课题研究（实践操作）一、选择题1.（2022年南京市综合体中考一摸，6,2）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为(▲)A．1B．2C．2D．12ab图1ba图2（第5题）【答案】C2.（南京市白下区2022年中考数学一模，5,2）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（▲）A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．a2＋ab＝a(a＋b)B3.（南京市建邺区2022年中考数学一模，6,2）如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，ÐAOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（▲）．A．B．C．D．OABl（第6题图）【答案】A4（南京市浦口区2022年中考数学一模，6,2）如图，从边长为（a＋3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为acm，则另一边长是（▲）A．（2a＋3）cmB．（2a＋6）cmC．（2a＋3）cmD．（a＋6）cma+3a（第6题）-35-\n【答案】D5（南京市栖霞区2022年中考数学一模，4,2）沿圆柱体上面直径截去一部分的物体如图所示，它的俯视图是(▲)ABCD【答案】D6(南京市玄武区区2022年中考一模,5,2)小军将一个直角三角板（如图1）绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是Ａ．B．C．D．第8题图【答案】B7（2022年北京市数学中考模拟，8,4）矩形ABCD中，．动点E从点C开始沿边CB向点以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的【答案】B8（北京市大兴区2022年中考一模，8,4）如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图像与x轴、y轴的交点，点P是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5－x(0≤x≤5)，则结论：①AF=2②BF=4③OA=5④OB=3，正确结论的序号是A．①②③B①③C．①②④D．③④【答案】B-35-\n9（北京市房山区2022年中考一模，8,4）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一ABCPDE（8题图）动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.设AP=x,△PBE的面积为y.则能够正确反映与ABCD之间的函数关系的图象是【答案】A10（北京市密云县2022年中考一模，8,4）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2022个小正方形，则需要操作的次数是A.669B.670 C.671D.672【答案】B11（北京市石景山区2022年中考一模，8，4）已知：如图，无盖无底的正方体纸盒，，分别为棱，上的点，且，若将这个正方体纸盒沿折线裁剪并展开，得到的平面图形是A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形-35-\n【答案】B12（北京市顺义区2022年中考一模，8,4）如图，矩形中，，，是的中点，点在矩形的边上沿运动，则的面积与点经过的路程之间的函数关系用图象表示大致是下图中的11233.5xy0A．11233.5xy0B．11233.5xy011233.5xy0【答案】A13（北京市通州区2022年中考一模，8,4）如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连结A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到△A2B2C2．…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2022，最少经过（）次操作．A．3B．4C．5D．6【答案】B.14（北京市西城区2022年中考一模，5,4）有四张形状、大小和质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张(不放回)，接着再随机抽取一张．则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（）.-35-\nA．B．C．D．【答案】C15(北京市延庆县2022年中考一模,5,4)如图是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则的长是第5题图A．B．C．D．【答案】A16(安徽淮北市2022年中考一模,10，4)如图，四个电子宠物排座位：一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号的座位上，以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后，再左右两列交换位置，第三次是在第二次交换位置后，再上下两排交换位置，第四次是在第三次交换位置后，再左右两列交换位置，…，这样一直继续交换位置，第2022次交换位置后，小鼠所在的座号是（）.(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】Ａ二、填空题1.（2022·上海市闸北区2022-2022学年第二学期期中考试，15，2）如图1，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是 ▲ ．【答案】2m+3图1m+3m32.（2022·江苏省苏州市模拟，18，3）如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为_______米．