知识点29：锐角三角函数和解直角三角形一、选择题.（2022·浙江省杭州市一模，题号5，分值3）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=75o，∠C=45o，那么sin∠AEB的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D.（2022·安次区一模，题号9，分值2）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（）A．mB．10mC．mD．m【答案】B.（2022·北京市解密预测一模，题号10，分值3）如图，已知的半径为5，锐角△ABC内接于，BD⊥AC于点D，AB=8,则的值等于（▲）A．B．C．D．【答案】D.（2022·北京市解密预测三模，题号7，分值4）如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角，则AB的长为（）A．米B．米C．米D．米65\n【答案】B.（2022·北京市解密预测四模，题号6，分值3）在△中，，若，，则的长是（）Ａ．6Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】B.（2022·北京市解密预测五模，题号4，分值3）Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于()A.B.C.D.【答案】A.（2022·北京市解密预测五模，题号6，分值3）如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为()A、B、C、D、【答案】D.（2022·淮北市“五校”第四次联考，题号3，分值4）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．1B． C．D．【答案】B.（2022·淮北市“五校”第四次联考，题号10，分值4）如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O65\n为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q.当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（）A． B．C．D．【答案】C.（2022·2022年3月宁波七中九年级月考，题号3，分值3）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C.（2022·2022年3月宁波七中九年级月考，题号7，分值3）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．6sin15°cmB．6cos15°cmC．6tan15°cmD．cm【答案】C.（2022·海南省二模，题号12，分值3）如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于（）A、1B、C、D、65\n【答案】C.（2022·浙江省杭州市上城区一模，题号7，分值3）Rt△ABC中，∠C=90°，、、分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么等于（）A.B.C.D.【答案】B.（2022·江苏省盐城市射阳二模，题号3，分值3）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinB的值是()A.B.C.D.【答案】D.（2022·黑龙江省齐齐哈尔市一模，题号15，分值3）如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状，得到□A1BCD1，若□A1BCD1的面积是矩形ABCD面积的一半，则的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B.（2022·甘肃省兰州市二模（1），题号3，分值4）根据图中的信息，经过估算，下列数值与正方形网格中∠ɑ的正切值最接近的是（）.A、0.6246B、0.8121C、1.2252D、2.1809【答案】D.（2022·湖北省荆州市三模，题号1，分值3）在实数，0，，，sin300，，tan150中，有理数有（）65\nA、1个B、2个C、3个D、4个【答案】D.（2022·湖北省枝江市十校联考，题号12，分值3）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了(▲)m。A．B．500C．D．1000【答案】A.（2022·河北省石家庄市一模，题号8，分值2）如图，将Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端P沿水平方向打入木桩，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．6sin15°cmB．6cos15°cmC．6tan15°cmD．cm【答案】A.（2022·河北省石家庄市一模，题号9，分值2）如图，的正切值为（）A．B．C．3D．2【答案】.（2022·福建省福州市会考，题号7，分值4）Rt△ABC中，∠C=90°，、、分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么等于（）A.B.C.D.【答案】B.（2022·浙江省杭州市三模（2），题号9，分值3）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是（ ▲ ）A．B．2C．D．65\n【答案】B.（2022·浙江省杭州市三模（3），题号7，分值3）Rt△ABC中，∠C=90°，、、分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么等于（）A.B.C.D.【答案】B.（2022·宁夏省贺兰一中二模，题号1，分值3）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）A．B．C．D．【答案】B.（2022·江苏省启东中学三模（3），题号1，分值3）在中，无理数的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.（2022·江苏省启东中学三模（4），题号5，分值3）如图所示，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA＝30°，则OB的长为()A．4B．4C．2D．265\n【答案】B.（2022·江苏省启东中学三模（4），题号10，分值4）如图是一个包装纸盒的三视图(单位：cm)，则制作一个纸盒所需纸板的面积是()A．75(1＋)cm2B．75(1＋)cm2C．75(2＋)cm2D．75(2＋)cm2【答案】C.（2022·山东省荷泽市模拟，题号12，分值3）如图，汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为，B村的俯角为．则A、B两个村庄间的距离是（）米A．300B．900C．300D．300【答案】A.（2022·福建省福州市会考，题号1，分值4）Sin30º的值等于（）A．B．C．D．1【答案】A.（2022·福建省福州市会考，题号7，分值4）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sinθ的值为65\nA．B．C．D．【答案】A.（2022·安徽省马鞍山市成功学校一模，题号10，分值4）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD＝（）A．B．C．D．【答案】C.（2022·北京101中一模，题号7，分值4）如图，根据图中信息，经过估算，下列数值与的值最接近的是（）A.1.35B.1.23C.0.81D.0.62【答案】B.（2022·江苏省苏州市模拟（1），题号，分值）2cos45°的值等于()A．B．C．D．【答案】B.（2022·甘肃省兰州市一模，题号1，分值4）65\n【答案】A.