的周长为（）A.8B.9.5C.10D.11.5（第8题）【答案】A42.（2022·江苏省如皋市一模，5，3）函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2【答案】A43.（2022·北京市一模，1，4）4的算术平方根是（）A．2 B．±2 C．16 D．±16【答案】A44.（2022·北京市门头沟区一模，6，4）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D．若∠CDB=30°，⊙O的半径为，则弦CD的长是（）A．B．3C．D．9【答案】B45.（2022·北京市密云县一模，1，4）无理数－的相反数是（）A．－B．C．D．－【答案】B46.（2022·北京市密云县一模，3，4）在函数y=中，自变量的取值范围是（）A.x3B.x>3C.x3D.x<3\n【答案】A47.（2022·南京市一模，3，2）使有意义的x的取值范围是()A．x＞－1B．x≥－1C．x≠－1D．x≤－1(第6题)【答案】B48.（2022·南京市一模，6，2）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为()A．1B．2C．2D．12【答案】C49.（2022·江苏省南京市高淳县一模，4，2）在①2的平方根是；②2的平方根是±；③2的立方根是；④2的立方根是±中，正确的结论有（）个A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B50．（2022·江苏省南京市鼓楼区一模，1，2）的计算结果是（）A．－2B．2C．±2D．4【答案】B51.（2022·江苏省南京市江宁区一模，2，2）要使代数式有意义，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B52.（2022·江苏省南京市六合区一模，4，2）开平方的结果是（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C53.（2022·江苏省南京市浦口区一模，1，2）4的平方根是（）A．2B．－2C．±2D．4【答案】C54.（2022·江苏省南京市一模，5，2）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为3cm，则圆心O到弦CD的距离为()A．cmB．3cmC．3cmD．6cm\n【答案】A二、填空题1.（2022·山东省淄博市一模，13，4）的相反数是．【答案】2.（2022·山东省淄博市一模，17，4）如图，，，…在函数的图像上，，，，……都是等边三角形，边、、，……都在轴上.求的坐标．【答案】3.（2022·河南省郑州市二模，7，3）计算.【答案】14.（2022·河南省郑州市二模，15，3）如图，将一副三角板拼在一起得到四边形ABCD，E为CD的中点，AB=c，将△ADE沿直线AE翻折得△AD′E，则点D′到AB边的距离为____________.45º30ºACED′BD\n【答案】5.（2022·江苏省泰兴市一模，9，3）函数中自变量的取值范围是．【答案】x≥－16.（2022·江苏省张家港市一模，14，3）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠BAC＝90°，AB＝2，CD＝，E是BC的中点，则DE的长为．【答案】7.（2022·江苏省张家港市一模，17，3）如图，直线y＝x向下平移b个单位后得直线l，l与函数(x>0)相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2－OB2＝．【答案】8.（2022·江苏省张家港市一模，12，3）有一个数值转换器，原理如下所示，则当输入的x＝64时，输出的y等于．输入x取算术平方根输出y是无理数是有理数【答案】\n9.（2022·江苏省扬州市一模，11，3）函数中，自变量的取值范围是 .【答案】＞10．（2022·河北省石家庄市一模，13，3）如图8，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有个． 图8AB【答案】411.（2022·河北省石家庄市一模，16，3）如图9是置于水平地面上的一个球形储油罐，小敏想测量它的半径．在阳光下，他测得球的影子的最远点A到球罐与地面接触点B的距离是10米(即AB=10米)；同一时刻，他又测得竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米，则球的半径是_ 米．图9AB【答案】212.（2022·上海市金山区一模，7，4）的平方根是.【答案】13.（2022·上海市金山区一模，9，4）方程的解是.【答案】14.（2022·上海市金山区一模，18，4）已知等腰的两条边长分别为、，是底边上的高，圆的半径为，圆与圆内切，那么圆的半径是.【答案】、、．15.（2022·上海市长宁区一模，12，4）已知函数，当x=时.【答案】216.（2022·上海市长宁区一模，17，4）长度为2的线段AB被点P分成AP和BP两段，已知较长的线段BP是AB与AP的比例中项，则较短的一条线段AP的长为.【答案】\n17.（2022·浙江省泰州市一模，13，3）半径为r的圆内接正三角形的边长为.（结果保留根号）【答案】18.（2022·浙江省泰州市一模，16，3）如图，过正方形的顶点作直线，过作的垂线，垂足分别为．若，，则的长度为．（第16题）【答案】19.（2022·江苏省阜宁县一模，11，3）已知：如图，，为⊙O的弦，点在上，若，，，则的长为．第11题图【答案】620．（2022·江苏省阜宁县一模，12，3）已知：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，，将△绕原点逆时针旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使，得到△．将△绕原点逆时针旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使，得到△，如此下去，得到△．（1）的值是____________；（2）△中，点的坐标：___________．\n第12题图C1B1【答案】（1）2；（2）（）．21．（2022·江苏省阜宁县一模，18，3）已知：点F在正方形纸片ABCD的边CD上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF折叠纸片，使点C落在纸片内点C＇处（如图2）；再继续以BC＇为轴折叠纸片，把点A落在纸片上的位置记作A＇（如图3），则点D和A＇之间的距离为_________.ADADDC＇FFFA＇BCBB图1图2图3【答案】22.