2022-2022年浙江温州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形一、选择题1.（2022年浙江温州4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠C＝60°，BD平分∠ABC，如果这个梯形的周长为30，则AB的长是【】A．4B．5C．6D．7【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定。【分析】∵在梯形ABCD中，AB＝DC，∠C＝60°，∴∠ABC＝60°。∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝30°。∴∠BDC＝90°。设AB＝DC＝x，则BC=2x。∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB。∴∠ABD＝∠ADB。∴AD=AB=x。∵梯形的周长为30，∴AD＋BC＋AB＋DC=30，即5x=30，x=6。故选C。2.（2022年浙江温州4分）梯形的上底长为3，下底长为5，那么梯形的中位线长等于【】A．2B．4C．6D．8【答案】B。【考点】梯形的中位线定理。【分析】根据梯形的中位线等于上下底和的一半的性质，得所求梯形的中位线长等于。故选B。3.（2022年浙江温州4分）如图，在梯形ABCD中,AD∥BC,CA平分∠BCD,CD=5，则AD的长是【】A.6B.5C.4D.3【答案】B。7\n【考点】角平分线的定义，平行的性质，等腰三角形的判定。【分析】∵CA平分∠BCD，∴∠ABC=∠ACD。∵AD∥BC，∴∠ABC=∠CAD。∴∠ACD=∠CAD。∴AD=AC=5。故选B。4.（2022年浙江温州4分）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有【】A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D。【考点】矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定。【分析】结合矩形的性质，平行四边形的判定和性质，根据全等三角形的判定可得与△ABC全等的三角形有△ADC，△BAD，△DCB，△ACE四个。故选D。5.（2022年浙江温州4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交与点O．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有【】A、2条B、4条C、5条D、6条【答案】D。【考点】矩形的性质。等边三角形的判定和性质。【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，AC=16，所以AO=BO=CO=DO=8；又由∠AOB=60°，所以三角形AOB是等边三角形，所以AB=AO=8；又根据矩形的对边相等得，CD=AB=AO=8．从而可求出线段为8的线段有6条。故选D。二、填空题1.（2022年浙江温州5分）在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝▲。7\n【答案】4。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】观察发现，S1和S2之间的两个三角形可以由AAS证明全等，则S1+S2即直角三角形的两条直角边的平方和，根据勾股定理，得S1+S2=1。同理S3+S4=3。∴S1＋S2＋S3＋S4=1+3=4。2.（2022年浙江温州5分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60º，对角线BD＝8，则菱形ABCD的周长等于 ▲ ．【答案】32。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质。【分析】∵菱形ABCD中，∠A＝60º，∴△ABD是等边三角形。∵BD＝8，∴菱形的边长=8，周长成32。三、解答题1.23．（2022年浙江温州9分）已知：菱形ABCD中（如图），∠A＝72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数，没有标出能够说明分法所得三角形内角度数不给分；不要求写出画法，不要求证明．）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．分法一： 分法二：分法三：7\n 【答案】解：作图如下： 【考点】作图（复杂作图），开放型，菱形的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理。【分析】还有以下分法，答案不唯一：2.（2022年浙江温州10分）附加题（1）对于任意给定的一个矩形C，是否存在另一个矩形，使它的周长和面积都是矩形C的2倍?请说明你理由。（2）当实数m是什么值时，对于任何一个矩形C，都存在另一个矩形，它的周长与面积都是矩形C的m倍？证明你的结论。【答案】解：（1）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y，则，∴x，y是方程t2－2(a+b)t+2ab=0的两根。∵△=4(a+b)2－8ab=4(a2+b2)＞0，∴方程有解。∴对于长与宽分别为a，b矩形，存在周长与面积都是已知矩形的2倍的矩形。（2）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y，7\n则，∴x，y是方程t2－m(a+b)t+mab=0的两根。当△=m2(a+b)2－4mab≥0，即时，方程有解。∴对于长与宽分别为a，b矩形,当时，存在周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形。3.（2022年浙江温州8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、F。求证：OE＝OF.【答案】证明：∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC。∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO。∴△AEO≌△CFO（AAS）。∴OE=OF。【考点】平行四边形的性质，平行的性质全等三角形的判定和性质。【分析】要证明线段相等，证明两条线段所在的两个三角形全等即可。4.（2022年浙江温州8分）在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；7\n(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上)【答案】解：作图如下：【考点】开放型，网格问题，作图（应用与设计作图）。【分析】（1）作边长为2，4的矩形即可。（2）作边长为3，的矩形即可。（答案不唯一）5.（2022年浙江温州10分）如图，在ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E．F．已知BE=BP．求证：(1)∠E=∠F；(2)ABCD是菱形．【答案】证明：（1）如图，在ABCD中，∵BC∥AF，∴∠1=∠F。∵BE=BP，∴∠E=∠1。∴∠E=∠F。（2）∵BD∥EF，∴∠2=∠E，∠3=∠F。∵∠E=∠F，∴∠2=∠3。∴AB=AD。∴ABCD是菱形．7\n【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定。【分析】（1）四边形ABCD是平行四边形，则BC∥AF，可得同位角∠BPE=∠F；在等腰△BEP中，∠E=∠BPE，等量代换后即可证得所求的结论。（2）由EF∥BD，可得同位角∠ABD=∠E，∠ADB=∠F；由（1）知∠E=∠F，等量代换后可证得∠ABD=∠ADB，即AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABCD是菱形。6.（2022年浙江温州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点．求证：△ADM≌△BCM．【答案】证明：在等腰梯形ABCD中，∵AB∥CD，∴AD=BC，∠A=∠B。∵点M是AB的中点，∴MA=MB。∴△ADM≌△BCM（SAS）。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定。【分析】由等腰梯形得到AD=BC，∠A=∠B，根据SAS即可判断△ADM≌△BCM。7
