课时训练(二十四) 平行四边形|夯实基础|1.如图24-7,在▱ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135°,则∠MCD的度数是( )图24-7A.45°B.55°C.65°D.75°2.如图24-8,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( )图24-8A.13B.17C.20D.263.[2022·泸州]如图24-9,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,且AE+EO=4,则▱ABCD的周长为( )图24-9A.20B.16C.12D.84.[2022·株洲]如图24-10,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,E是BC的中点,以下说法错误的是( )16\n图24-10A.OE=12DCB.OA=OCC.∠BOE=∠OBAD.∠OBE=∠OCE5.A,B,C是同一平面内不在同一条直线上的三个点,D是该平面上的一点,若A,B,C,D恰为一平行四边形的四个顶点,则可选择的点D有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC,②AD=BC,③OA=OC,④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )A.3种B.4种C.5种D.6种7.[2022·青山区二模]如图24-11,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2等于( )图24-11A.12B.6C.8D.48.[2022·包头样题]如图24-12,在▱ABCD中,AC与BD交于点O,E为AB上一点,且AE=2EB,连接CE交BD于点F,则S△BEF与S△COF的比值为( )16\n图24-12A.1∶3B.1∶2C.2∶3D.3∶49.[2022·连云港]如图24-13,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若∠EAF=56°,则∠B= °. 图24-1310.[2022·十堰]如图24-14,在▱ABCD中,AB=213cm,AD=4cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长 cm. 图24-1411.[2022·淄博]在如图24-15所示的▱ABCD中,AB=2,AD=3,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则△ADE的周长等于 . 图24-1512.[2022·衡阳]如图24-16,▱ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果△CDM的周长为8,那么▱ABCD的周长是 . 图24-1616\n13.[2022·临沂]如图24-17,在▱ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,则BD= . 图24-1714.如图24-18,在▱ABCD中,连接BD,AD⊥BD,AD=4,sinA=34,则▱ABCD的面积是 . 图24-1815.如图24-19,在▱ABCD中,E为AD的中点,BE,CD的延长线相交于点F.若△DEF的面积为1,则▱ABCD的面积等于 . 图24-1916.[2022·东河区一模]如图24-20,在▱ABCD中,点E在AB上,CE,BD相交于点F.若AE∶BE=4∶3且BF=3,则BD= . 图24-2017.▱ABCD的周长为64cm,两组对边的距离分别为3cm和5cm,则这个平行四边形的面积为 cm2. 18.如图24-21,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∠EAF=45°,若AE+AF=22,则▱ABCD的周长为 . 16\n图24-2119.[2022·包头]如图24-22,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S△AEF=1,则S△ADF的值为 . 图24-2220.[2022·包头样题]如图24-23,在▱ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是 .(填写所有正确结论的序号) ①∠DCF=12∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.图24-2321.如图24-24,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证:AB=FC;(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.图24-2416\n22.[2022·毕节]如图24-25,在▱ABCD中,过点A作AE⊥DC,垂足为E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE=∠D.(1)求证:△ABF∽△BEC;(2)若AD=5,AB=8,sinD=45,求AF的长.