（2022·重庆市南开中学二模，题号5，分值4）在中，则tanB的值为()【答案】B.（2022·湖南省中考预测题（1），题号3，分值3）下面四个数中，最大的是（ ）A． B．sin88°C．tan46°D．【答案】C.（2022·湖南省中考预测题（1），题号8，分值3）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则tanC·tanB＝（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C二、填空题（2022·浙江省杭州市一模，题号13，分值4）豆豆沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为．【答案】（2022·北京市解密预测三模，题号15，分值5）如图，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO= cm．65\n【答案】5（2022·北京市解密预测四模，题号14，分值4）在Rt△中，，为上一点，，，，则的长是．【答案】（2022·北京市解密预测五模，题号11，分值4）在中，，，，则．【答案】（2022·山东省曲阜市实验中学一模，题号19，分值2）如图，正方形的边长为1，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，连接，则=．【答案】（2022·江苏省盐城市射阳二模，题号17，分值3）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝4cm，则梯形ABCD的面积为．65\n【答案】12cm（2022·山东省潍坊市二模，题号14，分值3）计算：－32+（1－sin45°）0+(－)－2－+=.【答案】－2（2022·山东省潍坊市二模，题号15，分值3）在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（0，4），点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为.【答案】（2,4－2）（2022·甘肃省兰州市二模（1），题号4，分值4）=_________.【答案】1（2022·甘肃省兰州市二模（1），题号6，分值4）将三角板（不是等腰的）顶点放置在直线AB上的O点处，使AB∥CD，则∠2的余弦值是_____________.【答案】（2022·上海市浦东新区三模，题号17，分值4）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，AC⊥AB，那么=▲．65\n【答案】（2022·上海市闵行区三模，题号16，分值4）某飞机在1500米的上空测得地面控制点的俯角为60°，那么此时飞机与地面控制点的距离为▲米．（结果保留根号）【答案】（2022·上海市静安区三模，题号18，分值4）在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，△ABC绕着点C旋转后,点B落在AC边上的点B’，点A落在点A’，那么tan∠AA’B’的值为▲．【答案】（2022·湖北省荆州市三模，题号13，分值4）如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA＝60,测得BC＝7m，则桥长AB＝m（结果精确到1m=1.414=1.732）【答案】7≈12（2022·北京市四中三模，题号10，分值4）在△ABC中，若，则∠A＋∠B＝_____.【答案】75°（2022·河南省三模，题号8，分值3）图象经过点的正比例函数的表达式为____________．【答案】（2022·黑龙江省大庆市六十三中2022年3月考，题号16，分值3）某校初三（一）班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部处的仰角为60°，如图所示，则旗杆的高度为米．（已知结果精确到0.1米）65\n【答案】11.9（2022·广东省三模，题号10，分值4）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于___________．【答案】（2022·河南省二模，题号15，分值3）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别交于点D、E，则线段DE长度的最小值是__________．【答案】4.8（ED=CO+OP≥CH垂线段）（2022·宁夏省贺兰一中二模，题号18，分值3）等腰三角形的腰长为10cm，顶角为，此三角形面积为.【答案】25（2022·江苏省启东中学三模（2），题号13，分值3）直线y＝kx－4与y轴相交所成的锐角的正切值为，则k的值为________．【答案】±2（2022·江苏省启东中学三模（3），题号13，分值3）65\n如图所示，一根电线杆的接线柱部务AB在阳光下的投影CD的长为1.2m，太阳光线与地面的夹角∠ACD＝60°，则AB的长约为_______m．（精确到0.1m）【答案】2.1（2022·江苏省启东中学三模（3），题号16，分值3）如图所示，在梯形ABCD中，DC∥AB，DA＝CB．若AB＝10，DC＝4，tanA＝2，则这个梯形的面积是_______．【答案】16（2022·福建省福州市会考，题号14，分值4）如图，△ABC中，∠B＝45º，cos∠C＝，AC＝5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是________________．【答案】14a（2022·湖北省武汉市一模，题号13，分值3）计算：sin45°=;(-2m)2=;=【答案】,，3（2022·广东省模拟，题号8，分值3）图象经过点的正比例函数的表达式为____________．【答案】（2022·甘肃省兰州市一模，题号19，分值4）【答案】65\n（2022·河北省石家庄市模拟，题号17，分值3）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB,OC,⊙O的半径为10，sinA=,则弦BC的长为.【答案】16（2022·湖北省黄冈市启黄中学一模，题号6，分值3）如图，在RtDABC中，∠C＝90°，AB＝4BC，则tanB＝＿＿＿＿.【答案】（2022·湖北省天门市麻洋中学模拟（1），题号9，分值3）计算：=______.【答案】（2022·湖北省天门市麻洋中学模拟（3），题号9，分值3）（p－2022）0+（sin60°）－1－︱tan30°－︱+=__________.【答案】略.三、解答题（2022·浙江省杭州市一模，题号17（1），分值3）计算：；【答案】原式=（2分）=（3分）65\n（2022·浙江省杭州市一模，题号22，分值10）阅读材料并解答问题：与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，，与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积．（结果可用三角函数表示）如图①，当时，设切圆O于点，连结，，，，．在中，，，．(1)如图②，当时，仿照（1）中的方法和过程可求得：；（2）如图③，当时，仿照（1）中的方法和过程求；（3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出．【答案】解：（1）．2分（2）如图③，当时，设切于点，连结，65\n，，，，，，，．7分（3）．10分（2022·安次区一模，题号20，分值8）如图，的半径为2，直径经过弦的中点，∠ADC＝75°．（1）填空：＝____________；（2）求的长．【答案】（2022·北京市解密预测二模，题号17，分值6）计算：（2022－π）0－·tan30o+【答案】解：原式=1－2+2（4分）=1（2分）65\n（2022·北京市解密预测二模，题号20，分值8）图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图．已知BC=0.64米,AD=0.24米，α=180.