课时训练(二十五) 矩形、菱形|夯实基础|1.如图25-11,矩形ABCD中对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,连接OE.若OE=3,AD=8,则对角线AC的长为( )图25-11A.5B.6C.8D.102.[2022·兰州]如图25-12,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC的长是( )图25-12A.5B.4C.3.5D.33.[2022·包头样题三]如图25-13,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是( )图25-13A.4B.6C.8D.124.如图25-14,已知某菱形花坛ABCD的周长是24m,∠BAD=120°,则花坛对角线AC的长是( )20\n图25-14A.63mB.6mC.33mD.3m5.如图25-15,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AB,BC边的中点,连接EF.若EF=3,BD=4,则菱形ABCD的周长为( )图25-15A.4B.46C.47D.286.[2022·临沂]如图25-16,在△ABC中,D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是( )图25-16A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形7.[2022·绵阳]如图25-17,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=23,∠AEO=120°,则FC的长度为( )20\n图25-17A.1B.2C.2D.38.[2022·包头样题]如图25-18,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )图25-18A.4B.125C.245D.59.[2022·衢州]如图25-19,将矩形ABCD沿GH折叠,点C落在点Q处,点D落在AB边上的点E处.若∠AGE=32°,则∠GHC等于( )图25-19A.112°B.110°C.108°D.106°10.[2022·包头一模]如图25-20,在一张长为63cm,宽为6cm的矩形纸片中,有甲、乙两种折叠方案,均折叠出菱形ABCD,则这两种方案中,折叠出的菱形面积较大的是( )20\n图25-20A.方案甲B.方案乙C.两个方案一样D.无法比较11.[2022·淮安]如图25-21,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处.若∠EAC=∠ECA,则AC的长是( )图25-21A.33B.6C.4D.512.[2022·乌鲁木齐]如图25-22,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点D恰好落在BC边上的点G处.若矩形ABCD的面积为43且∠AFG=60°,GE=2BG,则折痕EF的长为( )图25-22A.1B.3C.2D.2313.[2022·内江]如图25-23,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA,OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(0,33),∠ABO=30°,将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为( )图25-2320\nA.(32,323)B.(2,323)C.(323,32)D.(32,3-323)14.[2022·葫芦岛]如图25-24,在菱形ABCO中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,3),则点C的坐标为 . 图25-2415.如图25-25,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,若EF=2,则菱形ABCD的周长是 . 图25-2516.如图25-26,已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6,那么菱形ABCD的面积为 . 图25-2617.[2022·昆区二模]如图25-27,菱形ABCD的边长为8cm,∠A=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则四边形BEDF的面积为 cm2. 图25-2720\n18.[2022·包头]如图25-28,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE= °. 图25-2819.[2022·包头样题三]如图25-29,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上一动点,则△PBE周长的最小值为 . 图25-2920.[2022·连云港]如图25-30,在矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD之间的数量关系,并说明理由.图25-3020\n21.[2022·青岛]已知:如图25-31,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.(1)求证:AB=AF;(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.图25-3120\n22.