图24-2516\n|拓展提升|23.[2022·绥化]如图24-26,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F,已知S△AEF=4,则下列结论:①AFFD=12,②S△BCE=36,③S△ABE=12,④△AEF∽△ACD,其中一定正确的是( )图24-26A.①②③④B.①④C.②③④D.①②③24.如图24-27,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC=60°,AB=12BC,连接OE.下列结论:①∠CAD=30°;②S▱ABCD=AB·AC;③OB=AB;④OE=14BC.其中成立的有( )图24-27A.1个 B.2个C.3个D.4个25.[2022·青山区二模]如图24-28,在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,AG与BH交于点O,连接BE,下列结论中错误的是( )16\n图24-28A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE26.[2022·通辽]如图24-29,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交AB于点E,∠BCD=60°,AD=12AB,连接OE.下列结论:①S▱ABCD=AD·BD;②DB平分∠CDE;③AO=DE;④S△ADE=5S△OFE.其中正确的有( )图24-29A.1个B.2个C.3个D.4个27.[2022·抚顺]如图24-30,在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D,∠FAC=12∠ABC,且∠FAC在AC下方.点P,Q分别是射线BD,AF上的动点,且点P不与点B重合,点Q不与点A重合.连接CQ,过点P作PE⊥CQ于点E,连接DE.(1)若∠ABC=60°,BP=AQ.①如图(a),当点P在线段BD上运动时,请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系;②如图(b),当点P运动到线段BD的延长线上时,试判断①中的结论是否成立,并说明理由.(2)若∠ABC=2α≠60°,请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时,能使(1)①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示).16\n图24-3016\n参考答案1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A9.56 [解析]根据四边形的内角和,由垂直的性质可求得∠C=360°-90°-90°-56°=124°,再根据平行四边形的性质可求得∠B=56°.10.411.10 [解析]由AD∥CB,AC平分∠DAE可得OA=OC.∵O为BC的中点,∴OB=OC=OA,∴∠B=∠BAO.∵∠B=∠D,∠D=∠E,∴∠BAO=∠E,∴EC∥AB,∴D,C,E在同一条直线上,从而可得AE=AD=3,ED=4,∴△ADE的周长为10.12.16 [解析]在▱ABCD中,AD=BC,AB=CD.∵O为AC的中点,OM⊥AC,∴MO为AC的垂直平分线,∴MC=MA,∴△CDM的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8,∴平行四边形ABCD的周长=2(AD+CD)=16.13.413 [解析]如图,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,则四边形ACED为矩形,∴DE=AC,CE=AD.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=6.∵AC⊥BC,∴AC=102-62=8=DE.∵BE=BC+CE=6+6=12,∴BD=122+82=413.14.4877 [解析]因为AD⊥BD,所以在Rt△ADB中,sinA=DBAB=34.设DB=3x,AB=4x.因为AB2=DB2+AD2,所以16x2=9x2+16,所以x=477,所以BD=1277,所以▱ABCD的面积=4×1277=4877.15.416.1017.6018.816\n19.52 [解析]由3AE=2EB,得AEEB=23.由EF∥BC易证得△AEF∽△ABC,所以S△AEFS△ABC=425.又因为S△AEF=1,所以S△ABC=254.因为AC是▱ABCD的对角线,所以S△ADC=254.又因为AFFC=AEEB=23,所以S△ADF=25S△ADC=25×254=52.20.①②④21.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DF(平行四边形的两组对边分别平行),∴∠BAE=∠F(两直线平行,内错角相等).∵E是BC的中点,∴BE=CE.在△AEB和△FEC中,∠BAE=∠F,∠AEB=∠FEC,BE=CE,∴△AEB≌△FEC(AAS),∴AB=FC(全等三角形的对应边相等).