(sin180≈0.31,cos180≈0.95,tan180≈0.32)（1）求AB的长（精确到0.01米）；（2）若测得EN=0.8米，试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度（结果保留π）【答案】解：（1）1.29米……（4分）（2）π米……（4分）（2022·北京市解密预测三模，题号17（1），分值6）计算：【答案】解：原式（2022·北京市解密预测三模，题号19，分值8）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为30°和．如果这时气球的高度为90米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离．【答案】解：由已知，得于点．在中，在中，65\n（米）．答：建筑物间的距离为米.（2022·北京市解密预测四模，题号15（1），分值6）计算：—+2cos30°—【答案】3-（2022·北京市解密预测四模，题号18，分值8）城市规划期间，欲拆除一电线杆（如图所示），已知距电线杆水平距离14米的处有一大坝，背水坡的坡度，坝高为2米，在坝顶处测得杆顶的仰角为．，之间是宽为2米的人行道．试问：在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点为圆心，以长为半径的圆形区域为危险区域）．（，）【答案】AB≈10.66m,BE=12m,BE>AB,无危险，不需封人行道。（2022·北京市解密预测五模，题号15（1），分值6）计算：【答案】解：．…………………………………………………(6分)（2022·北京市解密预测五模，题号16，分值6）如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于A．（1）求的值；（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点，求点的坐标；65\n（3）将平移得到，点A的对应点是，点的对应点的坐标为，在坐标系中作出，并写出点、的坐标．【答案】解：（1）点，轴于，，．（2分）（2）如图，由旋转可知：，点的坐标是．（4分）（3）如图所示，，．（6分）（2022·北京市解密预测五模，题号18，分值8）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：）65\n【答案】解：由图可知，1分作于（如图），在中，∴2分在中，∴4分∴6分∴（分钟）7分答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置8分（2022·淮北市“五校”第四次联考，题号15，分值8）计算：|1－|+（）－1－4sin60°【答案】原式=-1+3-2………………………6分(每化简一步得2分)=2-………………………………………………8分（2022·淮北市“五校”第四次联考，题号17，分值8）××××××××××××××××目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；（2）求大楼的高度CD（精确到1米）（tan390≈0.81，cos390≈0.78，sin390≈0.63）、65\n【答案】解：（1）由题意，AC＝AB＝610（米）；…………………………2分（2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，BE＝DEtan39°………………4分．因为CD＝AE，所以CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°……………6分≈116（米）答：大楼的高度CD约为116米．………8分（2022·2022年3月宁波七中九年级月考，题号19，分值6）计算：【答案】原式==（2022·2022年3月宁波七中九年级月考，题号21，分值8）施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米，斜面距离BC=4.25米，斜坡总长DE=85米．（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？【答案】(1)cos∠D=cos∠ABC==0.94…………3分∴∠D20°．……………1分（2）EF=DEsin∠D=85sin20°85×0.34=28.9(米)…………3分共需台阶28.9×100÷17=170级．…………1分（2022·2022年3月镇江市外国语学校九年级月考，题号17（1），分值5）（1）65\n【答案】（2022·2022年3月镇江市外国语学校九年级月考，题号25，分值8）如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，°。以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切，D为切点，AD//BC。（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写做法和证明，保留作图痕迹）（2）求证：（3）若AD=1，，求AE、BC的长。【答案】（1）（提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点等）.能见作图痕迹，作图基本准确即可,漏标O可不扣分.（2）证明:连结OD．∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠EAD=90°．∴∠E+∠EDA=90°，即∠E=90°－∠EDA．又圆O与EC相切于D点，∴OD⊥EC．∴∠EDA+∠ODA=90°，即∠ODA=90°－∠EDA．∴∠E=∠ODA（说明：任得出一个角相等都评1分）又OD=OA，∴∠DAC=∠ODA，∴∠DAC=∠E．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠E=∠ACB．（3）Rt△DEA中，tan∠E=，又tan∠E=tan∠DAC=，∵AD=1∴EA=．BC=265\n（2022·江苏省常州市二模，题号19，分值5）计算：【答案】原式=9－5+1+1（4分）=6（5分）（2022·江苏省常州市二模，题号28，分值8）某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据：，）【答案】65\n（2022·泰顺七中二模，题号17（1），分值5）计算：【答案】解：原式=……………（4分）=……………（1分）（2022·海南省二模，题号19（1），分值4）计算:【答案】解：原式＝1－1＋(－)×4＝－2（2022·浙江省杭州市上城区一模，题号17（1），分值3）计算：+【答案】原式=4–2–1+1……………2分=2……………1分（2022·浙江省杭州市上城区一模，题号22，分值10）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即.同理有：，，所以65\n即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.（1）如图，△ABC中，∠B=450，∠C=750，BC=60，则∠A=；AC=；（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里／时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.【答案】解：（1）∠A=600，AC=……………2分(2)如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）……………1分∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=1800∵∠DCB=300，∴∠CBE=1500∵∠ABE=750。∴∠ABC=750，∴∠A=450……………2分…在△ABC中……………2分解之得：AB=15………………2分答：货轮距灯塔的距离AB=15海里…………………1分（2022·重庆市一中2022年3月考，题号17，分值6）【答案】解：原式＝＝2－4－1+3－ ……………4分 ＝－……………6分（2022·重庆市一中2022年3月考，题号20，分值6）65\n如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长．