2022-2022年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题12：押轴题一、选择题1.（2022江苏常州2分）已知等式，则x的值是【 】A．1B.2C.3D.1或3【答案】A。【考点】解分式方程，二次根式的性质和化简。【分析】由等式可知x-2≠0，按照x-2＞0，x-2＜0分类，将等式化简，解一元二次方程即可：∵x－2≠0，∴①当x－2＞0时，原等式整理得1+（x－2）2=0，一个正数加一个非负数不可能为0，这种情况不存在。②当x－2＜0，即x＜2时，原等式整理得：－1+（x－2）2=0，则x－2=1或x－2=－1，解得x=3或x=1。而x＜2，所以，只有x=1符合条件。故选A。2.（江苏省常州市2022年2分）半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比是【】A.B.C.3:2:1D.1:2:3【答案】B。【考点】正多边形和圆，【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得：设圆的半径是r，则多边形的半径是r。则内接正三角形的边长是2rsin60°=r，内接正方形的边长是2rsin45°=r，正六边形的边长是r，∴半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为。故选B。3.（江苏省常州市2022年2分）已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径为，高为，则关于的函数图象大致是【】54用心爱心专心\n【答案】【考点】反比例函数的应用。【分析】根据题意有：，化简可得，故与之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义与应大于0，其图象在第一象限。故选B。4.（江苏省常州市2022年2分）当五个数从小到大排列后，其中位数为4。如果这组数据的唯一众数是6，那么这5个数可能的最大的和是【】（A）21（B）22（C）23（D）24【答案】A。【考点】众数，中位数。【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个。因此，根据中位数的定义，5个整数从小到大排列时，其中位数为4，前两个数不是众数，因而一定不是同一个数。则前两位最大是2，3。根据众数的定义可知后两位最大为6，6。∴这5个整数最大为：2，3，4，6，6。∴这5个整数可能的最大的和是21。故选A。5.（江苏省常州市2022年2分）某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。已知某天0点到6点,进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示：54用心爱心专心\n给出以下3个判断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点,不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则上述判断中一定正确的是【】A、①B、②C、②③D、①②③【答案】A。【考点】函数的图象。【分析】通过图甲、乙，明确进水速度和出水速度，再根据图丙的折线图，判断进水，出水的状态：根据图示和题意可知，进水速度是1小时1万立方米，出水速度是1小时2万立方米，所以，由图丙可知：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点，一只管进水一只管只出水；③4点到6点2只管进水一只管出水。判断正确的是①。故选A。6.（江苏省常州市2022年2分）已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：，相应的△ABP的面积关于运动时间的函数图像如图2，若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有【】①图1中的BC长是8②图2中的M点表示第4秒时的值为24③图1中的CD长是4④图2中的N点表示第12秒时的值为18A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D。【考点】动点问题的函数图象。【分析】根据函数图象可以知：从0到2，随的增大而增大，经过了2秒，由动点P以每秒2cm的速54用心爱心专心\n度运动得，P运动了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm；P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，从而CD=4cm，面积cm2，即图2中的M点表示第4秒时的值为24cm2；图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，△ABP的面积是18cm2。∴四个结论都正确。故选D。7.（江苏省常州市2022年2分）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是【】A．B．C．D．【答案】B。