第9讲一元二次方程考点1一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念只含有①个未知数，且未知数的最高次数是②的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是③，主要方法有：直接开平方法、④法、公式法、⑤法等.考点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为⑥.判别式与根的关系(1)b2-4ac＞0一元二次方程⑦的实数根；(2)b2-4ac=0一元二次方程⑧的实数根；(3)b2-4ac＜0一元二次方程⑨实数根.根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1、x2，则x1+x2=-,x1·x2=.【易错提示】(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件.(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式b2-4ac≥0.考点3一元二次方程的应用正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的.在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.1.已知方程一根求另一根或参数系数，可将已知根代入方程求出参数系数的值，再解方程另一根；也可以利用根与系数的关系求解.2.解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法.命题点1一元二次方程的解法例1(2022·徐州)解方程：x2+4x-1=0.【思路点拨】可以运用配方法或求根公式法求解.【解答】方法归纳：解一元二次方程通常有四种方法，即直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松.7\n1.(2022·甘孜)一元二次方程x2+px-2＝0的一个根为2，则p的值为()A.1B.2C.-1D.-22.(2022·云南)一元二次方程x2-x-2=0的解是()A.x1=1,x2=2B.x1=1,x2=-2C.x1=-1,x2=-2D.x1=-1,x2=23.(2022·陕西)一元二次方程x2-3x=0的根是.4.(2022·无锡)解方程：x2+3x-2＝0.命题点2一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例2已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0.(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；(2)如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足+=-，求a的值.【思路点拨】(1)由“一元二次方程有两个不相等的实数根”可知Δ>0，然后解不等式可以求出a的取值范围；(2)通过把题中条件+=-变形，构造出整体“x1x2”与“x1+x2”，然后利用根与系数的关系得到一个分式方程求得a的值.【解答】方法归纳：利用一元二次方程根与系数关系求解字母系数的值的前提条件是方程必须要有两个实数根.1.(2022·益阳)一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是()A.m>1B.m=1C.m<1D.m≤12.(2022·昆明)已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2等于()A.-4B.-1C.1D.43.(2022·上海)如果关于x的方程x2-2x+k＝0(k为常数)有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是.4.(2022·攀枝花)设x1，x2是方程2x2-3x-3=0的两个实数根，则+的值为.命题点3一元二次方程的应用例3(2022·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万，可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.【思路点拨】根据“第3年的可变成本=第1年的可变成本×(1+增长率)2”，结合题中已知数据即可得到关于增长率的方程，求解即可.【解答】7\n方法归纳：列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时要借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义.增长率问题：基本数量关系：若基数为a，末数为b，增长率(下降率)为x，时间间隔为n，则有关系式a(1±x)n=b.1.(2022·白银)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为()A.x(5+x)=6B.x(5-x)=6C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=62.(2022·哈尔滨)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20%.3.(2022·襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？1.(2022·安顺)已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为()A.1B.-1C.2D.-22.(2022·宜宾)若关于x的一元二次方程的两根为x1=1，x2=2，则这个方程是()A.x2+3x-2=0B.x2-3x+2=0C.x2-2x+3=0D.x2+3x+2=03.(2022·自贡)一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.(2022·淄博)一元二次方程x2+2x-6=0的根是()A.x1=x2=B.x1=0，x2=-2C.x1=，x2=-3D.x1=-，x2=35.(2022·六盘水)已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k＜-2B.k＜2C.k＞2D.k＜2且k≠16.(2022·昆明)某果园2022年水果产量为100吨，2022年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为()A.144(1-x)2=100B.100(1-x)2=144C.144(1+x)2=100D.100(1+x)2=1447\n7.(2022·岳阳)方程x2-3x+2=0的根是.8.(2022·白银)一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a=.9.