（2022·江苏省南通市一模，11，3）在函数中，自变量的取值范围是．【答案】x≥123.（2022·江苏省南通市一模，17，3）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正弦值等于．BACEO（第17题）D\n【答案】24.（2022·内蒙古自治区乌海市一模，17，3）如图所示，某人在D处测得山顶C的仰角为30°，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度i=1∶0.5，则山的高度为________米.第17题图【答案】25.（2022·山东省宁阳县一模，9，4）在函数中，自变量的取值范围是．【答案】26.（2022·山东省东营市一模，16，4）如图，点、在以为直径的半圆上，，若=2，则弦的长为_______．ABCO（第16题）·D【答案】27.（2022·江苏省东台市二模，11，3）已知点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，若AB=2，则AC=.【答案】28.（2022·广东省从化市一模，12，3）函数y=中，自变量x的取值范围是．【答案】≥329.（2022·广东省从化市一模，16，3）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图5所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m\n【答案】30．（2022·山东省××市一模，11，4）函数的自变量取值范围是___________．【答案】x>231.（2022·山东省××市一模，12，4）右图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了__________米．（即求AC的长）ACB0．5=i1：第12题【答案】432.（2022·山东省××市一模，14，4）已知关于x的函数y＝（m－1）x2＋2x＋m图像与坐标轴有且只有2个交点，则m＝_________.【答案】33.（2022·安徽省淮北市一模，11，5）计算：【答案】34.（2022·河南省××市一模，11，3）如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是________cm．\n【答案】35.（2022·河南省××市一模，13，3）小明的作业本上有以下四题：①；②；③；④．做错的题是_______.【答案】④36.（2022·北京市大兴区一模，9，4）函数中，自变量的取值范围是．【答案】≥137.（2022·北京市东城区一模，12，4）如图，直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，…，按此做法进行下去，点的坐标为（，）；点（，）．【答案】（，0）（，0）38.（2022·北京市房山区一模，9，4）函数中自变量x的取值范围是．【答案】39.（2022·北京市房山区一模，12，4）如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，\n再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n个四边形的周长为_________________．（12题图）【答案】,440．（2022·江西省高安市一模，14，3）用一个半径为8，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为_________。【答案】41.（2022·江西省兴国县一模，11，3）选做题(从下面两题中只选做一题,如果做了两题的,只按第(Ⅰ)题评分)(Ⅰ)比较大小： sin370cos520 (Ⅱ)用计算器计算：=(保留三位有效数字).【答案】（I）<（II）10.242.（2022·江西省兴国县二模，11，3）计算：=【答案】43.（2022·江苏省宜兴市一模，11，2）25的算术平方根是．【答案】544.（2022·江苏省宜兴市一模，13，2）函数y＝中，自变量x的取值范围是．【答案】x≥145.（2022·江苏省宜兴市一模，18，8）如图，已知直角△ACB，AC=1，BC=，过直角顶点C作，垂足为，再过作，垂足为；过作，垂足为，再过作，垂足为；……，这样一直做下去，得到一组线段，，，……\n，则第12条线段=_______________.ABCA1C1A2C2A3C3A4C4A5C5【答案】46.（2022·江苏省靖江市一模，16，3）Rt△ABC中,∠BAC=90o,AB=AC=2,以AC为一边,在△ABC外部作等腰直角三角形ACD,则线段BD的长为__________.【答案】4或或47.（2022·江苏省靖江市一模，18，3）将一组数，2，，，，…，按图中的方法进行排列246……若在第2行第3列的位置记为（2，3），在第3行第2列的位置记为（3，2），则这组数中最大的有理数n的位置记为.【答案】（17，2）48.（2022·江苏省如皋市一模，12，3）求值＝．【答案】1249.（2022·江苏省如皋市一模，17，3）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为．AOB（第17题）【答案】\n50．（2022·北京市海淀区一模，11，4）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB=cm．【答案】51.（2022·北京市海淀区一模，12，4）如图，矩形纸片中，.第一次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第二次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第三次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点，….按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与交于点，则=，=．…第一次折叠第二次折叠第三次折叠…【答案】2；52.（2022·北京市门头沟区一模，10，4）若，则m－n的值为．【答案】553.（2022·北京市平谷区一模，9，4）在函数中，自变量的取值范围是．\n【答案】54.（2022·北京市石景山区一模，12，4）12．已知：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，，将△绕原点逆时针旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使，得到△．