【考点】切线的性质【分析】设QP的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD⊥AB。∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2＋BC2。∴由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形。∴OC+OD=PQ。由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD，只有当点O在CD上时，OC+OD=PQ有最小值为CD的长，即当点O在RtABC斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值。由直角三角形的面积公式得CD=BC•AC÷AB=4.8。故选B。8.（江苏省常州市2022年2分）甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，给出下列说法:(1)他们都骑行了20km；(2)乙在途中停留了0.5h；(3)甲、乙两人同时到达目的地；(4)相遇后,甲的速度小于乙的速度.54用心爱心专心\n根据图象信息,以上说法正确的有【】A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B。【考点】函数的图象。【分析】根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断：由图可获取的信息是：他们都骑行了20km；乙在途中停留了1－0.5=0.5h；相遇后，甲的图象在乙的图象上方，即甲的速度＞乙的速度；甲比乙早2.5－2=0.5小时到达目的地。所以（1）（2）正确。故选B。9.（江苏省2022年3分）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；……第个数：．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【】A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数【答案】A。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较：第1个数：；54用心爱心专心\n第2个数：；第3个数：；按此规律，第个数：；第个数：。∵，∴越大，第个数越小，所以选A。10.（江苏省常州市2022年2分）如图，一次函数的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a（0＜a＜4且a≠2），过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2，S1与S2的大小关系是【】A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定【答案】A。【考点】直线上点的坐标与方程的关系，直角三角形面积公式，代数式大小比较。【分析】代数式比较大小，可以采用求差法，求商法、求倒法等，本题采用求差法，求出S1和S2，求差即可：∵A点在一次函数的图象上，且它的横坐标为a，∴它的纵坐标为1。∴S1＝×2×1=1。又∵B点在一次函数的图象上，且它的横坐标为a（0＜a＜4且a≠2），54用心爱心专心\n∴它的纵坐标为。∴S2＝a（－a+2）＝－a2+a。∴S1－S2＝(a－2)2。∵0＜a＜4且a≠2，∴S1－S2＝(a－2)2>0。∴S1＞S2。。故选A。11.（2022江苏常州2分）已知二次函数，当自变量取时对应的值大于0，当自变量分别取、时对应的函数值为、，则、必须满足【】A．＞0、＞0B．＜0、＜0C．＜0、＞0D．＞0、＜0【答案】B．【考点】二次函数，不等式。故选B。12.（2022江苏常州2分）已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：①；②；③；④。其中不等式正确的是【】A.①③B.①④C.②④D.②③【答案】A。【考点】不等式的性质。【分析】根据不等式的性质，计算后作出判断：∵a、b、c、d都是正实数，且，∴，即。∴，即，∴③正确，④不正确。∵a、b、c、d都是正实数，且，∴。∴，即。∴。∴①正确，②不正确。∴不等式正确的是①③。故选A。二、填空题1.（2022江苏常州1分）.已知x+y=1，则代数式x3+3xy+y3的值是 ▲ .54用心爱心专心\n【答案】1。【考点】求代数式的值。【分析】只要把所求代数式化成已知的形式，然后把已知代入即可：。2.（江苏省常州市2022年1分）若│x│＋3=│x－3│，则x的取值范围是▲.【答案】x≤0。【考点】绝对值的性质。【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0≤x≤3，x≤0三种情况进行分析：①当x≥3时，原式可化为：x＋3=x－3，无解；②当0≤x≤3时，原式可化为：x＋3=3－x，此时x=0；③当x≤0时，原式可化为：－x+3=3－x，等式恒成立。综上所述，x的取值范围是x≤0。3.（江苏省常州市2022年2分）光线以图所示的角度α照射到平面镜Ⅰ上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α=60°，∠β=50°，∠γ=▲度。