第9讲一元二次方程 一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念只含有①____个未知数，且未知数的最高次数是②____的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0).一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是③____，主要方法有：直接开平方法、④____法、公式法、⑤________法等. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为⑥__________.判别式与根的关系(1)b2－4ac＞0⇔一元二次方程⑦__________的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程⑧__________的实数根；(3)b2－4ac＜0⇔一元二次方程⑨____实数根.根与系数的关系如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1、x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝. 【易错提示】 (1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件；(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式b2－4ac≥0. 一元二次方程的应用正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的．在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理．1．已知方程一根求另一根或参数系数，可将已知根代入方程求出参数系数的值，再解方程另一根；也可以利用根与系数的关系求解．2．解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法．命题点1 一元二次方程的解法 (2022·徐州)解方程：x2－2x－3＝0.【解答】 9\n解一元二次方程通常有四种方法，即直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松．1．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m等于( )A．1B．2C．1或2D．02．(2022·聊城)一元二次方程x2－2x＝0的解是________．3．(2022·丽水)解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写其中的一个一元一次方程________________．4．(2022·徐州)解方程：x2＋4x－1＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 (2022·南充)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0，有两个不相等的实数根．(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x＋x－x1x2的值．【思路点拨】 (1)根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”可知Δ＞0，然后解不等式求出m的取值范围；(2)通过把条件x＋x－x1x2变形，构造出“x1＋x2”与“x1x2”，然后利用根与系数的关系求得代数式的值．【解答】 ①利用一元二次方程根与系数关系求解字母系数的值的前提条件是方程必须要有两个实数根；②利用根与系数关系求代数式的值一般是通过变形将代数式转化为含有“x1＋x2”与“x1x2”的式子．1．(2022·衡阳)若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为( )A．－2B．2C．4D．－32．(2022·铜仁)已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．(2022·金华)一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是( )A．4B．－4C．3D．－34．(2022·凉山)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( )9\nA．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2命题点3 一元二次方程的应用 (2022·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万，可变成本逐年增长．已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元．设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.【思路点拨】 根据“第3年的可变成本＝第1年的可变成本×(1＋增长率)2”，结合题中已知数据即可得到关于增长率的方程，求解即可．【解答】 列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时要借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义．增长率问题：基本数量关系：若基数为a，末数为b，增长率(下降率)为x，时间间隔为n，则有关系式a(1±x)n＝b.1．(2022·巴中)某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )A．560(1＋x)2＝315B．560(1－x)2＝315C．560(1－2x)2＝315D．560(1＋x2)＝3152．(2022·济南)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( )A．10cmB．13cmC．14cmD．16cm3．(2022·襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人；(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？1．(2022·石河子校级模拟)把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a、b、c的值分别是( )A．1，－3，10B．1，7，－10C．1，5，12D．1，3，22．如果关于x的方程(m－3)xm2－2m－1＋mx＋1＝0是一元二次方程，则m为( )A．－1B．－1或39\nC．3D．1或－33．(2022·重庆B卷)已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根4．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )A．x2＋2x－4＝0B．x2－4x＋4＝0C．x2＋4x＋10＝0D．x2＋4x－5＝05．(2022·烟台)如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为( )A．2或－1B．0或1C．2D．－16．(2022·烟台)等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )A．9B．10C．9或10D．8或107．(2022·厦门)方程x2＋x＝0的解是__________．8．