将△绕原点逆时针旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使，得到△，如此下去，得到△．（1）的值是_______________；（2）△中，点的坐标：_____________．第12题图C1B1【答案】2；（）．55.（2022·北京市通州区一模，12，4）已知，，平分交于，过作交于，作平分，交于，过作，交于……依次进行下去，则线段的长度用含有的代数式可以表示为.【答案】56.（2022·北京市延庆县一模，9，4）函数中自变量的取值范围是．【答案】≥257.（2022·北京市燕山区一模，9，4）函数y=的自变量取值范围是．【答案】x≥\n58.（2022·北京市燕山区一模，12，4）已知：点F在正方形纸片ABCD的边CD上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF折叠纸片，使点C落在纸片内点C＇处（如图2）；再继续以BC＇为轴折叠纸片，把点A落在纸片上的位置记作A＇（如图3），则点D和A＇之间的距离为_________.ADADDC＇FFFA＇BCBB图1图2图3【答案】59.（2022·南京市一模，15，2）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝8，点E、F分别是边BC、AD边的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是．(第15题)【答案】4＋460．（2022·南京市一模，7，2）计算·（x≥0，y≥0）的结果是．【答案】6x61.（2022·南京市一模，8，2）计算2－1＋()0的结果是．【答案】62.（2022·江苏省南京市高淳县一模，9，2）函数y＝中，自变量的取值范围是．【答案】x≤163.（2022·江苏省南京市鼓楼区一模，8，2）使有意义的x的取值范围是．【答案】x≥264.（2022·江苏省南京市建邺区一模，11，2）如图，AB是⊙O直径，且AB=4cm，弦CD⊥AB，∠COB=45°，则CD为cm．\n（第11题图）ACDOB【答案】265.（2022·江苏省南京市建邺区一模，16，2）一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为．（第16题图）【答案】2︰（或或）66.（2022·江苏省南京市溧水县一模，7，2）函数中，自变量的取值范围是．【答案】x≥267.（2022·江苏省南京市溧水县一模，8，2）如图，在数轴上点A和点B之间的整数是．第8题【答案】268.（2022·江苏省南京市溧水县一模，9，2）计算：．【答案】369.（2022·江苏省南京市六合区一模，7，2）在函数中，自变量x的取值范围是.【答案】x≠170．（2022·江苏省南京市六合区一模，9，2）计算：=．【答案】\n71.（2022·江苏省南京市浦口区一模，13，2）计算：_____．【答案】72.（2022·江苏省南京市玄武区一模，13，2）计算（a≥0）的结果．【答案】73.（2022·江苏省南京市玄武区一模，16，2）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为1cm2，则该半圆的直径为_________。(第16题)【答案】cm74.（2022·江苏省南京市雨花台区一模，7，2）4的算术平方根是.【答案】2三、解答题1.（2022·山东省淄博市一模，18，3）计算：【答案】原式2.（2022·山东省淄博市一模，19，7）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．ABCD【答案】解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比为1︰可知：∠CAE＝30°，\n∴CE＝AC·sin30°＝10×＝5，AE＝AC·cos30°＝10×＝．在Rt△ABE中，BE＝＝＝11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）．答：旗杆的高度为6米．ABCDE3.（2022·江苏省泰兴市一模，19，5）计算：+．【答案】3－4.（2022·江苏省张家港市一模，20，5）先化简，再求值：，其中x＝＋1．【答案】解：原式当x＝＋1时，上式5.（2022·江苏省扬州市一模，19，4）计算：；【答案】解：原式6.（2022·山东省潍坊市一模，16，14）计算（1）\n（2）化简求值：，其中。【答案】（1）解：原式＝＝1．（2）解：==．当时，原式====17.（2022·河北省邢台市一模，19，8）已知，求的值．【答案】解：原式当时，原式．8.（2022·上海市金山区一模，19，10）计算:°°【答案】解：原式9.（2022·上海市长宁区一模，19，10）计算:【答案】解：原式===110．（2022·江苏省常熟市一模，19，5）计算：．【答案】解：原式===11.（2022·江苏省常熟市一模，20，5）先化简，再求值：·，其中．【答案】解：原式==\n===当时，原式=12.（2022·浙江省泰州市一模，19，12）（1）计算+；（2）先化简后求值：当时，求代数式的值．【答案】（1）原式===（2）原式=当时，原式=113.（2022·浙江省泰州市一模，23，8）如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行3000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度？（保留根号）【答案】解：如图，过点C作CE⊥DE，交AB于D，交DE于E，∵∠DBC＝60°，∠BAC＝30°∴BC=AB=3000易得：，则DE14.（2022·浙江省泰州市一模，28，12）如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；\n（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．O【答案】（1）若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2t.则＝＝，又∵AO＝10，AB＝20，∴＝＝.∴＝，又∠CAB＝30°，∴△APQ∽△ABO，∴∠AQP＝90°，即PQ⊥AC当5﹤t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC（考虑一种情况即可）∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.（2）①如图，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，QM＝20－4t.