【答案】8-35-\n3．（2022年南京市综合体中考一摸，10,2）如图，一位同学将一块含30°的三角板叠放在直尺上．若∠1＝40°，则∠2＝▲°．（第16题）【答案】704.（南京市高淳县2022年中考数学一模，16，2）如图，两个半径为2cm的等圆互相重叠，且各自的圆心都在另一个圆上，则两圆重叠部分的面积是▲cm2.(结果保留π)【答案】（π－2）5.（南京市鼓楼区2022年中考数学一模，15，2）如图（1），水平地面上有一面积为7.5πcm2的灰色扇形AOB，其中OA的长度为3cm，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（1）的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图（2）所示，则点O移动的距离为▲cm．BAOBAO（图1）（图2）【答案】5π6.（南京市建邺区2022年中考数学一模，16,2）一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为▲．（第16题图）【答案】2︰（或或）-35-\n7（南京市溧水县2022年中考数学一模，16,2）用棋子按如图方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n-1)个图形多▲枚棋子21第13题【答案】(3n-2)8（南京市六合区2022年中考一模，13,2）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是▲°．【答案】559（南京市栖霞区2022年中考数学一模，14,2）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=▲°【答案】90°10（南京市栖霞区2022年中考数学一模，15,2）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是▲cm．(第16题)【答案】1011（南京市玄武区区2022年中考一模，16,2）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为1cm2，则该半圆的直径为____▲______。【答案】cm12（南京市雨花台区2022年中考一模，12,2）如图，三角板中，，，．三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为▲．【答案】13（南京市雨花台区2022年中考一模，13,2）如图，在平面直角坐标系中，将正方形按如图折叠，若点坐标为（4，0），，则的坐标为▲【答案】-35-\n14（南京市雨花台区2022年中考一模，16,2）如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为▲__．【答案】（第12题）（第13题）（第14题）15（2022年北京市数学中考模拟，12,4）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点，得，则=．的平分线与的平分线交于点，得，……，的平分线与的平分线交于点，得，则=【答案】α2，α2202216（北京市朝阳区2022年中考一模，12,4）如图，P为△ABC的边BC上的任意一点，设BC=a，(第12题图)当B1、C1分别为AB、AC的中点时，B1C1=，当B2、C2分别为BB1、CC1的中点时，B2C2=，当B3、C3分别为BB2、CC2的中点时，B3C3=，当B4、C4分别为BB3、CC3的中点时，B4C4=，当B5、C5分别为BB4、CC4的中点时，B5C5=______，……当Bn、Cn分别为BBn-1、CCn-1的中点时，则BnCn=；设△ABC中BC边上的高为h，则△PBnCn的面积为______(用含a、h的式子表示)．【答案】,,分析：由题意知，B5C5∥BC，，根据相似的性质，可得到B5C5=，同理可得到BnCn=-35-\n.因为△ABC中BC边上的高为h，所以△PBnCn中BnCn边上的高为，△PBnCn的面积为.17（北京市大兴区2022年中考一模，12,4）将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形形的面积和为（用含n的代数式表示）.【答案】18（北京市东城区2022年中考一模，12,4）如图，直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，…，按此做法进行下去，点的坐标为（，）；点（，）．【答案】，0，，0（12题图）19（北京市房山区2022年中考一模，12,4）如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n个四边形的周长为_________________．【答案】，4-35-\n20（北京市丰台区2022年中考一模，12,4）已知在△ABC中，BC=a.如图1，点B1、C1分别是AB、AC的中点，则线段B1C1的长是_______；如图2，点B1、B2，C1、C2分别是AB、AC的三等分点，则线段B1C1+B2C2的值是__________；如图3,点，分别是AB、AC的（n+1）等分点，则线段B1C1+B2C2+……+BnCn的值是______.【答案】,21（北京市海淀区2022年中考一模，12,4）如图，矩形纸片中，.第一次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第二次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第三次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点，….按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与交于点，则=，=．第一次折叠第二次折叠第三次折叠…【答案】222（北京市门头沟区2022年中考一模，12,4）已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．