【答案】40。【考点】跨学科问题，反射的性质，平角定义，三角形内角和定理。【分析】利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角、平角定义和三角形内角和定理来求解：如答图所示，根据反射的性质，得∠BAC=∠α=60°，∠ABC=180°－2∠β=80°，∠ACB=∠γ。在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°，则∠ACB=180°－（∠BAC＋∠ABC）=40°，即∠γ=40°。4.（江苏省常州市2022年2分）如图，点D是Rt△ABC的斜边AB上的一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是▲。54用心爱心专心\n【答案】150。【考点】矩形的判定和性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC=∠C=∠DEC=90°，∴四边形DFCE是矩形。∴DF∥BC，则∠ADF=∠B。又∵∠AFD=∠DEB，∴△ADF∽△DBE。∴，即DE•DF=AF•BE=150。∴四边形DFCE的面积=DE•DF=150。5.（江苏省常州市2022年4分）已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x=▲，满足y＜0的x的取值范围是▲，将抛物线向▲平移▲个单位，则得到抛物线.【答案】3；1＜＜5；上；4。【考点】二次函数的性质，二次函数图象与平移变换。【分析】把抛物线的一般式转化为顶点式和交点式，可求对称轴；根据交点式和图象的开口方向，可求y＜0时，x的取值范围．比较需要平移的两个函数式，可以发现平移规律：∵，∴抛物线的对称轴方程=3；＜0时，1＜＜5。∵加上4得到，54用心爱心专心\n∴抛物线向上平移4个单位得到抛物线。6.（江苏省常州市2022年1分）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了▲米。【答案】120。【考点】平角定义，多边形内角和定理。【分析】根据题意，小亮这样走法形成一个正多边形，由平角定义，知正多边形的每个内角等于1500。∴根据多边形内角和定理，得，解得。∴照这样法，他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10=120米。7.（江苏省常州市2022年2分）二次函数的部分对应值如下表：…………二次函数图象的对称轴为▲，对应的函数值▲．【答案】1；－8。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】由表格的数据可以看出，x=－3和x=5时y的值相同都是7，∴可以判断出，点（－3，7）和点（5，7）关于二次函数的对称轴对称，∴对称轴为。又∵x=2的点关于对称轴x=1对称的点为x=0，而x=0时，y=－8，∴x=2时，y=－8。8.（江苏省常州市2022年3分）若将棱长为2的正方体切成8个棱长为1的小正方体，则所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的▲倍；若将棱长为3的正方体切成27个棱长为1的小正方体，则所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的▲54用心爱心专心\n倍；若将棱长为n(n>1，且为整数)的正方体切成n3个棱长为1的小正方体，则所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的▲倍.【答案】2；3；n。【考点】几何体的表面积。【分析】根据正方体的概念和特性以及表面积的计算公式即可解棱长为n（n＞1，n为整数）的正方体的表面积是6n2，把它切成n3个棱长为1的小正方体，则每个小正方体的表面积是6×12=6，则所有小正方体表面积的和是6n3，所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的倍。当n=2时，所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的2倍；当n=3时，所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的3倍。9.（江苏省2022年3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为。∵△DEF的面积为，∴。∴梯形ABCD的面积为。10.（江苏省常州市2022年2分）如图，圆圈内分别有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2022次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是▲。54用心爱心专心\n【答案】6。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】寻找规律，根据题意可知是0，1，2，3，4，…，11即12个数是一个循环：若余数为0，圆圈所标的数字是0；若余数为1，圆圈所标的数字是11；若余数为2，圆圈所标的数字是10；若余数为3，圆圈所标的数字是9；…；若余数为11，圆圈所标的数字是1。