由AQ＋QM＝AM得2t＋20－4t＝解得t＝，∴当t＝时，点P、M、N在一直线上②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.设l交AC于H.如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°.∴MH＝2NH，得20－4t－＝2×解得t＝2，如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.∴MH＝2PH，同理可得t＝.故当t＝2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形.（图1）（图2）\n15.（2022·江苏省阜宁县一模，19，5）计算：|1－|－(3.14－π)0+（）-1－4sin60°.【答案】原式=-1-1+2-2=-.16.（2022·江苏省阜宁县一模，29，14）已知二次函数的图象与轴交于点(，0)、点，与轴交于点．（1）求点坐标；（2）点从点出发以每秒1个单位的速度沿线段向点运动，到达点后停止运动，过点作交于点，将四边形沿翻折，得到四边形，设点的运动时间为．①当为何值时，点恰好落在二次函数图象的对称轴上；②设四边形落在第一象限内的图形面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．【答案】解：（1）将A(，0)代入解得∴函数的解析式为令，解得：∴B(，0)（2）①由解析式可得点二次函数图象的对称轴方程为△中∵∴∴，过点A′作轴于点，则∴解得则，\n∴②分两种情况：ⅰ）当时，四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为等腰三角形QA’N．当时，有最大值Sⅱ）当时，设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为四边形MOQA′．当时，有最大值综上：当时，四边形PQA’C’落在第一象限内的图形面积有最大值是．17.（2022·辽宁省大连市一模，17，9）计算：（＋1）2－＋．【答案】解：原式==18.（2022·辽宁省大连市一模，21，9）在20m高的楼AB的前方有一个旗杆CD，从楼的顶端A测得旗杆的顶端C的俯角为45°，底端D的俯角为60°．（1）求旗杆的底端D与楼的底端B的距离；（2）求旗杆CD的高度．[说明：（1）（2）的计算结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732]\nABCD60°45°图12【答案】解：（1）由题意可知，∠DAB=30°,在Rt△ADB中，DB=AB·tan30°=20×≈20×≈11.55答：旗杆的底端D与楼的底端B的距离约为11.55m．（2）作CE⊥AB，垂足为E，则四边形CDBE为矩形．∴CE=DB，CD=EB在Rt△ACE中，∠CAE=45°，AE=CE=DB=∴CD=EB=AB－AE=20－≈20－≈8.45答：旗杆CD的高度约为8.45m．E19.（2022·浙江省义乌市一模，17，6）计算：【答案】解：原式＝=2520．（2022·浙江省义乌市一模，24，12）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．(1) 当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；(2) 如果抛物线的对称轴经过点C，请你探究：①当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；②设，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．\nOyxCBA(第24题)11-1-1【答案】解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ．设点B的横坐标是x(x>0)，则，解得 ，(舍去)．∴ 点B的横坐标是．(2) ① 当，，时，得 (＊) ．以下分两种情况讨论．OyxCBA(甲)11-1-1情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，．由此，可求得点C的坐标为(，)，点A的坐标为(，)，∵ A，B两点关于原点对称，∴ 点B的坐标为(，)．将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．OyxCBA(乙)11-1-1情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．\n② 存在．m的值是1或-1．(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)21.（2022·江苏省南通市一模，19，4）计算：+sin30°+0；【答案】解：（1）原式==422.（2022·江苏省南通市一模，28，14）如图1，抛物线y＝ax2－2ax－b（a＜0）与x轴交于点A、点B（－1，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的解析式；②如图2，点E是y轴负半轴上的一点，连结BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应)，并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF:BF＝1:2，求点M的坐标；OABxyCD11图2MNPFEOABxyCD11图3Q③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，请求出点Q的坐标．OABxyCD11图1【答案】解：（1）由题意，得0=a+2a－b，b=3a，∴.配方，得，∴顶点D的坐标为（1，－4a）.（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，∴∠ACD=90°.过点D作DH⊥y轴，垂足为点H，易证△DHC≌△COA.∴，即.解得a=－1(正值舍去).∴抛物线解析式为.\n②设点M的坐标为（m，n），其中m、n均大于0，则FB=m+1，FM=n，∵MF:BF＝1:2，∴.又∵，∴.解得m1=－1(舍去)，m2=.此时n=.∴点M的坐标为（，）.③设切点为G，直线CD交x轴于点R，对称轴交x轴于点T，连接QG，QB，易求CD的解析式为，DT=RT=4，从而∠CDQ=45°.在Rt△DGQ中，，而，∴，设点Q(1,y)，那么解得OABxyCD1Q1GRT点Q的坐标为（1，）或（1，）.23.（2022·内蒙古自治区乌海市一模，18，6）计算：【答案】解：原式===24.（2022·山东省宁阳县一模，13，5）计算：．【答案】解：==25.