[2022·内江]如图25-32,已知四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求证:(1)△AED≌△CFD;(2)四边形ABCD是菱形.图25-3220\n23.如图25-33,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE∥BA交AC于点E,DF∥CA交AB于点F,已知CD=3.(1)求AD的长;(2)求四边形AEDF的周长.(计算过程和结果均保留根号)图25-3324.如图25-34,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=53,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,20\n另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.(1)求证:AE=DF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.图25-34|拓展提升|25.[2022·包头样题三]如图25-35,在矩形ABCD中,F是DC上一点,AE平分∠BAF交BC于点E,且DE⊥AF,垂足为M,BE=3,AE=26,则MF的长是( )图25-3520\nA.1515B.1510C.1D.1526.[2022·包头样题二]如图25-36,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接CF,则CF的长为 . 图25-3627.如图25-37,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为F,连接DF.下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=2.其中正确的有( )图25-37A.4个B.3个C.2个D.1个28.如图25-38,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=BCCD;②BM⊥DM;③BM=DM;④S△ABC+S△CDE≥S△ACE.正确结论的个数是( )图25-38A.1B.2C.3D.429.[2022·包头]如图25-39,在边长为3+1的菱形ABCD中,∠A=60°,点E,F分别在AB,AD上,沿EF折叠菱形,使点A落在BC边上的点G处,且EG⊥BD于点M,则EG的长为 . 20\n图25-3930.[2022·青山区一模]如图25-40,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,交BD于点F,下列结论:①BF为∠ABE的平分线;②DF=2BF;③2AB2=DF·DB;④sin∠BAE=EFAF,其中正确的结论为 .(填序号) 图25-4031.[2022·昆区一模]如图25-41,在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF,连接BF,DE交于点M,延长ED到点H,使DH=BM,连接AM,AH,则以下四个结论:①△BDF≌△DCE;②∠BMD=120°;③△AMH是等边三角形;④S四边形ABMD=34AM2.其中正确结论的是 .(填序号) 图25-4120\n参考答案1.D2.B [解析]由四边形ABCD为矩形,可知AC=BD,OC=12AC.已知∠ADB=30°,故在Rt△ABD中,BD=2AB=8,所以AC=BD=8,所以OC=12AC=4,故选B.3.C 4.B 5.C6.D [解析]根据DE∥AC,DF∥AB,可证明四边形AEDF是平行四边形,再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断.若AD⊥BC,无法判定四边形AEDF是矩形,所以A错误;若AD垂直平分BC,可以判定四边形AEDF是菱形,所以B错误;若BD=CD,无法判定四边形AEDF是菱形,所以C错误;若AD平分∠BAC,则∠EAD=∠FAD=∠ADF,所以AF=DF.又因为四边形AEDF是平行四边形,所以四边形AEDF是菱形,故D正确.7.A 8.C 9.D 10.B11.B [解析]因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=90°,于是∠BAC+∠BCA=90°,即∠BAE+∠EAC+∠ECA=90°.由折叠的性质得∠BAE=∠EAC.又因为∠EAC=∠ECA,所以3∠ECA=90°,∠ECA=30°.在Rt△ABC中,AC=2AB=2×3=6.12.C [解析]过点G作GM⊥AD,垂足为M.∵GE=2BG,∴设BG=x,则GE=2x.∵∠AFG=60°,AD∥BC,∴∠FGE=∠AFG=60°.∵四边形FDCE折叠得到四边形FGHE,∴∠GFE=12∠DFG=180°-∠AFG2=60°,DF=FG,∴△FGE是等边三角形,20\n∴EF=EG=FG=2x,DF=FG=2x.在Rt△FMG中,GM=GF·sin∠AFG=3x,FM=GF·cos∠AFG=x.易证四边形ABGM是矩形,∴AM=BG=x,AB=GM=3x,∴AD=AM+FM+DF=4x.∵矩形ABCD的面积为43,∴AD·AB=4x·3x=43,解得x=1,∴EF=2x=2,故选C.13.A [解析]∵四边形AOBC是矩形,∠ABO=30°,点B的坐标为(0,33),∴AC=OB=33,∠CAB=30°,∴BC=AC·tan30°=33×33=3.∵将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,∴∠BAD=30°,AD=33.如图,过点D作DM⊥x轴于点M.∵∠CAB=∠BAD=30°,∠CAO=90°,∴∠DAM=30°,∴DM=12AD=12×33=332,AM=AD·cos30°=33×32=92,∴OM=AM-AO=92-3=32,∴点D的坐标为32,323.20\n14.