∵2022除12余数为6，∴该圆圈所标的数字是6。11.（2022江苏常州2分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为▲。【答案】24．【考点】图形的拼接。【分析】（思路1）棱长为4的体积为64，棱长为3的体积为27，棱长为2的体积为8，棱长为1的体积为1。29个正方体从小到大的体积分别为1,1,1，.....1,(1+7)......一共29个，总体积为64，去掉29个1，那么多出来的体积64-29=35，要分别给棱长为2或者3的组合。（1）若只有棱长2的，多出来的体积35=7+7+7+7+7，即只能是5个棱长为2的和24个棱长为1的。（2）若有棱长为3的，多出来的体积35-26=9，后面不能被整除，无解。所以只有一种可能，24个棱长为1的，5个棱长为2的。（思路2）情况1：设棱长为3的正方体的个数为，棱长为2的正方体的个数为，则棱长为1的正方体的个数为。依题意有所以不存在使为正整数。54用心爱心专心\n情况2：设棱长为3的正方体的个数为0，棱长为1的正方体的个数为，则棱长为2的正方体的个数为。依题意有。情况3：设棱长为2的正方体的个数为0，棱长为1的正方体的个数为，则棱长为3的正方体的个数为。依题意有无整数解。12.（2022江苏常州2分）如图，已知反比例函数和。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为，AC：AB=2：3，则=▲，=▲。三、解答题1.（2022江苏常州7分）（1）阅读下列内容：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。例如，考察代数式（x－1）(x－2)的值：当x<1时，x－1<0，x－2<0，∴(x－1)(x－2)>0；54用心爱心专心\n当1<x<2时，x－1>0，x－2<0，∴(x－1)(x－2)<0；当x>2时，x－1>0，x－2>0，∴(x－1)(x－2)>0；∴当x<1或x>2时，(x-1)(x-2)>0；当1<x<2时，(x-1)(x-2)<0；(2)填写下表：（用“+”或“－”填入空格）x<-2-2<x<-1-1<x<33<x<44<x<5x>5x+2－＋＋＋＋＋x+1－＋＋＋＋x-3－－＋＋＋x-4－－－＋x-5－－－－－＋(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)(x-5)－＋＋(3)根据以上填表，写出当x__________________时，请你运用所发现的规律，写出当x___________________________时，【答案】解：（2）填表如下：x<-2-2<x<-1-1<x<33<x<44<x<5x>5x+2－＋＋＋＋＋x+1－－＋＋＋＋x-3－－－＋＋＋x-4－－－－＋＋x-5－－－－－＋(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)(x-5)－＋－＋－＋（3）x＜－2或－1<x<3或4<x<5；x<8或9<x<10或x>11。【考点】分类归纳（数字的变化类），不等式的性质。【分析】（2）将区间内一点代入即可确定各单项式在各区间的符号；根据不等式“正正得正，正负得负，负负得正”的规律可确定多项式在的各区间的符号。54用心爱心专心\n（3）从表中可得，当x＜－2或－1<x<3或4<x<5时，。列表；x<88<x<99<x<1010<x<11x>11X－8－＋＋＋＋X－9－－＋＋＋X－10－－－＋＋X－11－－－－＋＋－＋－＋从表中可得，当x<8或9<x<10或x>11时，。2.（2022江苏常州7分）在直角坐标系xoy中：（1）画出一次函数y=x+的图象，记作直线a，a与x轴的交点为C；（2）画出△ABC，使BC在x轴上，点A在直线a上（点A在第一象限），且BC＝2，∠ABC＝1200；（3）写出点A、B、C的坐标；（4）将△ABC绕点B在直角坐标平面内旋转，使点A落在x轴上，求此时过点A、B、C的抛物线的解析式。【答案】解：（1）令x=0，则y=，令y=0，则x=－1，则函数图象与两坐标轴的交点分别为（0，），（－1，0）。作图如下：54用心爱心专心\n（2）∵C在x轴上，且∠ABC=120°，∴B点坐标为（1，0），在直线y=x+的图象上取点A，使∠ABC=120°即可。作图如下：（3）A、B、C三点的坐标分别为：A（3，2），B（－1，0），C（1，0）。（4）设三角形旋转以后的图形为△A′B′C，根据旋转的性质可知A′C=AC，B′C=BC，此时AC旋转的角度为∠ACD=60°。同理，B也旋转了60°，即∠ACA′=∠BCB′=60°，A′C=AC=。故A′点坐标为（5，0）。同理可得B′C=BC=。过B′作B′E⊥x轴，根据锐角三角函数的定义可知EC=1，故E与原点重合。此时B′点坐标为（0，2）。设此时过点A、B、C的抛物线的解析式，把A′，B′，C三点坐标分别代入得，54用心爱心专心\n，解得。∴此函数的解析式为y=【考点】一次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数值的定义，勾股定理。