（2022·山东省宁阳县一模，25，8）已知：抛物线\n经过坐标原点．（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）设点A是抛物线与轴的另一个交点，试在轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标；（3）过点A作AC∥BP交轴于点C，求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标．【答案】解：（1）∵抛物线经过坐标原点,∴=0.解得.∵，∴∴∴.（2）令，得=0，解得.∴∴点A关于轴的对称点的坐标为.联结，直线与轴的交点即为所求点P.可求得直线的解析式：.∴（3）到直线AP、AC、CP距离相等的点有四个．如图，由勾股定理得，所以△PAC为等边三角形．易证轴所在直线平分∠PAC，BP是△PAC的一个外角的平分线．作∠PCA的平分线，交轴于点，交过A点的平行线于y轴的直线于点，作△PAC的∠PCA相邻外角的平分线，交于点，反向延长C交轴于点．可得点就是到直线AP、AC、CP距离相等的点．可证△AP、△AC、△PC均为等边三角形．可求得：①，所以点M1的坐标为；②，所以点M2的坐标为；\n③点M3与点M2关于x轴对称，所以点M3的坐标为；④点与点A关于y轴对称，所以点的坐标为．综上所述，到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标分别为,,,．26.（2022·山东省东营市一模，18，5）计算：(－2)2－(2－)0＋2·tan45°【答案】527.（2022·山东省东营市一模，24，12）如图，已知关于的一元二次函数（）的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，顶点为．⑴求出一元二次函数的关系式；⑵点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为．若，的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；⑶探索线段上是否存在点，使得为直角三角形，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．（第24题）OxyBM·CAPD【答案】、⑴、．得，所以；⑵易得．设：，则得所以．所以，（）．⑶存在．在中，是锐角，当时，，得矩形．由，解得，所以；当时，，此时，即．．解得，\n因为，所以，所以．28.（2022·江苏省东台市二模，19，4）计算：【答案】原式29.（2022·广东省从化市一模，25，14）已知：如图11，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P(2，)．（1）求点A的坐标和的值．（2）请判断的形状并说明理由．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与t之间的函数关系式，并求当时对应S的值．F图11yOAxPEB【答案】解：（1）∵直线时，当时，∴A的坐标为又∵点P的坐标为(2，)，且在直线上∴解得：（2）∵，∴OA=4做PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2∵tan∠POA=\n∴∠POA=60°∵OP=∴△POA是等边三角形．F图11（1）yOAxPEBD（3）①当0<t≤4时，如图11（1）在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t∴EF=t，OF=t∴S=·OF·EF=当4<t<8时，如图11（2）设EB与OP相交于点C易知：CE=PE=t－4，AE=8－tF图11(2)PxOBCEAy∴AF=4－，EF=(8－t)∴OF=OA－AF=4－（4－t）=t∴S=(CE+OF)·EF=(t－4+t)×(8－t）=－+4t－8S=当时，∵∴此时S==30．（2022·吉林省长春市一模，15，5）先化简，再求值：，其中。【答案】解：原式=.当时，原式=.31.（2022·山东省××市一模，22，10）一列火车由A市途经B、C两市到达D市．如图，其中A、B、C三市在同一直线上，D市在A市的北偏东45°方向，在B市的正北方向，在C市的北偏西60°方向，C市在A市的北偏东75°方向．已知B、D两市相距100km\n．问该火车从A市到D市共行驶了多少路程?（保留根号)第22题【答案】解:过点B分别作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F．由题，∠BDE=60°，∠BCE=45°，∠BDF=45°，∠BAF=30°．EF∴DE=50，∴∵∴∴．∴该火车从A市到D市共行驶了（）km32.（2022·山东省××市一模，24，12）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒.（1）当点P在线段AO上运动时.①请用含x的代数式表示OP的长度；②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由.\n第24题【答案】解：（1）①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD∵AB=2∴OB=OD=1，OA=OC=∴OP=②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线∴∵DQ=x∴BQ=2－x∴∴（2）能成为梯形，分三种情况：当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°∴即∴x=此时PB不平行QE，∴x=时，四边形PBEQ为梯形.当PE∥BQ时，P为OC中点\n∴AP=，即∴此时，BQ=2－x=≠PE，∴x=时，四边形PEQB为梯形.当EQ∥BP时，△QEH∽△BPO∴∴∴x=1（x=0舍去）此时，BQ不平行于PE，∴x=1时，四边形PEQB为梯形.综上所述，当x=或或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形.33.（2022·安徽省淮北市一模，23，14）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.（1）求点A的坐标；（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.图（1）图（2）【答案】解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）\n（2）当b＝0时，直线为，由解得，所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2），所以（利用同底等高说明面积相等亦可）当时，仍有成立.