(结果保留根号)FE【答案】解：过M作MN⊥AC交AC于点N,设MN=x．……………1分由题意∠EAM=300,∠EAC=600∴∠MAC=∠EAC－∠EAM=600－300=300∠MCA=1800－600－600=600∴在△AMC中，∠M=1800－∠MAC－∠ACM=900……………2分在Rt△AMN中，tan∠MAN=tan300=AN=……………3分在Rt△MCN中，tan∠MCN=tan600=CN=……………4分∴AC=AN+NC……………5分∴AN的长为1500……………6分65\n（2022·山东省曲阜市实验中学一模，题号23，分值5）计算：【答案】解：原式==4．（2022·山东省曲阜市实验中学一模，题号28，分值8）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度，斜坡的长是50米，在山坡的坡底处测得铁架顶端的仰角为，在山坡的坡顶处测得铁架顶端的仰角为．（1）求小山的高度；（2）求铁架的高度．（，精确到0.1米）【答案】解：（1）如图，过作垂直于坡底的水平线于点．由已知，斜坡的坡比，于是坡角于是在中，65\n即小山的高为25米（2）设铁架的高． 在中，已知∠，于是 在中，已知， 又 由，得 ，即铁架高约米.（2022·江苏省盐城市射阳二模，题号19（1），分值4）【答案】原式＝4－1＋6×－3………………………………………………………………2′＝3……………………………………………………………………………………4′（2022·江苏省盐城市射阳二模，题号25，分值10）如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为15°，且OA＝OB＝3m．（1）求此时另一端A离地面的距离(精确到0.1m)；（2）跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线(不写画法，保留画图痕迹)并求出点A运动的路线长．(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)【答案】（1）A点离地面的距离约为1.6m…4′（2）画图略…7′点A运动的路线长为．…10′（2022·河北省一模，题号22，分值9）65\n在一次数学活动课上，老师带领学生测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：）【答案】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x米，在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BD=CD=x米．在Rt△ACD中，∠DAC=31°，AD=AB+BD=（20+x）米，CD=x米，∵，∴∴x＝30．答：这条河的宽度为30米．（2022·桂林市二模，题号19，分值6）计算：【答案】解：原式=……………3分=……………6分（2022·福建省三明市大田二中二模，题号17（1），分值4）计算：．【答案】解：原式＝2－＋1－（－3）＋3×＝6（2022·东宅中学一模，题号17，分值8）计算：【答案】解：原式＝－8＋1－1＋4＝－4（2022·河南省郑州一模，题号20，分值9）65\n【答案】解：在中，……2分，………………………………4分四边形为平行四边形．．………………………………5分在中，，，，，…………………………6分，………………………………7分增加的路程=（米）．答：王强同学上学的路程因改道增加了280米.………………………………9分（2022·黑龙江省齐齐哈尔市一模，题号23，分值6）综合实践活动课上，老师让同学们在一张足够大的纸板上裁出符合如下要求的梯形，即“梯形ABCD，AD∥BC，AD＝2分米，AB＝分米，CD＝2分米，梯形的高是2分米”．请你计算裁得的梯形ABCD中BC边的长度．【答案】如图AE和DF为梯形ABCD的高，EF＝AD＝2分米应分以下三种情况（1）如图1，利用勾股定理可求出BE＝1，CF＝2…………………………………1分∴BC＝BE＋EF＋FC＝5分米……………………………………1分（2）如图2，利用勾股定理可求出BE＝1，CF＝2…………………………………1分∴BC＝EF－BE＋FC＝3分米……………………………………1分（3）如图3，利用勾股定理可求出BE＝1，CF＝2，可得到C与E重合…………………………………1分∴BC＝1分米……………………………………1分（2022·山东省潍坊市二模，题号20，分值8）××××××××××××××××如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，60km为半径的圆形区域内.请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数据：，）65\n【答案】解：过P作PC⊥AB,交AB于C,则∠APC=300,∠CPB=450,设AC=xkm,则PC=BC=(200－x)km,由题意得，，…………4分解得，x=100()≈73.2＞60∴不会穿越保护区。（2022·甘肃省兰州市二模（1），题号16，分值8）如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=20米，斜坡坡面上的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（精确到1米）．【答案】20（2022·甘肃省兰州市二模（2），题号28，分值10）如图9，某校的教室A位于工地O的正西方，且OA＝200m，一辆拖拉机从O点出发，以每秒5m的速度沿北偏东53°方向OM行驶，设拖拉机周围130m均受其噪音污染，试问教室A是否在拖拉机的噪音污染范围之内？若不在，说明理由；若在，求教室A受拖拉机的噪音污染的时间是多少？（供选用数据：Sin53°＝0.80 Sin37°＝0.60 tan37°＝0.75）.【答案】解：过点A作AB⊥OM于B，…………….1分∴∠AOB=370，∵OA=200米，∴AB=200×sin370=200×0.6=120（米）…………3分∵120＜130，∴教室A会受到拖拉机的噪音污染..…………4分65\n以A为圆心、130米为半径画圆，交OM于点C、D两点，……………6分∵AB=120米，AC=AD=130米，∴BC=BD=50米，CD=100米，……………8分∴100÷5=20（秒）即教室A受到拖拉机的噪音污染.的时间是20秒.………9分答：教室A会受到拖拉机的噪音污染.，受到污染.的时间是20秒.…………10分（2022·甘肃省兰州市二模（4），题号21，分值6）根据“十一五”规划，元双(双柏—元谋)高速工路即将动工.工程需要测量某一条河的宽度.如图，一测量员在河岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得.求所测之处河AB的宽度.【答案】解：在Rt△BAC中，tan∠ACB＝，∴AB＝AC·tan∠ACB＝100·tan68°≈248（米）答：所测之处河的宽度AB约为248米（2022·上海市普陀区三模，题号21，分值10）如图6，矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．翻折矩形纸片，使点A与点C重合，折痕分别交AB、CD于点E、F，（1）在图6中，用尺规作折痕EF所在的直线（保留作图痕迹，不写作法），并求线段EF的长；（2）求∠EFC的正弦值．【答案】解：65\n(1)作图正确…………………………………………………………………（2分）∵矩形ABCD，∴，.∵在Rt△ABC中，AB=4，AD=2∴由勾股定理得：.……………………………………………（1分）设与相交与点，由翻折可得.……………………………………………（1分）．∵在Rt△ABC中,，在Rt△AOE中，.∴，……………………………（1分）∴.……………………………（1分）同理：.∴.