【分析】（1）分别令x=0，y=0找出直线与两坐标轴的交点即可画出一次函数y=x+的图象。（2）在x轴上找点C，使BC=2，根据∠ABC=120°可知，C在B的右侧，且B点坐标为（1，0），在直线y=x+的图象上取点A，使∠ABC=120°即可。（3）过A作AD⊥x轴，根据锐角三角函数的定义即可求出P点的坐标。设A（x，y），则y=x+，过A作AD⊥x轴，则CD=x－1，∠ACD=180°－∠ABC=180°－120°=60°。∴AD=CD•tan60°=（x－1），即（x－1）=x+，解得x=3，y=·3＋=2。∴A（3，2）。由（1）（2）可知B、C三点的坐标分别为：B（－1，0），C（1，0）。（4）根据旋转的性质当A落到x轴上时，设此点为A′则AA′=AC，此时AC旋转的角度为∠ACD=60°，同理，B也旋转了60°，BC=B′C，过B′作B′E⊥x轴，根据锐角三角函数值的定义可知B′此时正好落在y轴上，根据两点间的距离公式可求出B′、A′的坐标，再用待定系数法即可求出过点A、B、C的抛物线的解析式。3.（江苏省常州市2022年8分）图1是棱长为a的小正方体，图2，图3由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层，。。。。。。第n层，第n层的小正方体的个数记为s，54用心爱心专心\n解答下列问题：（1）按照要求填表：n1234……s136…(2)写出当n=10时，s=______________.（1）据上表中的数据，把s作为纵坐标，n作为横坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点。（2）请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式。【答案】解：（1）由题意得，n1234……s13610…（2）55．（3）描点如下：（4）猜想各点在二次函数的图象上。设函数的解析式为，54用心爱心专心\n由题意得，解之得。∴函数的解析式为。【考点】二次函数的应用，分类归纳（图形变化）。待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）找规律：s=1+2+3+…+n=n（n+1），∴当n=4时，s=10。（2）当n=10时，s=×10×（10+1）=55。（3）描点。（4）由（1）s=n（n+1）可得猜想，用待定系数法求之。4.（江苏省常州市2022年8分）已知：在菱形ABCD中，∠BAD=600，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为（）（1）画出符合题目条件的菱形与直角坐标系。（2）写出A，B两点的坐标。（3）设菱形ABCD的对角线的交点为P，问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由。（第37题不必写出计算过程）【答案】解：（1）本题有两种情况。画图，如图所示：图1图2（2）图1时：A（0，2），B（）；图2时：A（0，14），B（）54用心爱心专心\n（3）图1时：F（0，8）；图2时：F（0，4）。【考点】菱形的性质，坐标与图形性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，含300角直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的判定。【分析】（1）本题可分两种情况，如图。（2）情况一，如图1，过C作CF⊥y轴于F，∠CDF=60°，CF=，∴，。∴OA=OF－AF=8－（4＋2）=2。∴A点坐标为（0，2）。又∵菱形的边长为4，因此将C点坐标向下平移4个单位就是B点的坐标（）。情况二，如图2，，过C作CF⊥y轴于F，∠CDF=60°，CF=，∴，。∴OA=OF＋AF=8＋（4＋2）=14。∴A点坐标为（0，14）。又∵菱形的边长为4，因此将C点坐标向上平移4个单位就是B点的坐标（）。（3）在（2）中所作的F点其实就是P点关于CD的对称点，理由如下：设CD与FP相交于点E，根据菱形的性质可知：∠FAC=30°，∴在Rt△FAC中，FC=AC=PC。而∠DCF=∠DCP=30°，CE=CE，∴△CFE≌△CPE（SAS）。∴CD垂直平分PF，即可得出P、F关于CD对称。由（2）即可得到两种情况下的点F为（0，8）和（0，4）。5.（江苏省常州市2022年8分）如图，直线OC、BC的函数关系式分别为和，动点P（x，0）在OB上移动（0<x<3），过点P作直线与x轴垂直。（1）求点C的坐标；（2）设△OBC中位于直线左侧部分的面积为s，写出s与x之间的函数关系式；54用心爱心专心\n（3）在直角坐标系中画出（2）中函数的图象；（4）当x为何值时，直线平分△OBC的面积？【答案】解：（1）解方程组得。∴C点的坐标是（2，2）。