(2,-3)15.16 16.24 17.16318.22.5 19.3+120.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE.∵E是AD的中点,∴AE=DE.又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴FA=CD.又∵CD∥FA,∴四边形ACDF是平行四边形.(2)BC=2CD.理由:∵CF平分∠BCD,∠BCD=90°,∴∠DCE=45°.∵∠CDE=90°,∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE.∵E是AD的中点,∴AD=2DE=2CD.又∵AD=BC,∴BC=2CD.21.解:(1)证明:∵在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∴∠FAD=∠CDG.∵G为AD的中点,∴AG=DG.又∵∠AGF=∠DGC,∴△AGF≌△DGC(ASA),∴AF=CD.20\n又∵AB=CD,∴AB=AF.(2)四边形ACDF为矩形.证明:∵∠BCD=120°,∴∠BAG=120°,∴∠FAG=60°.又∵AG=AB,AB=AF,∴AG=AF,∴△AGF为等边三角形,∴AG=FG.∵AF∥CD,AF=CD,∴四边形ACDF为平行四边形,∴AD=2AG,CF=2FG,∴AD=CF,∴四边形ACDF为矩形.22.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.在△AED和△CFD中,∠A=∠C,AE=CF,∠AED=∠CFD,∴△AED≌△CFD(ASA).(2)由(1)得△AED≌△CFD,∴AD=CD.∵四边形ABCD是平行四边形,20\n∴四边形ABCD是菱形.23.[解析](1)利用角平分线的性质和直角三角形中30°角所对的直角边为斜边的一半求出AD的长;(2)先判定四边形AEDF为菱形,然后利用锐角三角函数求出DE的长,最后求周长.解:(1)在△ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°.∵AD是△ABC的角平分线,∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC=30°.在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,CD=3,∴CD=12AD,∴AD=6.(2)∵DE∥BA,DF∥CA,∴四边形AEDF为平行四边形,∠BAD=∠EDA.∵∠CAD=∠BAD,∴∠CAD=∠EDA,∴AE=DE,∴四边形AEDF为菱形.∵DE∥BA,∴∠CDE=∠B=30°.∵在Rt△CDE中,∠C=90°,∴cos∠CDE=CDDE,∴DE=3cos30°=23.∴四边形AEDF的周长为4DE=4×23=83.24.解:(1)证明:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,∴DF=t.20\n又∵AE=t,∴AE=DF.(2)能.∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.又∵AE=DF,∴四边形AEFD是平行四边形.∵AB=BC·tan30°=53×33=5,∴AC=2AB=10,∴AD=AC-DC=10-2t.若使▱AEFD为菱形,则需AE=AD,即t=10-2t,解得t=103,∴当t=103时,四边形AEFD为菱形.(3)当t=52或4时,△DEF为直角三角形.理由:①当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形.在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°,∴AD=2AE,即10-2t=2t,解得t=52;②当∠DEF=90°时,由(2)知EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF=90°.∵∠A=90°-∠C=60°,∴AD=AE·cos60°,即10-2t=12t,解得t=4;③当∠EFD=90°时,此种情况不存在.综上所述,当t=52或4时,△DEF为直角三角形.20\n25.A 26.18527.B28.D29.330.①③④31.①②③④ [解析]在菱形ABCD中,∵AB=BD,∴AB=BD=AD,∴△ABD是等边三角形,∴根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°.∵BE=CF,BC=CD,∴EC=DF.在△BDF和△DCE中,BD=DC,∠BDF=∠C,DF=CE,∴△BDF≌△DCE,故①正确;∴∠DBF=∠CDE.∵∠DMF=∠DBF+∠BDM=∠CDE+∠BDM=∠BDC=60°,∴∠BMD=180°-∠DMF=180°-60°=120°,故②正确;∵∠DEB=∠CDE+∠C=∠CDE+60°,∠ABM=∠ABD+∠DBF=60°+∠DBF,∠CDE=∠DBF,∴∠DEB=∠ABM.又∵AD∥BC,∴∠ADH=∠DEB,∴∠ADH=∠ABM.在△ABM和△ADH中,AB=AD,∠ABM=∠ADH,BM=DH,∴△ABM≌△ADH,∴AM=AH,∠BAM=∠DAH,∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°,20\n∴△AMH是等边三角形,故③正确;∵△ABM≌△ADH,∴S△AMH=S四边形ABMD.又∵S△AMH=12AM·32AM=34AM2,∴S四边形ABMD=34AM2,故④正确.20