理由如下由，解得，所以B、C的坐标分别为（－，－+b），（，+b），作轴，轴，垂足分别为F、G，则，而和是同底的两个三角形，所以.（3）存在这样的b.因为所以，所以，即E为BC的中点所以当OE=CE时，为直角三角形，因为所以，而所以，解得，所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.34.（2022·安徽省淮北市一模，15，8）请你先化简，再从－2，2，中选择一个合适的数代入求值.【答案】解：原式当=时，上式=35.（2022·河南省××市一模，16，8）先化简，再求值：，其中．【答案】原式＝＝＝\n36.（2022·河南省××市一模，21，9）如图，小明骑车从位于路灯P的北偏东60°方向与路灯P的距离为800米的A处出发，沿正南方向行进一段时间后，到达位于路灯P的南偏东45°方向上的B处．你能求此时小明所在的B处与路灯P的距离吗?（结果保留根号）．ABP【答案】解：如图过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，PA=800米，∠PAB=60°PC=PA×sinA=800×sin60°=米在Rt△BPC中,∠PBC=45°PB==÷sin45°=米ACBP37.（2022·河南省许昌市一模，17，8）计算：【答案】解：原式=38.（2022·河南省许昌市一模，18，8）当时，求代数式的值.\n【答案】解：==当时，原式39.（2022·北京市昌平区一模，13，5）计算：．【答案】解:==40．（2022·北京市朝阳区一模，13，5）计算：.【答案】解：原式==.41.（2022·北京市崇文区一模，13，5）计算：【答案】解：==42.（2022·北京市崇文区一模，16，5）已知，求的值．【答案】解：==．，，．原式=．\n43.（2022·北京市大兴区一模，13，5）计算：.【答案】解：原式==.44.（2022·北京市东城区一模，13，5）计算：．【答案】解:=+1+4=5．45.（2022·北京市东城区一模，15，5）先化简，再求值：，其中.【答案】===.当时，.46.（2022·北京市丰台区一模，13，5）计算：++3．【答案】解：原式==47.（2022·北京市丰台区一模，23，7）已知:反比例函数经过点B(1,1)．（1）求该反比例函数解析式；（2）联结OB，再把点A(2,0)与点B联结,将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△O，写出的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由；（3）若该反比例函数图象上有一点F(m，)（其中m＞0），在线段OF上任取一点E,设E点的纵坐标为n,过F点作FM⊥x轴于点M，联结EM，使△OEM的面积是，求代数式的值．【答案】⑴反比例函数解析式：\n⑵∵已知B(1,1),A(2,0)∴△OAB是等腰直角三角形∵顺时针方向旋转135°，∴B’(0,-),A’(-,-)∴中点P为(-,-)．∵（-）·（-）=1∴点P在此双曲线上．⑶∵EH=n,0M=m∴S△OEM===，∴m=又∵F(m，)在函数图象上∴=1．将m=代入上式，得-=1∴+=∴+-2=48.（2022·北京市丰台区一模，24，8）已知：如图，在□EFGH中，点F的坐标是（-2，-1），∠EFG=45°．（1）求点H的坐标;（2）抛物线经过点E、G、H,现将向左平移使之经过点F，得到抛物线,求抛物线的解析式；（3）若抛物线与y轴交于点A，点P在抛物线的对称轴上运动．请问：是否存在以AG为腰的等腰三角形AGP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵在□ABCD中∴EH=FG=2，G（0，－1）即OG=1∵∠EFG=45°∴在Rt△HOG中，∠EHG=45°可得OH=1∴H（1，0）（2）∵OE=EH-OH=1∴E（－1，0），设抛物线解析式为=+bx+c∴代入E、G、H三点，∴=1，b=0,，c=－1∴=－1依题意得，点F为顶点，∴过F点的抛物线解析式是=－1\n（3）∵抛物线与y轴交于点A∴A（0，3），∴AG=4情况1：AP=AG=4过点A作AB⊥对称轴于B∴AB=2在Rt△PAB中，BP=∴(-2,3+)或(-2,3-)情况2：PG=AG=4同理可得：(-2,-1+)或(-2,-1-)∴P点坐标为(-2,3+)或(-2,3-)或(-2,-1+)或(-2,-1-).49.（2022·北京市房山区一模，13，5）．【答案】解：原式==50．（2022·江西省南康市一模，17，6）计算【答案】解：原式51.（2022·江西省南康市一模，18，6）先化简，再求值：，其中．【答案】解：原式52.（2022·江西省高安市一模，17，6）计算：【答案】解：原式＝＝1．53.（2022·江西省兴国县一模，17，6）计算:【答案】解：原式=2+3+1－1=554.（2022·江西省兴国县一模，25，10）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C．平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO\n重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；（2）求S与t的函数关系式；（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解（1）C（4，）的取值范围是：0≤≤4（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）∴DE=－=∴等边△DEF的DE边上的高为：∴当点F在BO边上时：=，∴=3当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：－S===当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形S==\n（3）存在，P（，0）说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,若FO=FP时，=2（12－3），=，∴P（，0）55.（2022·江西省兴国县二模，17，6）计算：【答案】原式=4+1-4-1=056.（2022·江西省兴国县二模，25，10）如图，已知二次函数图象的顶点为原点，直线的图象与该二次函数的图象交于A点（8,8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B.