题型二 方程与不等式“方程与不等式”包括方程与方程组、不等式与不等式组两个方面的内容．“方程与不等式”均存在标准形式，其解法有程序式化的特点，是一种重要的数学基本技能．此外，“方程与不等式”也是刻画现实世界的一个有效的数学模型，在现实生活中存在大量的“方程与不等式”问题．“方程与不等式”是初中数学的核心内容之一．就解法与自身的应用来说，“方程与不等式”是初中数学最重要的基础知识之一，同时也是学习函数等知识的基础；就所蕴含的“方程思想和转化思想”而言，它更是培养考生分析问题和解决问题思想方面的重要源泉和场所．通过归纳主要有以下几种类型：(1)方程、不等式与函数综合型，一般是求待定字母的值，求待定字母的取值范围．在解这类问题时，需要我们借助图形来给出解答．要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到“有数思形”“有形思数”顺利解决问题．(2)与几何知识结合型，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程(组)与不等式(组)的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的几何性质、定理或公式，建立未知数和已知数间的等量关系或不等关系，列出方程(组)与不等式(组)来解决，这对解决和计算有关几何的数学问题，特别是几何综合题，是非常重要的．(3)对用方程(组)与不等式(组)解决实际问题型，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分析问题中的等量关系和不等关系，建立方程(组)模型和不等式(组)模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决．考查考生构建数学模型的能力．题目常是考查解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨．【例1】关于x的方程x2－x＋1－m＝0的两个实数根x1，x2，满足|x1|＋|x2|≤5，则m的取值范围是________．【解析】首先由一元二次方程x2－x＋1－m＝0有两个实根，得到其判别式是非负数，然后利用根与系数关系和|x1|＋|x2|≤5得到关于m的不等式，联立判别式即可求出实数m的取值范围．【答案】1<m≤7或≤m≤1【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，同时也利用分类讨论的思想和绝对值的定义，有一定的综合性，要求考生熟练掌握相关知识才能很好解决这类问题．【例2】已知关于x的一元二次方程x2－ax＋(m－1)(m＋2)＝0，对于任意实数a都有实数根，则实数m的取值范围是________．【解析】一元二次方程有实数根，根的判别式Δ＝b2－4ac≥0，b2是非负数，如果－4ac为非负数，无论b取什么数，方程一定有实数根，由此探讨得出答案即可．【答案】－2≤m≤1【点评】此题主要考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程没有实根．【例3】如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m，n)共有( B ) 4\nA．49对 B．42对C．36对 D．13对【解析】先用不等式组中待定字母表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解确定待定字母m，n即可．【答案】B【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，不等式组的解集与解的概念．由不等式组的整数解确定待定字母的取值范围是解答本题的关键．【针对练习】1．(2022宜宾创新)设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是( A )A．3 B．－3或－1C．－1 D．－3或12．(2022宜宾创新)已知方程组的解为且|k|＜3，那么a－b的取值范围是( A )A．－1＜a－b＜5B．－3＜a－b＜3C．－3＜a－b＜5D．－1＜a－b＜33．若关于x的方程＝有绝对值相同，符号相反的两个根，则m的值应为( D )A．c B. C. D.4．设一元二次方程x2－3x＋2－m＝0(m>0)的两实根分别为x1，x2，且x1<x2，则x1，x2应满足( D )A．1<x1<x2<2 B．1<x1<2<x2C．x1<1<x2<2 D．x1<1且x2>25．方程组3|x|＋2x＋4|y|－3y＝4|x|－3x＋2|y|＋y＝7( C )A．没有解 B．有1组解C．有2组解 D．有4组解6．已知三个关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，bx2＋cx＋a＝0，cx2＋ax＋b＝0恰有一个公共实数根，求＋＋的值为( D )A．0 B．1 C．2 D．37．如果方程(x－1)(x2－2x＋m)＝0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m的取值范围是( B )A．0≤m≤1 B.<m≤1C.≤m≤1 D．m≤8．(2022宜宾创新)二果问价源于我国古代《四元玉鉴》：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”则甜果、苦果的个数分别是( C )A．648，352 B．650，350C．657，343 D．666，3344\n9．α，β是关于x的方程x2＋kx－1＝0的两个实根，若(|α|－β)(|β|－α)≥1，则实数k的取值范围是( A )A．k≥ B．k≤C．k≥或k≤－D．k≥10．(2022宜宾创新)若实数a，b满足方程组则a2b＋ab2＝__8__．11．已知x＝2是不等式(x－5)(ax－3a＋2)≤0的解，且x＝1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是__1<a≤2__．12．已知a为整数，关于a的方程－＋2－a＝0有实数根，则a的值可能是__0或1或2__．13．关于x的不等式(2a－b)x>a－2b的解集是x<，求关于x的不等式ax＋b<0的解集为__x<－8__．14．已知关于x的方程(m2－1)x2－3(3m－1)x＋18＝0有两个正整数根(m是整数)．△ABC的三边a，b，c满足c＝2，m2＋a2m－8a＝0，m2＋b2m－8b＝0.求：(1)m的值；(2)△ABC的面积．解：(1)方程有两个实数根，则m2－1≠0，解方程得x1＝，x2＝.由题意，得即∴m＝2；(2)把m＝2代入两等式，化简得a2－4a＋2＝0，b2－4b＋2＝0，当a＝b时，a＝b＝2±.当a≠b时，a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，而Δ>0，由韦达定理，得a＋b＝4>0，ab＝2>0，则a>0，b>0.①a≠b，c＝2时，由于a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－4＝12＝c2故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝ab＝1.②a＝b＝2－，c＝2时，∵2(2－)<2，∴不能构成三角形，不合题意，舍去．4\n③a＝b＝2＋，c＝2时，∵2(2＋)>2，∴能构成三角形．∴S△ABC＝×2×＝.综上所述，△ABC的面积为1或.教后反思：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4
