课题研究（实践操作）一、选择题1.（2022·北京模拟，16，3）．图（1）是面积都为S的正边形（），图（2）是由图（1）中的每个正多边形分别对应“扩展”而来。如：图（2）中的a是由图（1）中的正三角形的每边长三等分，以居中的一条线段向外作正三角形，并把居中线段去掉而得到；图（2）中的b是由图（1）中的正四边形的每边长三等分，以居中的一条线段向外作正四边形，并把居中线段去掉而得到…，以此类推，当图（1）中的正多边形是正十边形时，图（2）中所有“扩展”后的图形面积和为248。则S的值是。…图（2）abcd…；图（1）【答案】18.第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形2.（2022·北京模拟，16，3）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是．【答案】或或二、填空题三、解答题1.（2022·北京模拟，23，10）我们知道，对于二次函数y=a（x+m）2+k的图像，可由函数y=ax2的图像进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数y=ax2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y=a（x+m）2+k为“基本函数”y=ax2的“朋友函数”。左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离称为朋友距离。由此，我们所学的函数：二次函数y=ax2，函数y=kx和反比例函数都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”。15\n如一次函数y=2x－5是基本函数y=2x的朋友函数，由y=2x－5=2（x－1）－3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=.（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x－5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向，再向下平移7单位，相应的朋友距离为。（2）探究二：已知函数y=x2－6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离。（3）探究三：为函数和它的基本函数，找到朋友路径，并求相应的朋友距离。【答案】解：（1）左平移1个单位…5…（2）基本函数为y=x2…朋友路径为先向右平移3个单位，再向下平移4个单位相应的朋友距离为5……（3）函数可化为y=+3，朋友路径为先向左平移1个单位，再向上平移3个单位。相应的朋友距离为。…2.（2022·浙江省杭州市一模，22，10）阅读材料并解答问题：与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，，与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积．（结果可用三角函数表示）OBACr图①如图①，当时，设切圆O于点，连结，，，，．在中，，，15\n．(1)如图②，当时，仿照（1）中的方法和过程可求得：；（2）如图③，当时，仿照（1）中的方法和过程求；（3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出．OBACr图②OBACr图③OBACr图④【答案】解：（1）．（2）如图③，当时，设切于点，连结，，，OBACr图③，，，，，．（3）．3.（2022·安次市一模，23，10）阅读材料：如图23—1，的周长为，面积为S,内切圆的半径为，探究与S、之间的关系．连结，，又，，∴∴解决问题：（1）利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），如图23—2且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式；15\n（3）若一个边形（为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．【答案】：（1），三角形为直角三角形面积，（2）设四边形内切圆的圆心为，连结，则，（3）4.（宁波七中一模2710）小王同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是小王同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐．（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）小王同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?（本题10分）（图①）（图②）（图③）15\n【答案】：（1）变小.2分（2）问题①：解：∵∴∵∴连结设∴∴在中，∴即时，3分问题②：解：设在中，（Ⅰ）当为斜边时，由得，（Ⅱ）当为斜边时，由得，（不符合题意，舍去）.（Ⅲ）当为斜边时，由得，∴方程无解.另解：不能为斜边.∵∴∴中至少有一条线段的长度大于6.∴不能为斜边.∴由（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得，当时，经线段的长度为三边长的三角形是直角三角形.5分5.（2022年杭州市一模22．10分）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即.同理有：，，15\n所以即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.（1）如图，△ABC中，∠B=450，∠C=750，BC=60，则∠A=；AC=；(第22题)（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里／时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.(第22题)22、（本小题满分10分）解：（1）∠A=600，AC=(2)如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=1800∵∠DCB=300，∴∠CBE=1500∵∠ABE=750。∴∠ABC=750，∴∠A=450…在△ABC中解之得：AB=15………………2分答：货轮距灯塔的距离AB=15海里……6.（2022年河北一模23．10）操作示例如图1，△ABC中，AD为BC边上的的中线，则S△ABD=S△ADC.实践探究图1EDCFBA图4图2图3A（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为；DCB（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为；解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4=？15\n图523．解：（1）；（2）；（3）；（4）由上得，，∴S1+x+S2+S3+y+S4．S1+m+S4+S2+n+S3，∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）．∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴∴S1+S2+S3+S4=S阴=20．7.（河北一模2410）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK_______MK(填“＞”，“＜”或“=”)．②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK___MK(只填“＞”或“＜”)．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK____MK，证明你所得到的结论．图1图2（3）如果MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF的度数和的值．图3图424．（1）①=②＞（2）＞证明：作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD，则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．15\n∵30°，∴∠CDA=120°，∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°．