(2022·漳州)若关于x的一元二次方程ax2＋3x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________________．9．(2022·江西)已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________.10．(2022·德州)方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x＋x＝4，则k的值为________．11．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有________．12．(2022·丽水)如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程．13．选择适当的方法解下列方程：(1)x2－5x＋1＝0(用配方法)；(2)3(x－2)2＝(x－2)；(3)2x2－2x－5＝0(公式法)；9\n(4)(y＋2)2＝(3y－1)2.14．(2022·自贡)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．15．(2022·河南)已知关于x的一元二次方程(x－3)·(x－2)＝|m|.(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．16．(2022·长沙)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；9\n(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？17．(2022·威海)方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )A．－2或3B．3C．－2D．－3或218．(2022·荆门)已知α是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根，则下面对α的估计正确的是( )A．0＜α＜1B．1＜α＜1.5C．1.5＜α＜2D．2＜α＜319．(2022·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个．定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？20．(2022·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC的三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．温馨提示：“整合集训”完成后，可酌情使用P34滚动小专题(二)类型2“不等式(组)的解法”P35类型4“9\n不等式的应用”进行强化训练！考点解读①一 ②2 ③降次 ④配方 ⑤因式分解 ⑥b2－4ac ⑦有两个不相等 ⑧有两个相等 ⑨没有各个击破例1 方法一(配方法)：配方，得(x－1)2＝4.两边开平方，得x－1＝±2.解得x1＝－1，x2＝3.方法二(公式法)：∵a＝1，b＝－2，c＝－3，∴Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0.∴x＝＝1±2.∴x1＝－1，x2＝3.方法三(因式分解法)∵x2－2x－3＝0，∴(x＋1)(x－3)＝0.∴x＋1＝0或x－3＝0.∴x1＝－1，x2＝3.题组训练 1.B 2.0或2 3.x＋3＝0(或x－1＝0) 4.方法一(配方法)：配方，得(x＋2)2＝5.两边开平方，得x＝±－2.∴x1＝－2，x2＝－－2.方法二(公式法)：∵a＝1，b＝4，c＝－1，∴Δ＝42－4×1×(－1)＝20>0.∴x＝＝－2±.∴x1＝－2，x2＝－－2.例2 (1)由题意，得Δ＝(－2)2－4m＝8－4m.∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即8－4m＞0，解得m＜2.∴m的最大整数值为m＝1.把m＝1代入关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0得x2－2x＋1＝0.根据根与系数的关系：x1＋x2＝2，x1x2＝1，∴x＋x－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝(2)2－3×1＝5.题组训练 1.A 2.B 3.D 4.D例3 (1)2.6(1＋x)2 (2)根据题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.题组训练 1.B 2.D 3.(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64.解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)7×64＝448(人)．答：又有448人被传染．9\n整合集训1.A 2.A 3.A 4.D 5.C 6.B 7.x1＝0，x2＝－1 8.a＞－且a≠0 9.25 10.1 11.5 12.(30－2x)(20－x)＝78×6或x2－35x＋66＝0 13.(1)x2－5x＝－1，x2－5x＋()2＝－1＋()2，(x－)2＝，x－＝±，所以x1＝，x2＝.(2)3(x－2)2－x(x－2)＝0，(x－2)(3x－6－x)＝0，所以x1＝2，x2＝3.(3)Δ＝(－2)2－4×2×(－5)＝48，x＝＝＝，所以x1＝，x2＝.(y＋2)2－(3y－1)2＝0，(y＋2＋3y－1)(y＋2－3y＋1)＝0，y＋2＋3y－1＝0或y＋2－3y＋1＝0，所以y1＝－，y2＝. 14.设垂直于墙的一边为x米，得x(58－2x)＝200.解得x1＝25，x2＝4.∴另一边为8米或50米．答：矩形长为25米宽为8米或矩形长为50米宽为4米． 15.(1)证明：原方程可化为x2－5x＋6－|m|＝0.∵Δ＝(－5)2－4(6－|m|)＝25－24＋4|m|＝1＋4|m|＞0，∴总有两不等实数根．把x＝1代入原方程，得|m|＝2.∴m＝2或m＝－2.原方程为x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，∴方程的另一个根是4. 16.(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得10(1＋x)2＝12.1.解得，x1＝0.1，x2＝－2.1(舍)．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.(2)6月：12.1×1.1＝13.31(万件)．∵21×0.6＝12.6(万件)<13.31万件，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．∵22<<23，∴至少还需增加2名业务员． 17.C 18.C 9\n19.设定价为x元，则进货为180－10(x－52)＝180－10x＋520＝(700－10x)个．(x－40)(700－10x)＝2000.解得x1＝50，x2＝60.∵每批次进货个数不得超过180个，∴700－10x≤180.∴x≥52.∴x＝60.当x＝60时，700－10x＝700－10×60＝100.答：商店若准备获利2000元，应进货100个，定价为60元． 20.(1)把x＝－1代入方程得2a－2b＝0，即a＝b.∴△ABC是等腰三角形．∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，即b2＋c2＝a2.∴△ABC是直角三角形．∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c.∴原方程变为2ax2＋2ax＝0.∵a≠0，∴x2＋x＝0.∴x1＝0，x2＝－1.9