……………………………………………………………（1分）(2)过点作垂足为点,……………………………………………（1分）……………………………………………………………………（1分）∴．…………………………………………（1分）（2022·上海市三模，题号23，分值12）如图5，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点A和点B，二次函数的图像经过A、B两点．（1）请求出一次函数与二次函数的解析式；（2）若点C在这个二次函数的图像上，且点C的横坐标为5，求tan∠CAB的值．65\n【答案】解：（1）由题意可得点B的坐标为（0，6）…………………………………………（1分）∴m=6……………………………………………………………………………………（2分）∴一次函数的解析式：…………………………………………………（3分）由题意可得点A的坐标为（8，0）……………………………………………………（4分）∴∴…………………………………………………………………………………（5分）∴二次函数的解析式为………………………………………（6分）（2）∵点C在这个二次函数的图像上，且点C的横坐标为5，∴∴点C的坐标为（5，6）……………………………………………………………（7分）作CH⊥AB，垂足为点H……………………………………………………………（8分）∵点B与点C的纵坐标相等∴BC∥x轴∴∠CBH=∠BAO………………………………………………………………………（9分）又∵∠CHB=∠BOA=90°∴△CHB∽△BOA，∵OB=6，OA=8∴AB=10∴……………………………………………………………………………（10分）∴CH=3，BH=4，AH=6………………………………………………………………（11分）∴…………………………………………………………………（12分）（2022·上海市闵行区三模，题号21，分值10）已知：如图，BC是⊙O的弦，点A在⊙O上，AB=65\nAC=10，．求：（1）弦BC的长；（2）∠OBC的正切的值．【答案】解：（1）联结AO，AO的延长线与弦BC相交于点D．在⊙O中，∵AB=AC，∴．…………………………（1分）又∵AD经过圆心O，∴AD⊥BC，BC=2BD．…………………（1分）在Rt△ABD中，AB=10，，∴．………………………………（2分）于是，由勾股定理得．∴BC=12．……………………………………………………………（1分）（2）设⊙O的半径OB=r．在⊙O中，由OA=OB=r，得OD=8–r．在Rt△OBD中，利用勾股定理，得，即得．………………………………………………（2分）解得．∴．………………………………………（1分）∴．…………………………………………………（1分）∴．………………………………………（1分）（2022·上海市杨浦区三模，题号21，分值10）在一次课外实践活动中，同学们要知道校园内两处的距离，但无法直接测得。已知校园内A、B、C三点形成的三角形如图所示，现测得m，m，，请计算两处之间的距离．【答案】解：过C作CH⊥AB于H，∵，∴∠CAH=60°，----------2分∵,∴AH=3，HC=，-------------------------------------------------2分，2分65\n在Rt△BCH中，∵，HC=，∴BH=---------------------------------2分∴AB=BH-AH=13-3=10-----------------------------------------------------------------------2分即两处之间的距离为10米。（2022·上海市杨浦区三模，题号24，分值12）已知抛物线①经过点A（-1,0）、B（4,5）、C（0,-3），其对称轴与直线BC交于点P。（1）求抛物线①的表达式及点P的坐标；（2）将抛物线①向右平移1个单位后再作上下平移，得到的抛物线②恰好过点P，求上下平移的方向和距离；（3）设抛物线②的顶点为D，与y轴的交点为E，试求∠EDP的正弦值。【答案】解：（1）据题意设抛物线的表达式为，-----------------------------1分则，解得，∴抛物线的表达式为----------2分∴对称轴为直线--------------------------------------------------------------------------------1分据题意设直线BC的解析式为，则，∴直线BC的解析式为，∴P（1，-1）--------------------------------------------1分65\n（2）设抛物线①向右平移1个单位后再向上平移m个单位得抛物线②，则抛物线②的表达式为------------------------------------------------1分∵抛物线②过点P，∴，∴----------------------------------1分∴再将它向上移动2个单位可得到抛物线②----------------------------------------------------1分（3）∵抛物线①向右移动1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线②，∴抛物线②的表达式是即，∴D（2,-2），E（0,2）---------------2分∵P(1,-1)，∴直线DP过点O，且与x轴夹角为45°，过点E作EH⊥DP于点H，∴∠EOH=45°∵E（0,2）,∴EH=，而ED=∴sin∠EDP=--------------------------2分（2022·上海市奉贤区三模，题号21，分值10）如图，△ABC中，，点E是AB的中点，过点E作DE⊥AB交BC于点D，联结AD，若AC=8，．（１）求：的长；（２）求：的长．【答案】解：(1) 在中， ∴ …………（1分） 设∴∴ …（2分） ∴ ………………………………………………………………（1分） (2)∵点是的中点，∴…………………………………………………（1分）∴…………………………………………………（1分）在中,∴…(1分)（解一）∴…（1分）（解二）∵65\n在中， ∴∽∴…（2分） ∴…（2分） ∴ ∴…（1分） （2022·湖北省荆州市三模，题号17，分值6）计算：||【答案】1（2022·北京市四中三模，题号13，分值5）计算：【答案】5（2022·北京市四中三模，题号，分值）如图，点P在的直径BA的延长线上，AB＝2PA，PC切于点C，连结BC．(1)求的正弦值；(2)若的半径r＝2cm，求BC的长度．【答案】解：(1)连结OC，因为PC切于点C，(或：在)(2)连结AC，由AB是直径（2022·北京市四中三模，题号，分值）如图，已知正方形ABCD中，E为BC上一点，将正方形折叠起来，使点A和点E重合，折痕为MN，若，．(1)求的面积．(2)求的值．65\n【答案】解：∵MN垂直平分AE∴AN＝NE，∠EAN＝∠AEN，∴tan∠EAN＝＝，设BE＝x，AB＝3x，∵正方形ABCD，∴＝5x∴x＝2，∴AB＝6，BE＝2.设AN＝NE＝y，∵NE2－NB2＝BE2，∴∴∴△ANE的面积＝，sin∠ENB＝.（2022·湖北省枝江市十校联考，题号19，分值7）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.【答案】解：过M点作MN⊥AC于N，此时MN最小，由题意可知∠MAC＝30°，∠MCA＝60°∴△AMC是直角三角形在Rt△AMC中，∠MAC＝30°AC＝2000，∴MC＝AC＝1000……………………………4分在Rt△MNC中，∠CMN＝30°，∴CN＝MC＝500……………………………………6分AN＝AC－CN=2000－500＝1500(米)…………………7分答：AN的长为1500米．65\n（2022·河北省石家庄市一模，题号20，分值8）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，E为BC中点，请按要求完成下列各题：（1）画AD∥BC（D为格点），连接CD；（2）通过计算说明△ABC是直角三角形；（3）在△ACB中，tan∠CAE=，在△ACD中，sin∠CAD=．【答案】（1）图略；（2）图略；（3）,.