n=3n=5……n=4-35-\n当n=8时，共向外作出了个小等边三角形；当n=k时，共向外作出了个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是（用含k的式子表示）．【答案】1823（北京市平谷区2022年中考一模，12,4）如图所示，直线与y轴交于点，以为边作正方形然后延长与直线交于点，得到第一个梯形；再以为边作正方形，同样延长与直线交于点得到第二个梯形；，再以为边作正方形，延长，得到第三个梯形；……则第2个梯形的面积是；第（n是正整数）个梯形的面积是（用含n的式子表示）．【答案】或24（北京市石景山区2022年中考一模，12，4）已知：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，，将△绕原点逆时针旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使，得到△．将△绕原点逆时针旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使，得到△，如此下去，得到△．（1）的值是_______________；（2）△中，点的坐标：_____________．【答案】2；（）．-35-\n25（北京市顺义区2022年中考一模，22,5）如图，将正方形沿图中虚线（其）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图；（2）求的值．【答案】（1）如图-----------------------------2分（2）面积可得----------------------3分----------------------------------------4分(舍去)------------5分26（北京市西城区2022年中考一模，12,4）如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形，正方形的面积为；再把正方形的各边延长一倍得到正方形（如图2），如此进行下去，正方形的面积为．（用含有n的式子表示，n为正整数）图1图2【答案】，①②③④27(15(北京市延庆县2022年中考一模,124)如图，图①是一块边长为，周长记为的正三角形纸板，-35-\n沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第块纸板的周长为，则；=．…第12题图【答案】,28(北京市燕山区2022年中考一模,12,4)已知：点F在正方形纸片ABCD的边CD上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF折叠纸片，使点C落在纸片内点C＇处（如图2）；再继续以BC＇为轴折叠纸片，把点A落在纸片上的位置记作A＇（如图3），则点D和A＇之间的距离为_________.ADADDC＇FFFA＇BCBB图1图2图3【答案】29(江苏省泰州市2022年中考数学适应性训练,18,3)如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、En，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3···△BCEn的面积为S1、S2、S3、…Sn.则Sn＝S△ABC（用含n的代数式表示）．（第18题）【答案】三、解答题1.（2022·上海市闸北区春学期期中考试，24，12）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边长作正方形PQMN，使点M-35-\n落在反比例函数的图像上．小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点在第二象限；yPQMNOx12-1-2-3-3-2-1123图７(1)如图７所示，点P坐标为（1，0），图中已画出一个符合条件的正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形，并写出点的坐标；(2)请你通过改变P点的坐标，对直线M的解析式y﹦kx＋b进行探究：①写出k的值；②若点P的坐标为（m，0），求b的值；(3)依据(2)的规律，如果点P的坐标为（8，0），请你求出点和点M的坐标．【答案】(1)如图；M1的坐标为（-1，2）…………………………………………(2分+2分)(2)，……………………………………………………………………(4分)(3)由(2)知，直线M1M的解析式为则满足解得，，∴M1，M的坐标分别为（，），（，）．……………(4分)2.（2022·江西省中考模拟二，21，8分）问题情景：某学校数学学习小组在讨论“随机掷二枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：随机掷二枚均匀的硬币，可以有“二正、一正一反、二反”三种情况，所以，P（一正一反）＝；小颖反驳道：这里的“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，所以P（一正一反）＝.⑴的说法是正确的.⑵为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次实验，得到如下数据：二正一正一反二反小聪245026小颖244729计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的实验中，你能得到“一正一反”-35-\n的概率是多少吗？⑶对概率的研究而言小聪与小颖两位同学的实验说明了什么？【答案】⑴小颖的说法是正确的………3分⑵小明得到的“一正一反”的频率是0.50………4分小颖得到的“一正一反”的频率是0.47………5分据此，我得到“一正一反”的概率是………6分⑶对概率的研究不能仅仅通过有限次实验得出结果，而是要通过大量的实验得出事物发生的频率去估计该事物发生的概率。我认为小聪与小颖的实验都是合理的，有效的。……8分3.