(2022·德州)方程x2+2kx+k2-2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为.10.(2022·莱芜)若关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数.则k＝.11.(2022·宿迁)一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是m.12.(2022·丽水)如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程.13.解方程：(1)(2022·自贡)3x(x-2)=2(2-x)；(2)(2022·无锡)解方程：x2-5x-6=0.14.(2022·扬州)已知关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x+=0有两个相等的实数根，求k的值.15.(2022·衡阳)学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计明年年底增加到7200平方米，求这两年的平均增长率.16.(2022·南充)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0,有两个不相等的实数根.(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2,求代数式x12+x22-x1x2的值.17.(2022·威海)方程x2-(m+6)x+m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1+x2＝x1x2，则m的值是()A.-2或3B.3C.-2D.-3或218.(2022·荆门)已知α是一元二次方程x2-x-1＝0较大的根，则下面对α的估计正确的是()7\nA.0＜α＜1B.1＜α＜1.5C.1.5＜α＜2D.2＜α＜319.(2022·江西)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程.20.(2022·淄博)关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有实根.(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2-的值.21.(2022·株洲)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c分别为△ABC的三边的长.(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.参考答案考点解读①一②2③降次④配方⑤因式分解⑥b2-4ac⑦有两个不相等⑧有两个相等⑨没有各个击破例1方法一(配方法)：配方，得(x+2)2=5，两边开平方，得x=±-2，∴x1=-2，x2=--2.方法二(求根公式法)：∵a=1,b=4,c=-1，∴Δ=42-4×1×(-1)=20>0.∴x==-2±，∴x1=-2，x2=--2.题组训练1.C2.D3.x1=0,x2=34.∵a=1,b=3,c=-2，∴Δ=32-4×1×(-2)=17.∴x＝.7\n∴x1=,x2=.例2(1)Δ=(-2)2-4×1×(-a)=4+4a.∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0.即4+4a＞0，解得a>-1，∴a的取值范围为a>-1.(2)由题意得x1+x2=2，x1·x2=-a.∵+===-.∴a=3.题组训练1.D2.C3.k＜14.-例3(1)2.6(1+x)2.(2)根据题意，得4+2.6(1+x)2=7.146.解得x1＝0.1=10%，x2＝-2.1(不合题意，舍去).答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.题组训练1.B2.20%3.(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1+x+x(1+x)＝64.解得x1=7，x2=-9(不合题意，舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64＝448(人).答：又有448人被传染.整合集训1.A2.B3.D4.C5.D6.D7.x1=1，x2=28.19.110.-111.1212.(30-2x)(20-x)=78×6或x2-35x+66=013.(1)3x(x-2)-2(2-x)=0.3x(x-2)+2(x-2)=0.(3x+2)(x-2)=0.3x+2=0或x-2=0.即x1=,x2=2.(2)∵a=1,b=-5,c=-6，∴Δ=(-5)2-4×1×(-6)=49>0.∴x==，∴x1=6或x2=-1.14.∵关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x+=0有两个相等的实数根，∴解得k=2.7\n∴当关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x+=0有两个相等的实数根时，k=2.15.设这两年的平均增长率为x，依题意，得5000(1+x)2=7200.解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去).答：这两年的平均增长率为20%.16.（1）由题意，得Δ＞0，即(-2)2-4m＞0，解得m＜2.∴m的最大整数值为m=1.(2)把m=1代入关于x的一元二次方程x2-2x+m=0得x2-2x+1=0，根据根与系数的关系：x1+x2=2，x1x2=1，∴x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=(2)2-3×1=5.17.C18.C19.答案不唯一，如：x2-5x+6=020.(1)∵关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有实根，∴a-6≠0，Δ=(-8)2-4×(a-6)×9≥0.解得a≤且a≠6.∴a的最大整数值为7.(2)①当a=7时，原一元二次方程变为x2-8x+9=0.解得x1=4+，x2=4-.②∵x是一元二次方程x2-8x+9=0的根，∴x2-8x=-9.∴原式=2x2-=2x2-16x+=2(x2-8x)+=2×(-9)+=-.21.(1)把x=-1代入方程得2a-2b=0，即a=b，∴△ABC是等腰三角形.(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0，即b2+c2=a2，∴△ABC是直角三角形.(3)∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c.∴原方程变为：2ax2+2ax=0.∵a≠0，∴x2+x=0.∴x1=0，x2=-1.7