（2022·河南省三模，题号20，分值9）如图，的斜边=10，．⑴用尺规作图作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不要写作法、证明）；⑵求直线被截得的线段长．【答案】⑴略；⑵求出，，．截线长为．（2022·黑龙江省大庆市六十三中2022年3月考，题号19，分值4）计算：【答案】65\n（2022·2022年3月考，题号16（1），分值4）计算：【答案】解：原式=－9+1－4×+2=－8（2022·2022年3月考，题号20，分值10）如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸MN上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E、…，某人在河岸PQ的A处测得∠CAQ＝30°，再向前走110米到B处测得∠DBQ＝45°，求河流的宽度（结果精确到0.1米）.（参考值：；.）【答案】解：过点C作CG⊥PQ于G，过点D作DH⊥PQ于H.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分设河流的宽度为DH＝GG＝x米，在Rt△BDH中，∠DBQ＝45°，则∠BDQ＝∠DBQ=45°∴BH＝DH＝x米.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分∵GH＝CD＝50米，AB＝110米，∴BG＝x－50(米)，AG＝110＋x－50＝60＋x(米)，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分在Rt△ACG中,tan∠CAQ＝∴tan30°=，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分∴x＝30（＋1）≈81.96＝82.0（米）答：河流的宽度为82.0米.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分（2022·福建省福州市会考，题号16（1），分值7）计算：+【答案】原式=4–2–1+1……………6分=2……………1分（2022·福建省福州市会考，题号19，分值11）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于E．（1）求证：；（2）若tanC=，DE=2，求AD的长．65\n【答案】(1)连接BD，∵AB为直径，∠ABC=90°，∴BE切⊙O于点B，因为DE切⊙O于点D，所以DE=BE，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE=∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴.(2)因为DE=2，，所以BC=4，在Rt△ABC中，tanC=，所以AB=BC·=2，在Rt△ABC中，AC===6，又因为△ABD∽△ACB，所以，即，所以AD=.（2022·广东省三模，题号11，分值6）计算:【答案】解：原式=2+1－2×+－1－－－－－－－－3分=2+1－+－1=2－－－－－－－－6分（2022·广东省三模，题号14，分值6）阅读材料，解答问题． 阅读材料：如图①，一扇窗户打开后用窗钩可将其固定．（1）这里所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短（2）如图②是图①中窗子开到一定位置时的平面图，若，,=60cm，求点到边的距离．（结果保留根号）65\n【答案】（1）A－－－－－－－－－2分(2)解；过点B作BC⊥OA于点C，设BC=x,∵∠BOA=45°,∠BA0=30°,∴OC=x,AC=x,则X+x=60，X=30－30∴点到边的距离为（30－30）cm.－－－－－6分（2022·浙江省杭州市三模（1），题号21，分值8）2022年3月10日，云南盈江县发生里氏5．8级地震。萧山金利浦地震救援队接到上级命令后立即赶赴震区进行救援。救援队利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度。（结果精确到0.1米，参考数据：）【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D.--------------1分∵探测线与地面的夹角为30°和60°65\n∴∠CAD=30°，∠CBD=60°------------1分在Rt△BDC中，∴------------------1分在Rt△ADC中，∴---------------1分∵∴--------------2分∴-----------------1分答：生命所在点C的深度大约为2.6米。-----------------1分（2022·浙江省杭州市三模（2），题号19，分值6）如图，CD切⊙O于点D，连结OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin∠COD=.求：（1）弦AB的长；（2）CD的长；【答案】……2′(1)……1′(2)∵CD切⊙O于D，∴∴,不妨设，则……2′∴……1′∴（2022·浙江省杭州市三模（3），题号17（1），分值3）65\n计算：+【答案】原式=4–2–1+1……………2分=2……………1分（2022·浙江省杭州市三模（3），题号22，分值10）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即.同理有：，，所以即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.（1）如图，△ABC中，∠B=450，∠C=750，BC=60，则∠A=；AC=；（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里／时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.【答案】解：（1）∠A=600，AC=……………2分(2)如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）……………1分∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=1800∵∠DCB=300，∴∠CBE=1500∵∠ABE=750。∴∠ABC=750，∴∠A=450……………2分…在△ABC中……………2分解之得：AB=15………………2分答：货轮距灯塔的距离AB=15海里…………………1分65\n（2022·河南省二模，题号20，分值9）如图，气象部门预报：在海面上生成了一股较强台风，在距台风中心60千米的圆形区域内将会受严重破坏．台风中心正从海岸M点登陆，并以72千米/时的速度沿北偏西60°的方向移动．已知M点位于A城的南偏东15°方向，距A城千米；M点位于B城的正东方向，距B城千米．假设台风在移动过程中，其风力和方向保持不变，请回答下列问题：⑴A城和B城是否会受到此次台风的侵袭？并说明理由；⑵若受到此次台风侵袭，该城受到台风侵袭的持续时间有多少小时？【答案】⑴A到MN的距离为61>60，不受台风影响；B到MN的距离为<60，受台风影响；⑵以B为圆心，以60为半径的圆截MN得线段长为60，受到台风影响时间为60/72=5/6小时．（2022·河南省一模，题号20，分值9）如图，在一条东西公路l的两侧分别有村庄A和B，村庄A到公路的距离为3km，村庄A位于村庄B北偏东60°的方向，且与村庄B相距10km．现有一辆长途客车从位于村庄A南偏西76°方向的C处，正沿公路l由西向东以40km/h的速度行驶，此时，小明正以25km/h的速度由B村出发，向正北方向赶往公路l的D处搭乘这趟客车．⑴求村庄B到公路l的距离；⑵小明能否搭乘上这趟长途客车？（参考数据，，，）【答案】解：⑴BD=10÷2−3）=2（km）；⑵能．CD=3tan76°−5≈3.38．t客车（h），t小明（h），t客车>t小明．65\n（2022·宁夏省贺兰一中二模，题号21，分值6）计算：【答案】解：原式＝（2022·宁夏省贺兰一中二模，题号22，分值6）在中，∠C=90°，且，AB=3，求BC，AC及.