（2022·江西省中考模拟二，22，8分）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图(3)，测得校园景灯（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长HQ为90cm，灯杆被阳光照射到的部分PG长40cm，未被照射到的部分KP长24cm。图(1)图(2)图(3)（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）请根据甲、丙两组得到的信息，求：①灯罩底面半径MK的长；②灯罩的主视图面积。【答案】（1）在同一时刻在阳光下对校园中，学校旗杆与旗杆的影长构成直角三角形和,且∽，所以，DE=1200cm……3分（2）①由（1）可知∽∽，得出GH=30cm,MK=18cm…..5分②≌,由KP长24cm，得出，∽,所以,所以72cm……..7分灯罩的主视图面积为：18×2×72=2592……8分4.（2022·江西省中考模拟二，25，9分）已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。-35-\n45°60°AEDBCFAGDHMEFCB(N)第25题图图①图②AGDHMEFCBN第25题图图③EFMNDABGH图④C【思路分析】（1）将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角30°时可知AM=MD，CD=CB，又由MG⊥AD，CH⊥BD，∴，∴AG=DH；（2）将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角60°时可知，由ASA可判断，从而可证出；第（3）问可通过，可得：，从而可证AG=DH【答案】∵∠A=∠ADM=30°，∴MA=MD.又MG⊥AD于点G，-35-\n∴AG=AD.【思路分析】本题的主旨是在考查学生的推理能力（合情推理与演绎推理），通过旋转和放缩的变换，构造出了一个“从特殊到一般”的三种图形状态，其中蕴含了“运动与静止的对立统一”、“在变化过程中寻找某些量的不变属性”这一重要的数学基本观念．（1）只需证：△FBM ≌ △MDH；（2）延续第一问的思路连接MB、MD，再证△FBM ≌ △MDH；（3）思路同（2）。1.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】2.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××-35-\n5.（2022·江西省中考模拟六，25，9分）操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点，如图3-1-13①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，由①②③研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图①加以证明。（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由）。（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。【思路分析】（1）因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，所以想到证明△PCD≌△PBE（2）共有四种情况①当点C与点E重合②当CE=2-时③当CE=1时④当E在CB的延长线上，且CE=2+时，特别别忘了当E在CB的延长线上（3）利用四边形和相似的性质，先求出所以再证△MDF∽△MEH，可得【答案】（1）连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，所以CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACP=45°，即∠ACP=∠B=45°，又因为∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，所以∠DPC=∠BPE，即△PCD≌△PBE，所以PD=PE。…………………3分（2）共有四种情况：①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB，②当CE=2-时，此时PB=BE；③当CE=1时，此时PE=BE；④当E在CB的延长线上，且CE=2+时，此时PB=EB。………6分（3）MD：ME=1：3，…………………7分证明如下：过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H，所以MH∥AC，MF∥BC，即四边形CFMH是平行四边形，因为∠C=90°，所以□CFMH是矩形，即∠FMH=90°，MF=CH，因为，而HB=MH，所以…………………9分，因为∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，所以∠DMF=∠EMH，因为∠MFD=∠EMH=90°，所以△MDF∽△MEH，即…………………10分-35-\n6.（2022·江西省中考模拟五，25，10分）课题学习问题背景甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E是边长为ａ的正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形任务要求：(1)请你在图1中画出旋转后的图形甲、乙、丙三名同学又继续探索：在正方形ABCD中，∠EAF=45°，点F为BC上一点，点E为DC上一点，∠EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N.连结EF甲发现：线段BF，EF,DE之间存在着关系式EF=BF+DE；乙发现：△ＣＥＦ的周长是一个恒定不变的值；丙发现：线段BN,MN，DM之间存在着关系式BN2+DM2=MN2(2)现请也参与三位同学的研究工作中来，你认为三名同学中哪个的发现是正确的，并说明你的理由【思路分析】通过旋转利用全等三角形，发现边的关系，再利用直角三角形的勾股定理找到三条线段的平方关系。