第2讲 图形的相似1．(2022年广东佛山)若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．4∶12．(2022年广东广州)如图5210，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG，DE，DE和FG相交于点O.设AB＝a，CG＝b(a>b)．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③＝；④(a－b)2·S△EFO＝b2·S△DGO.其中结论正确的个数是( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个图5210 图52113．(2022广东深圳)如图5211，双曲线y＝经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足＝，与BC交于点D,S△BOD＝21，则k＝________.4．(2022年广东佛山)如图5212，网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.图52125．(2022年广东梅州)如图5213，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.(1)求证：△ADE∽△BCE；(2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.图52138\n6．(2022年广东肇庆)如图5214，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE，交AD于点P.求证：(1)D是BC的中点；(2)△BEC∽△ADC；(3)AB·CE＝2DP·AD.图5214A级 基础题1．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的为( )A．1,2,3,4B．1,2,2,4C．3,5,9,13D．1,2,2,32．(2022年北京)如图5215，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB＝( )A．60mB．40mC．30mD．20m图5215 图52163．(2022年上海)如图5216，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB＝( )A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶54．(2022年河北)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：对于两人的观点，下列说法正确的是( )A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对5．(2022年江苏无锡)如图5217，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，AD＝1，BC＝4，则△AOD与△BOC的面积之比等于( )A.B.C.D.8\n图5217 图52186．(2022年山东威海)如图5218，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论错误的是( )A．∠C＝2∠AB．BD平分∠ABCC．S△BCD＝S△BODD．点D为线段AC的黄金分割点7．(2022年湖南娄底)如图5219，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度．移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O，此时O点与竹竿的距离OD＝6m，竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为________m.图5219 图5220 图52218．(2022年湖南邵阳)如图5220，在平行四边形ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形________．9．(2022年江苏泰州)如图5221，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3,0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为(－1,0)，则点B′的坐标为________．10．(2022年湖南株洲)如图5222，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O.(1)求证：△COM∽△CBA；(2)求线段OM的长度．图5222B级 中等题11．如图5223，大江的同一侧有A，B两个工厂，它们都有垂直于江边的小路，AD，BE的长度分别为3km和2km，且两条小路之间的距离为5km.现要在江边建一个供水站向A，B两厂送水，欲使供水管路最短，则供水站应建在距E处多远的位置？8\n图52238\n12.(2022年湖南株洲)如图5224，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m．点M在线段CA上，从C向A运动，速度为1m/s；同时点N在线段AB上，从A向B运动，速度为2m/s，运动时间为ts.(1)当t为何值时，∠AMN＝∠ANM；(2)当t为何值时，△AMN的面积最大，并求出这个最大值．图5224C级 拔尖题13．(2022年山东滨州)某学校为高一新生设计的板凳的正视图如图5225.其中BA＝CD，BC＝20cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm,8cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长(材质及其厚度等暂忽略不计)?图52258\n第2讲 图形的相似【真题·南粤专练】1．B2．B 解析：①由四边形ABCD、CEFG都是正方形，可得BC＝DC，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE.∴△BCG≌△DCE(SAS)．故①正确．②如图59，延长BG交DE于点H，由①，得∠CDE＝∠CBG，∠DGH＝∠BGC.∴∠BCG＝∠DHG＝90°.故②正确．③由GF∥CE，可证△DGO∽△DCE.∴＝，而不是＝.故③不正确．④△EFO∽△DGO，等于“相似比”的平方，即＝2＝.∴(a－b)2S△EFO＝b2S△DGO.故④正确．故选B.图59 图603．8 解析：如图60，过A作AE⊥x轴于点E.∵S△OAE＝S△OCD，∴S四边形AECB＝S△BOD＝21.∵AE∥BC，∴△OAE∽△OBC.＝＝2＝.∴S△OAE＝4.则k＝8.4．解：∵AC＝，BC＝，AB＝4，DF＝2，EF＝2，DE＝8，∴＝＝＝.∴△ABC∽△DEF.5．证明：(1)∵＝，∴∠A＝∠B.又∵∠CEB＝∠AED，∴△ADE∽△BCE.图61(2)如图61，由AD2＝AE·AC，得＝.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD.∴∠AED＝∠ADC.又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即有∠AED＝90°.∴直径AC⊥BD.∴＝.∴CD＝CB.6．证明：(1)∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴D是BC的中点．(2)在△BEC与△ADC中，∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CBE，∴△BEC∽△ADC.(3)∵△BEC∽△ADC，∴＝.8\n又∵D是BC的中点，∴2BD＝2CD＝BC.∴＝.则2BD2＝AC·CE.①在△BPD与△ABD中，有∠BDP＝∠BDA.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD.又∵∠CAD＝∠CBE，∴∠DBP＝∠BAD.∴△BPD∽△ABD.∴＝.则BD2＝PD·AD.②∴由①，②，得AC·CE＝2BD2＝2PD·AD.∴AB·CE＝2DP·AD.【演练·巩固提升】1．B 2.B 3.A 4.A 5.D 6.C 7.98．△DCF∽△EBF(或△DCF∽△EAD，△DCF∽△BAP，△EAD∽△BAP，△BAP∽△EBF，△EAD∽△EBF，答案不唯一)．9.10．(1)证明：∵A与C关于直线MN对称，∴AC⊥MN.∴∠COM＝90°.在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴∠COM＝∠B.又∵∠ACB＝∠MCO，∴△COM∽△CBA.(2)解：∵在Rt△CBA中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴OC＝5.∵△COM∽△CBA，∴＝，OM＝.11．解：如图62，作出点B关于江边的对称点C，连接AC，则BF＋FA＝CF＋FA＝CA.根据两点之间线段最短可知，当供水站在点F处时，供水管路最短．∵△ADF∽△CEF，∴设EF＝x，则FD＝5－x.根据相似三角形的性质，得＝，即＝.解得x＝2.故供水站应建在距点E2km处．图6212．解：(1)由题意，得AM＝12－t，AN＝2t.若∠AMN＝∠ANM，则AM＝AN.从而12－t＝2t.解得t＝4.∴当t为4s时，∠AMN＝∠ANM.(2)如图63，过点N作NH⊥AC于点H，图63∴∠NHA＝∠C＝90°.8\n∵∠A是公共角，∴△NHA∽△BCA.∴＝，即＝.∴NH＝.从而有S△AMN＝(12－t)·＝－t2＋t＝－(t－6)2＋.∴当t＝6s时，S有最大值为m2.13．解：如图64，过点C作CM∥AB，交EF，AD于点N，M，作CP⊥AD，交EF，AD于点Q，P.图64由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN＝AM＝BC＝20.∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知，CP＝40，PQ＝8，∴CQ＝32.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.∴＝，即＝.解得NF＝24.∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF应为44cm.8