【答案】（2022·宁夏省贺兰一中二模，题号23，分值6）如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面（图中i=l:是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），∠B=600，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积.(结果保留三个有效数字)【答案】30（2022·江苏省启东中学三模（1），题号19，分值6）××××××××××××××××计算：计算：【答案】（2022·江苏省启东中学三模（1），题号24，分值10）如图13所示，一艘轮船以20nmile/h的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2h后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向，当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）65\n【答案】20（2022·江苏省启东中学三模（2），题号19，分值6）计算：【答案】（2022·江苏省启东中学三模（3），题号19（1），分值6）计算：【答案】2（2022·江苏省启东中学三模（4），题号19，分值6）计算：【答案】3（2022·山东省荷泽市模拟，题号13（1），分值6）计算：－sin60°＋（－）0－【答案】解：原式＝（2022·福建省福州市会考，题号16（1），分值7）计算【答案】65\n（2022·福建省福州市会考，题号19，分值11）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．(l)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．【答案】（2022·江苏省昆山市模拟，题号19，分值5）计算：【答案】解：原式＝（2022·安徽省马鞍山市成功学校一模，题号18，分值8）一艘小船从码头出发，沿北偏东方向航行，航行一段时间到达小岛处后，又沿着北偏西方向航行了10海里到达处，这时从码头测得小船在码头北偏东的方向上，求此时小船与码头之间的距离（，，结果保留整数）65\n【答案】解：由题意知：，，……………………………………1分过点作，垂足为，则在Rt△BCD中，∵BC＝10，∴CD＝BC·cos45°＝，…………………………4分在Rt△ABD中，∵BD＝，∴AD＝，………………7分∴AC＝AD＋CD＝11.9＋7.0＝18.9≈19．答：小船到码头的距离约为19海里．…………………………8分（2022·北京101中一模，题号17，分值6）计算：【答案】解：原式=-3+1-=-2-2=（2022·湖北省武汉市一模，题号22，分值8）在平行四边形ABCD中，E为BC上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。（1）求证AE⊥DE。（2）过A、D、E三点作圆交AB于F，连DF交AE于G，若，求tan∠AGF的值。65\n【答案】（1）略（2）（2022·广东省模拟，题号20，分值9）如图，的斜边=10，．⑴用尺规作图作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不要写作法、证明）；⑵求直线被截得的线段长．【答案】⑴略；⑵求出，，．截线长为．（2022·江苏省苏州市模拟（1），题号19，分值5）计算：【答案】（2022·江苏省苏州市模拟（1），题号25，分值8）如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐，求广告屏幕上端与下端之间的距离．(≈1.732，结果精确到0.1m)65\n【答案】7.7m（2022·江苏省苏州市模拟（3），题号19，分值5）计算：【答案】（2022·江苏省苏州市模拟（3），题号24，分值6）如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i(即tanα)为1:1.2，坝高为5米，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡F，其坡度为1：1.4．已知堤坝总长度为4000米．(1)求完成该工程需要多少土方？(2)该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率．甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少平方？【答案】(1)30000(立方米)(2)甲1000立方米，乙500立方米（2022·江苏省苏州市模拟（4），题号19，分值5）计算：【答案】－6（2022·江苏省苏州市模拟（4），题号25，分值8）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度，已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°．求树的高度AB．(参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)【答案】8m（2022·江苏省苏州市模拟（5），题号19，分值5）计算：65\n【答案】－1（2022·江苏省苏州市模拟（6），题号26，分值8）在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距8km的C处．(1)求该轮船航行的速度（保留精确结果）；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．【答案】(1)12km/h(2)能理由略.（2022·甘肃省兰州市一模，题号21（1），分值4）计算：【答案】-（2022·甘肃省兰州市一模，题号23，分值8）【答案】（1）会；（2）6；（2022·江苏省盐城市初级中学一模，题号19（1），分值5）（1）计算：【答案】1（2022·江苏省盐城市初级中学一模，题号20，分值8）如图，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点65\n（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求sin∠G的值．【答案】（1）略（2）（2022·娄底市模拟，题号20，分值8）如图，在一个坡角为20º的斜坡上方有一棵树，高为AB，当太阳光线与水平线成52º角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为10m，求树高AB（精确到0.1m）（已知:sin20º≈0.342，cos20º≈0.940，tan20º≈0.364，sin52º≈0.788，cos52º≈0.616，tan52º≈1.280）【答案】8.6m（2022·广东省深圳市一模，题号16，分值6）【答案】（2022·广东省深圳市一模，题号18，分值8）某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动。距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由。（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？65\n【答案】（1）会。过点B作BD⊥AC于点D。因为∠BAC=30度，所以BD=0.5AB=160。∵160＜200∴会受到影响。（2）设台风中心在点E时受到影响，连接BE，则BE=200，DE=120，AD=160则时间为：（160—120）÷40=3.8小时（2022·珠海市香洲区模拟，题号11，分值6）计算：【答案】解：=……4分=…6分（2022·××省××市X模，题号18，分值7）有一水库大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，EF为水库的水面，点E在DC上，某课题小组在老师带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB的长为12米，迎水坡DE的长为2米，∠BAD=135°，∠ADC=120°，求水深.