【技巧点拨】利用构造法证明，ACDEKB【答案】画图如图(1)………………２分ACDF45°E图2KB图1(2)选择甲发现：证明：延长CB到K,使BK=DE,连AK,则△AKB≌△AED∵∴,∴∵∴.∴-35-\nACDF45°E图2KB又∵∴…………………………４分选择乙发现：证明：延长CB到K,使BK=DE,连AK,则△AKB≌△AED∵∴,∴∵∴.∴又∵∴△ＣＥＦ周长＝ＣＦ＋ＣＥ＋ＥＦ＝ＣＦ＋ＣＥ＋（ＢＦ＋ＤＥ） ＝（ＣＦ＋ＢＦ）＋（ＣＥ＋ＤＥ） ＝ＢＣ＋ＤＣ＝２ａ（定值）…………………………６分选择丙发现：证明：如图2,在上截取连结GN.AGCDFMN45°E图2KB∵∴∴又∵∴∵∴,∴又∵∴∴∵∴.∴.……………………10分综上所述：甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的。7.（2022·江西省中考模拟五，25，10分）课题学习●探究(1)在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．第25题图1OxyDBAC①若A(-1，0)，B(3，0)，则E点坐标为__________；②若C(-2，2)，D(-2，-1)，则F点坐标为__________；(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程．●归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，xyO第25题图2当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，AB中点为D(x，y)时，x=_________，y=___________．（不必证明）-35-\n★●运用在图2中，的图象x轴交于P点。一次函数与的图象交点为A，B．①求出交点A，B的坐标（用k表示）；②若D为AB中点，且PD垂直于AB时，请利用上面的结论求出k的值。【思路分析】从在数轴上的两个特殊需要点的找到中点与端点坐标的关系，再到象限一般情况中点与端点的坐标关系。通过观察，从特殊到一般；再利用数形结合的思想，利用中点坐标公式求解。【技巧点拨】求出线段中点坐标分别是两个端点纵、横坐标的平均值。绝对值函数的图象画法，Ｙ的值都是非负数。【答案】探究(1)①(1，0)；②(-2，)；．．．．．．．．．．．．．．．．．２分(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为，，，则∥∥．过A、B分别作直线D的垂线，垂足分别为H、G。∴AH=BG，又AH=；BG=∴=．，．．．．．．．．．．．４分即D点的横坐标是．同理又HD=DG，，可得D点的纵坐标是．．．．．．．．．５分∴AB中点D的坐标为(，)．归纳：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分●运用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分-35-\n．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分．．．．．．．．．．．．．．９分，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分8.(2022年慈溪市初中毕业生学业考试数学模拟，26，12分)如图1，边长均为6的正△和正△原来完全重合．如图2，现保持正△不动，使正△绕两个正三角形的公共中心点按顺时针方向旋转，设旋转角度为．(注：除第(3)题中的第②问，其余各问只要直接给出结果即可)(1)当多少时，正△与正△出现旋转过程中的第一次完全重合?(2)当时，要使正△与正△重叠部分面积最小，可以取哪些角度？(3)旋转时，如图3，正△和正△始终具有公共的外接圆⊙O．当时，记正△与正△重叠部分为六边形．当在这个范围内变化时，①求△面积S相应的变化范围；②△的周长是否一定？说出你的理由．(图1)(图3)(图2)【答案】(1)当时，正△与正△出现旋转过程中的第一次完全重合．2分(2)、或．5分(3)①．7分-35-\n②△的周长一定；理由如下：连接AB，∵，∴，∴，9分∴，∴，同理，，11分∴△的周长：．12分9.（2022·河北省石家庄市初中毕业班调研检测，23，10分）动手操作：如图1，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点重合，点B与点重合。探究与发现：（1）如图2，若圆柱的地面周长是30cm,,高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝带到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是cm；（丝线的粗细忽略不计）（2）如图3，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？-35-\n实践与应用：如图4，现有一个圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外面缠绕一层装饰带，为使带子全部包住杯子且不重叠，需要将带子的两端沿AE,CF方向进行裁剪，如图5所示，若带子的宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，则。【答案】，．…………………………………………………………………2分探究与发现：（1）50；………………………………………………………………………3分AA′C（2）如图，在Rt△AA′C中，AA′=30，A′C==10，∴AC=，∴丝线至少为cm．………………7分实践与应用：．………………………………………10分11.