∴∠ADM=∠GDM，∵DM=DM，∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．（3）∠CDF=15°，．8.（2022年常州模拟29、9分）已知点A、B分别是轴、轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数图像的其中一个伴侣正方形。（1）若某函数是一次函数，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m<2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？。(本小题只需直接写出答案)15\n9.（2022广东模拟2410）具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.(（图1）（图2）请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交线段BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？【答案】：：（1）△BMP是等边三角形.…………………………………………………1分证明：连结AN∵EF垂直平分AB∴AN=BN由折叠知AB=BN∴AN=AB=BN∴△ABN为等边三角形15\n∴∠ABN=60°∴∠PBN=30°…………………………3分又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°∴∠BPN=60°∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°∴∠BMP=60°∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°∴△BMP为等边三角形.…………………………………………………5分（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP……………………7分在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°∴BP=∴b≥∴a≤b.∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP.……………………9分10.（2022启东中学中考模拟四2813）28．（本小题13分）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图16所示，C，D两点的坐标分别为(4，0)，(0，3)．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为ts．(1)填空：菱形ABCD的边长是_______，面积是_______，高BE的长是_______．(2)探究下列问题：①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位，当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值．②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4s时的情形，并求出k的值．【答案】：（1）5，24，（2）①当时，S取最大值为6②或或2022苏州模拟六289）(1)如图(1)、图(2)、图(3)，在△ABC中，分别以AB、AC为边，向△15\nABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE、CD相交于点O．①如图(1)，求证：△ABF≌△ADC；②探究：如图(1)，∠BOC＝______°；如图(2)，∠BOC＝______°．如图(3)，∠BOC＝______°(2)如图(4)，已知：AB、AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC、AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE、CD的延长线相交于点O．①猜想：如图(4)，∠BOC＝______°（用含n的式子表示）；②根据图(4)证明你的猜想．12.（2022苏州模拟三28.9）28．（本题9分）如图(1)，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合）．如图(2)，线段CF、BD之间的位置关系为_______，数量关系为_______．②当点D在线段BC的延长线上时，如图(3)，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BD（点C、F重合除外）?画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）(3)若AC＝4，BC＝3，在(2)的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．28．(1)①垂直相等②成立(2)∠BAC＝45°CF⊥BD(3)当x＝2时,CP有最大值1.15\n【答案】：．(1)(－2，－4)(2)四边形ABP1O为菱形时，P1（－2，4）；四边形ABOP2为等腰梯形时，P2（，－）；四边形ABP3O为直角梯形时，P3（－，）；四边形ABOP4为直角梯形时，P4（，）(3)或13.（2022石家庄模拟2310）动手操作：如图1，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点重合，点B与点重合。探究与发现：（1）如图2，若圆柱的地面周长是30cm,,高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝带到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是cm；（丝线的粗细忽略不计）（2）如图3，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？实践与应用：15\n如图4，现有一个圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外面缠绕一层装饰带，为使带子全部包住杯子且不重叠，需要将带子的两端沿AE,CF方向进行裁剪，如图5所示，若带子的宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，则。【答案】：：，．探究与发现：（1）50；AA′C（2）如图，在Rt△AA′C中，AA′=30，A′C==10，∴AC=，∴丝线至少为cm．实践与应用：．14.（2022湖南模拟2614）【探究】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，E为AD的中点，若EF∥AB求证：BF＝CF15\n【知识应用】如图，坐标平面内有两个点A和B其中点A的坐标为（ｘ，ｙ），点B的坐标为（ｘ，ｙ），求AB的中点C的坐标【知识拓展】在上图中，点A的坐标为（4，5），点B的坐标为（－6，－1），分别在ｘ轴和ｙ轴上找一点C和D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求出点C和点D的坐标．26．【探究】证明：过点F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延长线于点G∵AH∥EF∥DG，AD∥GH∴四边形AHFE和四边形DEFG都是平行四边形∴FH＝AE，FG＝DE∵AE＝DE∴FG＝FH∵AB∥DG∴∠G＝∠FHB，∠GCF＝∠B∴△CFG≌△BFH∴FC＝FB【知识应用】过点C作CM⊥ｘ轴于点M，过点A作AN⊥ｘ轴于点N，过点B作BP⊥ｘ轴于点P则点P的坐标为（ｘ，0），点N的坐标为（ｘ，0）由探究的结论可知，MN＝MP∴点M的坐标为（，0）15\n∴点C的横坐标为同理可求点C的纵坐标为∴点C的坐标为（，）【知识拓展】当AB是平行四边形一条边，且点C在ｘ轴的正半轴时，AD与BC互相平分，设点C的坐标为（ａ，0），点D的坐标为（0，ｙ）由上面的结论可知：－6＋ａ＝4＋0，－1＋0＝5＋ｂ∴ａ＝10，ｂ＝－6∴此时点C的坐标为（10，0），点D的坐标为（0，－6）同理，当AB是平行四边形一条边，且点C在ｘ轴的负半轴时求得点C的坐标为（－10，0），点D的坐标为（0，6）当AB是对角线时点C的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，4）15