（精确到0.1米，）【答案】解：分别过作于于过作于则四边形为矩形．……1分65\n∴在中，∴……4分在中，……5分∴……6分答：水深约为6.7米．（其它解法可参照给分）……7分（2022·河北省石家庄市模拟，题号20，分值8）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，E为AC中点.（1）画AD∥BC(D为格点)，连接CD；(2)试说明△ABC是直角三角形；（3）在△ACD中，tan∠CAD=,四边形ABCD的面积是.【答案】解：（1）如图； ………………………………2分（2）∵小正方形边长为1，∴AB2=5，AC2=5，BC2=10；∴AB2+AC2=BC2；∴△ABC是直角三角形；…………………………………………6分（3）１，5．…………………………………………………………8分（2022·湖南省中考预测题（1），题号17，分值6）计算：【答案】65\n解：原式＝－1．．．．．．．．．．．．．．．4分＝－1＝－7．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2022·湖南省中考预测题（1），题号24，分值12）甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正北方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（１）港口A与小岛C之间的距离；（２）甲轮船后来的速度．【答案】解：（１）作BD⊥AC于点D由题意可知：AB＝30×1＝30，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°在Rt△ABD中∵AB＝30，∠BAC＝30°∴BD＝15，AD＝ABcos30°＝15在Rt△BCD中，∵BD＝15，∠BCD＝45°∴CD＝15，BC＝15∴AC＝AD＋CD＝15＋15即A、C间的距离为（15＋15）海里．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（２）∵AC＝15＋15轮船乙从A到C的时间为＝＋165\n由B到C的时间为＋1－1＝∵BC＝15∴轮船甲从B到C的速度为＝5（海里／小时）答：轮船甲从B到C的速度为5海里／小时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分（2022·湖南省长沙市模拟，题号23，分值8）如图，某堤坝的横截面是梯形AB—CD，背水坡AD的坡度i(即tana)为1:1.2，坝高为5m，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽lm，形成新的背水坡EF，其坡度为1:1.4，已知堤坝总长度为4000m．(1)完成该工程需要多少土方?(2)该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30％，乙队工作效率提高40％，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方?【答案】解(1)作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．∵CD∥AB，∴EH=DG=5m，∵，∴AG=6m，∵，∴FH=7m，∴FA=FH+GH－AG=7+1－6=2(m)．∴S梯形ADEF=(ED+AF)·EH=(1+2)×5=7.5(m2)，V=7.5×4000=30000(m3)．(2)设甲队原计划每天完成xm3土方，乙队原计划每天完成ym3土方．20(x+y)=30000根据题意，得65\n15[(1+30%)x+(1+40%)y=30000．x+y=1500化简，得1.3x+1.4y=2000．x=1000解之，得y=500答：甲队原计划每天完成1000m3土方，乙队原计划每天完成500m3土方．（2022·湖北省黄冈市模拟（A），题号23，分值9）云南年秋季以来遭遇百年一遇的全省性特大旱灾，部分坝塘干涸，小河、小溪断流，更为严重的情况是有的水库已经见底，全省库塘蓄水急剧减少，为确保城乡居民生活用水，有关部门需要对某水库的现存水量进行统计，以下是技术员在测量时的一些数据：水库大坝的横截面是梯形（如图所示），，为水面，点在上，测得背水坡的长为米，倾角，迎水坡上线段的长为米，．（1）请你帮技术员算出水的深度（精确到米，参考数据）；（2）就水的深度而言，平均每天水位下降必须控制在多少米以内，才能保证现有水量至少能使用天？（精确到米）【答案】(1)（2）（2022·湖北省黄冈市启黄中学一模，题号23，分值8）65\n【答案】（2022·湖北省黄冈市黄州中学一模，题号21，分值7）小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30°,亭B在点M的北偏东60°,当小明由点M沿小道向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A、B之间的距离．65\n【答案】连结AN、BQ∵点A在点N的正北方向，点B在点Q的正北方向∴在Rt△AMN中：tan∠AMN=∴AN=在Rt△BMQ中：tan∠BMQ=∴BQ=过B作BEAN于点E则：BE=NQ=30∴AE=AN－BQ在Rt△ABE中,由勾股定理得：∴AB=60（米）答：湖中两个小亭A、B之间的距离为60米。（2022·湖北省天门市麻洋中学模拟（1），题号20，分值7）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.(参考数据：)65\n【答案】解：∵OD⊥AD∴∠AOD+∠OAC+∠CAD=90°∵∠OAC=32°，∠AOD=40°∴∠CAD=18°∴i==tan18°=1：3在Rt△OAB中，=tan32°∴OB=AB·tan32°=2×=1.24∴BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04(m)（2022·湖北省天门市麻洋中学模拟（2），题号19，分值6）如图，张明站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，他测得小船C的俯角是∠FDC=30°,若张明的眼睛与地面的距离是1.8米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4:3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）.【答案】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．在Rt△ABE中，∴BE=8，AE=6，∵DG=1.5，BG=1，∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，AH=AE+EH=6+1=7，65\n在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°=，∴CH=9.5，又∵CH=CA+7，即9.5=CA+7．∴CA=9.15≈9.2米．答：CA的长约是9.2米．（2022·湖北省天门市麻洋中学模拟（3），题号19，分值）南平是海峡西岸经济区的绿色腹地.如图所示，我市的A、B两地相距20km，B在A的北偏东45°方向上，一森林保护中心P在A的北偏东30°和B的正西方向上.现计划修建的一条高速铁路将经过AB（线段），已知森林保护区的范围在以点P为圆心，半径为4km的圆形区域内.请问这条高速铁路会不会穿越保护区，为什么？【答案】解：延长BP作BC⊥AC于C，过P作PM⊥AB于M．因为B在A的北偏东45°方向上，所以A在B的南偏西45°方向．在Rt△PBC中，∵∠CBA=∠CAB=45°，∴AC=BC=10．在直角△PCA中，∠PAC=30°，则PC=，∴PB=10-，在直角△PMB中，65\nPM=（10-）×=10-≈4.226．∵4.226＞4，∴这条高速铁路不会穿越保护区．65