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD(平行四边形的对边相等).∵AB=FC,DF=CD+FC,∴DF=2FC,∴DF=2AB.∵AD=2AB,∴AD=DF.∵△AEB≌△FEC,∴AE=FE(全等三角形的对应边相等),∴DE⊥AF(等腰三角形三线合一).22.解:(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,16\n∴∠D+∠C=180°,∠ABF=∠BEC.∵∠AFE+∠AFB=180°,∠AFE=∠D,∴∠AFB=∠C,∴△ABF∽△BEC.(2)∵AE⊥DC,sinD=45,∴AE=AD·sinD=5×45=4,∴BE=AE2+AB2=42+82=45.∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC=AD=5.∵△ABF∽△BEC,∴AFBC=ABBE,即AF5=845,∴AF=25.23.D [解析]因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,△AEF∽△CEB,所以AFBC=AEEC=13,AD=BC,所以AF=12FD,故①正确;S△AEFS△BCE=(AFBC)2=19,所以S△BCE=36,故②正确;因为△ABE底边AE上的高与△BCE底边CE上的高相等,所以它们的面积之比等于底的比,所以有S△ABES△BCE=AECE=13,所以S△ABE=12,故③正确;由已知条件不能证明△AEF∽△ACD,故④不正确.故选D.24.C [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD=60°,∴△ABE是等边三角形,∴AE=AB=BE,∠AEB=60°.∵AB=12BC,∴BE=12BC,∴CE=BE=AE,∴∠ACB=30°,∴∠CAD=30°,故①正确.16\n由∠BAD=120°,∠CAD=30°,易得∠BAC=90°,∴S▱ABCD=AB·AC,故②正确.在Rt△OAB中,OB为斜边,AB为直角边,∴AB<OB,故③错误.∵CE=BE,CO=OA,∴OE=12AB,∴OE=14BC,故④正确.故选C.25.D26.B [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠BCD=60°,∠ADC=120°.∵DE平分∠ADC,∴∠CDE=∠ADE=60°=∠DAE,∴△ADE是等边三角形,∴AD=AE=DE,∠AED=60°.∵AD=12AB,∴AE=12AB,∴AE=BE=DE,∴∠BDE=∠ABD=30°,∴∠ADB=90°,∴S▱ABCD=AD·BD,故①正确;∵∠CDE=60°,∠BDE=30°,∴∠CDB=30°,∴DB平分∠CDE,故②正确;∵AO=12AC,DE=AE=12AB,AC>AB,∴AO>DE,故③错误;∵AE=BE,DO=BO,∴OE=12AD,且OE∥AD,∴S△ADF=4S△OFE.又∵S△AFE≠S△OFE,∴S△ADF+S△AFE≠5S△OFE,即S△ADE≠5S△OFE,16\n故④错误.综上所述,选B.27.解:(1)①DE∥AQ,DE=12AQ.理由如下:连接CP,PQ.∵AB=BC,BD⊥AC,∠FAC=12∠ABC,∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,AD=CD,∠CBP=∠ABD=∠CAQ=30°,∴AC=BC,∠BAC=∠ACB=60°.在△AQC和△BPC中,AQ=BP,∠CAQ=∠CBP,AC=BC,∴△AQC≌△BPC,∴CQ=CP,∠ACQ=∠BCP,∴∠PCQ=∠ACB=60°,∴△PQC为等边三角形.∵PE⊥CQ,∴E是CQ的中点.又∵D是AC的中点,∴DE∥AQ,DE=12AQ.②成立.理由如下:连接CP,PQ.∵AB=BC,BD⊥AC,∠FAC=12∠ABC,∠ABC=60°,16\n∴△ABC为等边三角形,AD=CD,∠CBP=∠ABD=∠CAQ=30°,∴AC=BC,∠BAC=∠ACB=60°.在△AQC和△BPC中,AQ=BP,∠CAQ=∠CBP,AC=BC,∴△AQC≌△BPC,∴CQ=CP,∠ACQ=∠BCP,∴∠PCQ=∠ACB=60°,∴△PQC为等边三角形.∵PE⊥CQ,∴E是CQ的中点.又∵D是AC的中点,∴DE是△ACQ的中位线,∴DE∥AQ,DE=12AQ.(2)∵∠ABC=2α≠60°,AB=BC,BD⊥AC,∠FAC=12∠ABC,∴∠ABD=∠CAQ=α,∠ABD+∠BAC=90°,即∠BAQ=∠BAC+∠CAQ=90°.∵DE∥AQ,DE=12AQ,∴E是CQ的中点,PE是线段CQ的垂直平分线.连接CP,PQ,AP.∵AB=BC,BD⊥AC,16\n∴BP是线段AC的垂直平分线,∴PC=PQ=PA,即△APQ为等腰三角形.过点P作PM⊥AQ交AQ于点M,则AM=12AQ,∠PMA=90°,∴AB∥PM.过点M作MN∥BP交AB于点N,则四边形NBPM是平行四边形,∴BP=MN,∠ANM=∠ABP=α.在Rt△ANM中,sin∠ANM=sinα=AMMN=12AQBP=AQ2BP,∴AQ=2BP·sinα.故当线段BP和线段AQ满足AQ=2BP·sinα时,能使(1)①的结论仍然成立.16