（2）过点C作CD⊥x轴于D，分两种情况讨论：如图1，当0＜x≤2时，设直线与OC交于点M，则由△OPM∽△ODC得，即PM2=x2，则PM=x，∴s=OP•PM=x2。如图2，当2＜x＜3时，设直线与BC交于点N，则由△BPN∽△BDC得。∵DC=2，PB=3－x，DB=3－2=1，∴，即PN=2（3－x）。∴△BPN的面积为PB·PN=（3－x）2。又∵△OBC的面积是×3×2=3。∴s=△OBC的面积－△BPN的面积=3－（3－x）2=－x2＋6x－6综上所述，s与x之间的函数关系式为。（3）作图如下：54用心爱心专心\n（4）∵△OBC的面积是×3×2=3，△OCD的面积为×2×2=2∴直线平分△OBC的面积时，0＜x＜2。∴由，解得（已舍负值）。【考点】一次和二次函数综合题，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）解两个函数解析式组成的方程组，就可以求出交点C的坐标。（2）分直线在C点的左侧和右侧两种情况进行讨论即可。（3）描点作图即可。（4）分析直线平分△OBC的面积时，点P的位置，然后根据（3）中的函数解析式，列出方程，解方程就可以解决。6.（江苏省常州市2022年10分）设一次函数的图象为直线，与x轴、y轴分别交于点A、B。（1）求tan∠BAO的值；（2）直线过点（－3，0），若直线、与x轴围成的三角形和直线、与y轴围成的三角形相似，求直线的解析式。【答案】解：（1）在一次函数中，令x=0，解得y=2；令y=0，解得x=－4。∴A，B的坐标是（－4，0），（0，2）。∴OA=4，OB=2。54用心爱心专心\n∴。（2）设直线与相交于点M，与x轴相交于点P（－3，0），与y轴相交于点N，则直线、与x轴围成的三角形为△APM，直线、与y轴围成的三角形为△NBM。分三种情况讨论：①当点N在y轴负半轴上，如图1，当只有当∠AMP=∠NMB=900时，△APM∽△NBM。此时，△AOB∽△NOP，得，∵OP=3，OB=2，OA=4，∴ON=6。∴N（0，－6）。设直线的解析式为，则，解得。∴直线的解析式为。②当点N在y轴正半轴上，且在OB的延长线上，如图2，当只有当∠MAP=∠MNB时，△APM∽△NBM。此时，△AOB∽△NOP，得，∵OP=3，OB=2，OA=4，∴ON=6。∴N（0，6）。设直线的解析式为，则，解得。∴直线的解析式为。②当点N在y轴正半轴上，且在OB上，如图3，∵∠AMP=∠BMN，但∠BNM=∠PNO＞∠NPO（∵ON＜OP＜OA）＜∠PAM，∠BNM=∠PNO＜∠APM，∴此时，△APM∽△NBM不成立。54用心爱心专心\n综上所述，直线、与x轴围成的三角形和直线、与y轴围成的三角形相似时，直线的解析式为或。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，三角形边角关系，三角形外角性质。【分析】（1）在一次函数中，求出函数与坐标轴的交点坐标，就可以求出OA，OB的长，就可以求出三角函数值。（2）分点N在y轴负半轴上；点N在y轴正半轴上，且在OB上；点N在y轴正半轴上，且在OB上三种情况分别讨论即可。7.（江苏省常州市2022年9分）仔细阅读下列材料，然后解答问题。某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售。同时当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围…获得奖卷的金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在商场内购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为元，获得的优惠额为元。设购买该商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品的标价。（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？54用心爱心专心\n8.（江苏省常州市2022年9分）已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与轴相交于点A、B，与轴相交于D、E，且。点P是⊙C上一动点（P点与A、B点不重合）。连结BP、AP。（1）求∠BPA的度数；（2）若过点P的⊙C的切线交轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。54用心爱心专心\n【答案】解：（1）根据垂径定理得到，又∵，∴。∴劣弧的度数是120°。∴∠BPA=60°或∠BPA=120°。（2）设存在点P，使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似。①当P在弧EAD上时，（图1）GP切⊙C于点P，∴∠GPA=∠PBA。又∵∠GAP是△ABP的外角，∴∠GAP＞∠BPA，∠GAP＞∠PBA。∴欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠GAP=∠PAB=90°，∴BP为⊙C的直径。在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PB=8，∴PA=4，AB=，OA=。∴P（，4）。②当P在弧EBD上时，（图2）在△PAB和△GAP中，∵∠PBA是△GBP的外角，∴∠PBA＞∠PGB。，又∵∠PAB=∠GAP，∴欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠APB=∠PGB，∵GP切⊙C于点P，∴∠GPB=∠PAG。