（2022·河北省石家庄42中中考模拟数学试卷，23，10分）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果AB:AC=AC:BC，那么称点C为线段的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1:S2，如果S:S1=S1:S2，，那么称直线为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：在（1）中，过点C任作AE交AB于E，再过点D作，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF是△ABC的黄金分割线．请说明理由．（4）如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线．请你再画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过ABCD各边黄金分割点（保留必要的辅助线）．【答案】（1）数量关系：相等，位置关系：垂直．（2）成立，易证△ＯＥＢ≌△ＯＦC；-35-\n （３）．12.（2022·河北省石家庄42中中考模拟数学试卷，24，10分）已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为E、F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是______．（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且EH：HO=2：5，则BE的长是多少？图1ABCOMNEF(P)ABCOMNEFP图2ABCOMNEFP图3H【答案】（1）１０；（2）或； （３）当０＜ｔ＜或ｔ＞时，直线EF与⊙O无公共点， 当＜ｔ＜时，直线EF与⊙O有两个公共点．13.（2022·湖北省黄冈市张榜中学数学中考模拟试，23，10分）某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”。小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心（即图中的C处）固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去。小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O，过点O的木杆CD长为260㎝,OA、OB为圆弧的半径长为90㎝（作为木杆的支架），且OA、OB关于CD对称，弧AB的长为30㎝。当木杆CD向右摆动使点B落在地面上（即圆弧与直线l相切于点B）时，木杆的顶端点D到直线l的距离DF是多少㎝？-35-\nOABDlACCDEBFO【答案】由弧AB的长可得，∠AOB＝60°，从而∠BOE＝∠COB＝30°，∵OB＝90cm，∴OE＝cm，∴DE＝170+cm，∴DF＝180+cm14．（2022年南京市综合体中考一摸，27,8）(1)学习《测量建筑物的高度》后，小明带着卷尺、标杆，利用太阳光去测量旗杆的高度．参考示意图1，他的测量方案如下：第一步，测量数据．测出CD＝1.6米，CF＝1.2米，AE＝9米．第二步，计算．请你依据小明的测量方案计算出旗杆的高度．(2)如图2，校园内旗杆周围有护栏，下面有底座．现在有卷尺、标杆、平面镜、测角仪等工具，请你选择出必须的工具，设计一个测量方案，以求出旗杆顶端到地面的距离．要求：在备用图中画出示意图，说明需要测量的数据．(注意不能到达底部点N对完成测量任务-35-\n的影响，不需计算)你选择出的必须工具是；需要测量的数据是．【答案】(1)设旗杆的高度AB为x米．由题意可得，△ABE∽△CDF．………………1分所以＝．………………2分因为CD＝1.6米，CF＝1.2米，AE＝9米，所以＝．解得x＝12米．……………………4分答：旗杆的高度为12米．(2)示意图如图，答案不唯一；…………6分卷尺、测角仪；角α(∠MPN)、β(∠MQN)的度数和PQ的长度．…………8分15.（南京市建邺区2022年中考数学一模，23,8）现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上（如图），测得∠α＝32°．（1）求矩形图案的面积；（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印（如图），最多能印几个完整的图案？（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）0.8cm……12cmα（第23题图）【答案】（1）如图，在Rt△BCE中，∵sinα=，∴BC===1.62分∵矩形ABCD中，∴∠BCD=90°，∴∠BCE+∠FCD=90°，又∵在Rt△BCE中，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠FCD=32°．-35-\n在Rt△FCD中，∵cos∠FCD=，∴CD===24分∴橡皮的长和宽分别为2cm和1.6cm．E……0.8cm12cmαBACDFGH（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH=32°．∵cos∠DAH=，∴AH===25分在Rt△CGH中，∠GCH=32°．∵tan∠GCH=，∴GH=CGtan32°=0.8×0.6=0.487分又∵6×2+0.48＞12，5×2+0.48＜12，3×4+0.9616，∴最多能摆放5块橡皮．8分16．（南京市建邺区2022年中考数学一模，27,9）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：说明：方案一图形中的圆过点A、B、C；方案二直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点．ABC方案一方案二纸片利用率=×100%发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．-35-\n方案三说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．【答案】发现：（1）小明的这个发现正确．