（1）求B点的坐标与这个二次函数的解析式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E。设该线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）令x=0,代入设，把（8,8）代入得：，P∴，∴BDA（2）∵点P的横坐标为t，OC∴\n∴∴（3）存在①当∠PDB=∠BOC=90°时，y∴BD//CE,∴∠PBD=∠BCO.∴∽,.xPCOEDA解得：∴点P的坐标为②当∠PDB=∠BOC=90°时，∵PD//BO,∴∠DPB=∠CBO.∴△PBD∽△BOC.过点D作DF⊥OB,∵∠DPB+∠PDB=90°，∠BDF+∠PDB=90°,PA∴∠BDF=∠DPB=∠CBO.B∵∠BFD=∠COB,△DFB∽△BOCCDEFO化简得：解得：把∴P点的坐标为\n∴当P点的坐标为以点P.D.B为顶点的三角形与△BOC相似57.（2022·江苏省宜兴市一模，19，5）计算：(－1)2022×(－2)2＋(－π)0＋；【答案】解：原式＝1×4＋1＋－1＝4＋58.（2022·江苏省靖江市一模，19，4）（计算(－2)2+(2022－)0－【答案】(－2)2+(2022－)0－=4+1－2=3．59.（2022·江苏省靖江市一模，24，10）如图，甲船在港口P的北偏西600方向，距港口80海里的A处，沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P出发，沿北偏东450方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（精确到0.1海里/时，参考数据，）AP东北【答案】BCBQCB解:依题意，设乙船速度为海里/时，2小时后甲船在点处，乙船在点处，作于则海里，海里在中，，．在中，，∴PQ=PCcos45o=，．．答：乙船的航行速度约为19.7海里/时．60．（2022·江苏省如皋市一模，19，5）计算＋(－1)0－()－1－(－1)2022；【答案】原式=2＋1－3＋1=1\n61.（2022·江苏省如皋市一模，23，8）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240m，求这栋大楼的高度．（第23题）【答案】过点A作直线BC的垂线，垂足为D．则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240m．在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴AD=．在Rt△ABD中，tan∠BAD=，∴BD=AD·tan30°=80=80．∴BC=CD－BD=240－80=160．答：这栋大楼的高为160m．（第23题）62.（2022·北京市西城区一模，13，5）计算：．【答案】解：原式==．63.（2022·北京市西城区一模，14，5）14．解不等式组并判断是否为该不等式组的解．\n【答案】①②解：由①得．由②得x≤1．∴原不等式组的解集是＜x≤1．∵，∴不是该不等式组的解．64.（2022·北京市顺义区一模，13，5）计算:【答案】解：原式==65.（2022·北京市一模，13，5）【答案】原式66.（2022·北京市海淀区一模，13，5）计算：．【答案】解：原式==3.67.（2022·北京市怀柔区一模，13，5）计算：【答案】解：原式=68.（2022·北京市怀柔区一模，25，8）如图,设抛物线C1:,C2:,C1与C2的交点为A,B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.（1）求的值及点B的坐标；（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG.过C2顶点Ｍ的直线记为,且与x轴交于点N.①若过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1,2)，求点N的横坐标；②若与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.\n第25题图【答案】解：（1）∵点A在抛物线C1上，第25题图1∴把点A坐标代入得=1∴抛物线C1的解析式为设B(－2,b)，∴b＝－4,∴B(－2,－4)（2）①如图1:∵M(1,5)，D(1,2),且DH⊥x轴，∴点M在DH上，MH=5.过点G作GE⊥DH,垂足为E,由△DHG是正三角形,可得EG=,EH=1，∴ME＝4.设N(x,0),则NH＝x－1,由△MEG∽△MHN,得,∴,∴∴点N的横坐标为．②当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，第25题图2直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,设Ｎ（x，0）∵A(2,4)∴G(,2)∴NQ=ＮF=GQ=2MF=5.∵△NGQ∽△NMF∴∴\n∴.当点D移到与点B重合时,如图3第25题图3图4直线与DG交于点D,即点B此时点N的横坐标最小.∵B(－2,－4)∴H(－2,0),D(－2,－4)设N（x，0）∵△BHN∽△MFN，∴∴∴∴点N横坐标的范围为≤x≤69.（2022·北京市门头沟区一模，13，5）计算：．【答案】解：==．70．（2022·北京市门头沟区一模，25，8）在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是这条抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在x轴上，D（0，3）是y轴上的一点．（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；（2）若E、F是y轴负半轴上的两个动点（点E在点F的上面），且EF＝2，当四边形PBEF的周长最小时，求点E、F的坐标；（3）若Q是线段AC上一点,且，M是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的平面内存在一点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，请你直接写出点N的坐标．【答案】解：（1）∵抛物线关于y轴对称,∴m－2=0．∴m=2．∴抛物线的解析式是.令y＝0，得.∴，．\n在Rt△中，OC＝1,OB＝,可得∠OBC＝30º.在Rt△中，OD＝3,OB＝,可得∠OBD＝60º.∴BC是∠OBD的角平分线.∴直线BD与x轴关于直线BC对称.因为点P关于直线BC的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BD与抛物线的交点.设直线BD的解析式为.