由三角形内角和定理知：∠ABP=∠GBP，∴∠ABP=∠GBP=90°。在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PA=8，∴PB=4，AB=，OB=，∴P（－，4）。54用心爱心专心\n综上所述，存在点P1（，4）、P2（－，4）使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似。【考点】圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定。【分析】（1）点P可以在优弧AB上或在劣弧AB上，只需求得其中的一种情况，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得另一种情况．根据垂径定理得到，则，再根据半圆的度数是180°，从而求得的度数是60°，则劣弧的度数是120°，从而求得∠BPA的度数。（2）分两种情况，即点P在y轴的左侧和右侧，若相似，根据相似三角形的对应角相等，分析得到两个三角形必是直角三角形，再结合（1）中求得的角的度数，运用解直角三角形的知识求解。9.（江苏省常州市2022年8分）有一个Rt△ABC，∠A=900，∠B=600，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数的图象上，求点C的坐标．【答案】解：本题共有4种情况：（1）如图①，过点A做AD⊥BC于D，在Rt△ABC中，∠A=900，∠B=600，AB=1，∴。在Rt△ABC中，∠ADB=900，∠B=600，AB=1，∴AD=ABsin60°=，BD=ABcos60°=。∴点A的纵坐标为。将其代入，得x=2，即OD=2。54用心爱心专心\n∴OC=OB＋BC=（OD－BD）＋BC=（2－）＋2=。∴点C1的坐标为（）。（2）如图②，过点A作AE⊥BC于E，同上，可得AE=，OE=2，CE=，OC=。∴点C2的坐标为（，0）。根据双曲线的对称性，得点C3的坐标为（），点C4的坐标为（）。综上所述，点C的坐标分别为：（）、（，0）、（）、（）。【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】根据反比例函数的性质，分四种情况解直角三角形即可。10.（江苏省常州市2022年12分）已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（，0），顶点A在轴上方，顶点D在⊙O上运动．（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；（2）设点D的横坐标为，正方形ABCD的面积为S，求出S与的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．【答案】解：（1）CD与⊙O相切。理由如下：∵A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，∴∠COD=90°。∴CD是⊙O的切线。CD与⊙O相切时，有两种情况：①切点在第二象限时（如图①），设正方形ABCD的边长为a，54用心爱心专心\n则a2＋（a＋1）2=13，解得a=2，或a=－3（舍去）。过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA，∴，即。∴DE=，OE=。∴点D的坐标是（－，）。∴OD所在直线对应的函数表达式为y=。②切点在第四象限时（如图②），设正方形ABCD的边长为b，则b2＋（b－1）2=13，解得b=－2（舍去），或b=3。过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，∴，即。∴OF=，DF=。∴点D的坐标是（，－）。∴OD所在直线对应的函数表达式为y=。（2）如图③，过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2＋DG2=（BO－OG）2＋OD2－OG2=。∴S=AB2=。∵－1≤x≤1，∴S的最大值为，最小值为。【考点】一次函数综合题，圆切线的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）易证CD是⊙O的切线，分点D在第二象限和第四象限两种情况，求出D的坐标，根据待定系数法，求出函数解析式。（2）过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2＋DG2=（BO－OG）2＋OD2－OG2，所以S=AB2=54用心爱心专心\n。因为－1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出。11.（江苏省常州市2022年8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式。【答案】解：本题共有4种情况：设二次函数的图像得对称轴与轴相交于点E，（1）如图①，当抛物线开口向上，∠CAD=600时，∵四边形ABCD是菱形，一边长为2，∴DE=1，BE=。∴点B的坐标为（，0），点C的坐标为（1，－1），∵点B、C在二次函数的图像上，∴，解得。∴此二次函数的表达式。