1分理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，∵AC＝BC＝，AB＝∴AC2+BC2＝AB2∴∠BAC＝90°，2分∴AB为该圆的直径．3分解法二：如图二：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，∴∠ACM＝∠CBN．又∵∠BCN＋∠CBN＝90°，∴∠BCN＋∠ACM＝90°，即∠BAC＝90°，2分∴AB为该圆的直径．3分图一M图二NCBADEFH图三（2）如图三：易证△ADE≌△EHF，∴AD＝EH＝1．4分∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝∴＝，∴BC＝8．5分∴S△ACB＝16．6分∴该方案纸片利用率＝×100%＝×100%＝37.5%7分探究：（3）9分17（南京市六合区2022年中考一模，26,8）我们通常可以对一些图形进行剪切,并利用图形的轴对称、平移、旋转等进行图案设计,如图1中,可以沿线段AE剪切矩形ABCD,再将△ABE通过变换与梯形AECD拼接成等腰梯形.请按下列要求进行图案设计:（1）把矩形剪切2次拼接成一个菱形，请在图2中画出剪切线，再画出拼接示意图；（2）把矩形剪切１次拼接成一个菱形，请在图３中画出剪切线，再画出拼接示意图.-35-\n【答案】（1）（2）18（南京市玄武区区2022年中考一模，28,9）如图，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形ABCD和三角形EGF两张纸片，测得AB=5，AD=4，EF=．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．(1)请你求出FG的长度．(2)在(1)的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为．y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值．(3)在(2)的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围(直接写出结果)．【答案】-35-\n(1)∵在Rt△EGF中，EG=AB=5，EF=,∴FG=……………..2分(2)当0≤x≤4时，；………………….3分当4＜x≤10时，y=－2x+24，…………..4分当y=10时，x=7或．……………….6分(3)当0≤x≤4时，，顶点为(10，25)，…….7分∴当0≤x≤4时，0≤y≤16．当4＜x≤10时，y=－2x+24，4≤y＜16．∴当4≤y<16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积y可能相等．………8分当0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．..9分19（2022年北京市数学中考模拟，24，8）把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时， ．（2）将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中，问的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．（图2，图3供解题用）ＢＥＰＡＤ(Ｏ)ＣＱＦＭＢＥＰＡＣＱＦＤ(Ｏ)Ｄ(Ｏ)B(Q)CFEAP图1图2图3-35-\nＢＥＰＡＤ（Ｏ）ＣＱＦ【答案】（1）8······························2分 （2）的值不会改变． 理由如下：在与中， 即················3分 ············4分（3）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于， ··························5分ＢＥＰＡＤ（Ｏ）ＣＱＦＮＭＧ 由（2）知：得 于是 ·········6分情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为， 由于，，易证：， 即解得 于是·········7分-35-\n 综上所述，当时， 当时，·······8分法二：连结，并过作于点，在与中， 即· ·················7分·········8分法三：过作于点，在中， ··········7分 于是在与中 即··············8分20（北京市崇文区2022年中考一模，22,5）如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个正方形．（1）画出拼成的正方形的简图；-35-\n（2）的值等于.【答案】（1）如右图（2）22（北京市怀柔区2022年中考一模，24,6）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小亮拿着300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．图a图b【答案】（1）证明：而所以由可知结论成立.………………………………………………………………………（3分）（2）相似……………………………………………………………………………（4分）相似……………………………………………………………………………（5分）理由：由△BPE与△CFP相似可得即，而知结论成立…………（6分）③由△BPE与△PFE相似得，即，过F作PE垂线可得………………………………………………（7分）-35-\n23(2022年常熟市初三数学调研测试,28,9)如图，矩形ABCD，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．(1)问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的；(2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．【答案】-35-