∴∴∴直线BD的解析式为.∵点P在直线BD上，设P点坐标为.又因为点P在抛物线上，∴.解得.∴.∴点P的坐标是.（2）过点P作PG⊥轴于G，在PG上截取，连结AH与轴交于点，在轴的负半轴上截取.xyGHEF-1D∵PH∥EF，，∴四边形为平行四边形，有.又∵、的长为定值，∴此时得到的点、使四边形的周长最小.∵OE∥GH，∴Rt△∽Rt△.∴.∴.∴.∴点的坐标为（0，），点的坐标为（0，）.（3）点N的坐标是或或.71.（2022·北京市密云县一模，13，5）计算：°．【答案】解：原式﹦1＋－﹦1＋．\n72.（2022·北京市平谷区一模，13，5）计算：．【答案】解：==73.（2022·北京市石景山区一模，13，5）．【答案】解：原式74.（2022·北京市通州区一模，13，5）计算：【答案】解：原式==75.（2022·北京市延庆县一模，13，5）计算：计算:【答案】解：原式===76.（2022·北京市燕山区一模，13，5）计算：|1－|－(3.14－π)0+（）-1－4sin60°.【答案】原式=-1-1+2-2=-.77.（2022·南京市一模，24，8）(8分)如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向．求货船的航行速度．（精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.41，≈1.73）AP东北【答案】设货船速度为x海里/时，4小时后货船在点B处，作PQ⊥AB于点Q．由题意AP＝56海里，PB＝4x海里．在直角三角形APQ中，∠ABP＝60°，所以PQ＝28．在直角三角形PQB中，∠BPQ＝45°，所以，PQ＝PB×cos45°＝2x．所以，2x＝28．x＝7≈9.9．答：货船的航行速度约为9.9海里/时．\n78.（2022·江苏省南京市高淳县一模，17，4）计算:（2－）×；【答案】解法1:原式＝2－＝12－＝11解法2:原式＝（4－）×＝×＝1179.（2022·江苏省南京市鼓楼区一模，28，10）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4．点M是AC上动点（与点A不重合），设AM＝x，过点M作AC的垂线，交直线AB于点N．（1）当△AND的面积为时，求x的值；（2）以D、M、N三点为顶点的△DMN的面积能否达到矩形ABCD面积的？若能，请求出此时x的值，若不能，请说明理由．ABCDMDN【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∠B＝90°，∴tan∠BAC＝＝．∴tan∠BAC＝．∵∠BAC是锐角，∴∠BAC＝30°．在Rt△AMN中，AM＝x，∠AMN＝90°，∴MN＝AM·tan∠BAC＝x，AN＝＝．∴S△ADN＝·AD·AN＝·4·＝．∴x＝2．（2）设DN交AC于点E．当点E、M重合时，x＝AM=×4=2①当0＜x＜2时，点M在△ADN的内部．过D作DF⊥AC，垂足为F．∴DF＝AD·sin60°＝4×＝2．∵S△AMN＝×x×x＝x2，S△ADN＝×4×x＝x，S△ADM＝×x×2＝x，∴S△DMN＝S△ADN－S△AMN－S△ADM＝x－x2－x＝x－x2．设S△DMN＝S矩形ABCD，x－x2＝×4×4＝2，2x－x2＝12．∴x2－2x＋12＝0．∵(－2)2－4×1×12＜0，∴该方程无实数根．②当2＜x≤8时，点M在△ADN的外部．\n∴S△DMN＝S△AMN＋S△ADM－S△ADN＝x2＋x－x＝x2－x．设S△DMN＝S矩形ABCD，x2－x＝2，x2－2x＝12．∴x2－2x－12＝0．∴x1＝1－＜0，舍去，x2＝1＋．∵3＜＜4，∴4＜1＋＜5．∴x＝1＋满足条件．∴当S△DMN＝S矩形ABCD时，x＝1＋．80．（2022·江苏省南京市建邺区一模，17，5）计算：．【答案】解：原式＝1－2+3＝－1+381.（2022·江苏省南京市建邺区一模，28，12）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为xs．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．（1）当x=s时，DE⊥AB；（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．ABCDEF（第28题图）（第28题备用图）ABCD【答案】解：（1）（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．∴∠A＝∠B＝45°，AB=4，∴∠ADE＋∠AED＝135°；又∵∠DEF＝45°，∴∠BEF＋∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEF；∴△ADE∽△BEF∴＝，∴＝，∴y＝－x2+x∴y＝－x2+x＝－(x－2)2+∴当x＝2时，y有最大值＝\n∴点F运动路程为cmABCDEF第28题（1）（2）图ABCDEF第28题（3）①图（3）这里有三种情况：①如图，若EF＝BF，则∠B＝∠BEF；又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠ADE＝45°∴∠AED＝90°，∴AE＝DE＝，∵动点E的速度为1cm/s，∴此时x＝s；②如图，若EF＝BE，则∠B＝∠EFB；又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠AED＝45°∴∠ADE＝90°，∴AE＝3，∵动点E的速度为1cm/s∴此时x＝3s；ABCDEF第28题（3）②图ABCDEF第28题（3）③图③如图，若BF＝BE，则∠FEB＝∠EFB；又∵△ADE∽△BEF，∴∠ADE＝∠AED∴AE＝AD＝3，∵动点E的速度为1cm/s∴此时x＝3s；综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为s或3s或3s．82.（2022·江苏省南京市江宁区一模，19，5）计算：|-2|－（3－π）0＋2．【答案】解：原式＝2—1+=1+\n83.（2022·江苏省南京市溧水县一模，17，6）计算：．【答案】解：原式=-9+2+1-2=84.（2022·江苏省南京市溧水县一模，18，6）先化简，再求值：，其中．【答案】解：原式====当时，原式=85.（2022·江苏省南京市一模，17，6）先化简，再求值(－)÷，其中x＝+1．【答案】原式＝(＋)×(x－1)＝×(x－1)＝x＋2．把x＝+1代入得，原式＝+3．86.（2022·江苏省南京市玄武区一模，18，7）先化简，再求值：，其中．【答案】当时，原式=87.（2022·江苏省南京市雨花台区一模，17，5）计算：\n【答案】解：原式