（2）如图②，当抛物线开口向上，∠ACB=600时，由菱形性质知点A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1，），解得∴此二次函数的表达式为。同理可得：抛物线开口向下时，此二次函数的表达式为54用心爱心专心\n。综上所述，符合条件的二次函数的表达式有：，，。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，菱形的性质，解直角三角形。【分析】根据题意，画出图形，可得以下四种情况：（1）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；（2）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下；（3）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；（4）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下。利用四边形ACBD一个边长为2且有一个内角为60°的条件，根据解直角三角形的相关知识解答。12.（江苏省常州市2022年10分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）线段AB长度的最小值为4。理由如下：连接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB。取AB的中点C，则AB=2OC。当OC=OP=2时，OC最短，即AB最短。此时AB=4。（2）设存在符合条件的点Q，设四边形APOQ为平行四边形54用心爱心专心\n若OA是对角线，如图①，∵OP⊥AB，OP=OQ∴四边形APOQ为正方形。∴在Rt△OQA中，OQ=2，∠AOQ=450，∴Q点坐标为（）。若OP是对角线，如图②，∵OQ∥PA，OP⊥AB，∴∠POQ=900。又∵OP=OQ，∴∠PQO=450。∵PQ∥OA，∴轴。设轴于点H，在Rt△OHQ中，OQ=2，∠HQO=450，∴Q点坐标为（）。综上所述，符合条件的点Q的坐标为（）或（）。【考点】动点问题，切线的性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以当OC与OP重合时，OC最短。（2）分两种情况：如图（1），当OA是对角线时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（）：如图（2），当OP是对角线时，可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（）。13.（江苏省常州市2022年9分）已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边上，，连接．（1）当时，求的面积；（2）设，用含的代数式表示的面积；（3）判断的面积能否等于，并说明理由．54用心爱心专心\n【答案】解：（1）∵正方形的边长为6，，∴。又∵，∴，即菱形的边长为。在和中，，，，∴。∴。∵，∴。∴，∴菱形是正方形。同理可以证明。∴，即点在边上，同时可得。∴。（2）作，为垂足，连结。∵，∴。∵，∴。∴。在和中，，，∴。∴。∴无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2。∴。（3）若，由，得。此时，在中，。54用心爱心专心\n相应地，在中，，即点已经不在边上。故不可能有。【考点】正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，反证法的应用。【分析】（1）由已知可用证得和，从而此时菱形是正方形。同理可以证明，从而证得点在边上，同时可得。面积可求。（2）通过的证明，得到无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2的结论。的面积可求。（3）用反证法，先假设，得出与已知条件矛盾的结论。从而证明。14.（江苏省常州市2022年10分）已知A与B是反比例函数图象上的两个点．（1）求的值；（2）若点C，则在反比例函数图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A与B是反比例函数图象上的两个点，∴，解得。∴。（2）如图1，作BE⊥x轴，E为垂足，∵B（2，），C（－1，0），54用心爱心专心\n∴CE=3，BE=，BC=。∴∠BCE=30°，由于点C与点A的横坐标相同，因此CA⊥x轴，从而∠ACB=120°。①当AC为底时，由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B，故不符题意。②如图1，当BC为底时，过点A作BC的平行线，交双曲线于点D。设BC的解析式为：∵B（2，），C（－1，0），∴，解得。∴BC的解析式为。∵AD∥BC，∴设AD的解析式为。∵A，∴，解得。∴AD的解析式为。由，解得，。∴D（6，）。此时AD=，与BC=不等，故四边形ADBC是梯形。③如图2，当AB为底时，过点C作AB的平行线，与双曲线的交点为D。设AB的解析式为：。∵A，B（2，），∴，解得。54用心爱心专心\n∴AB的解析式为。∵CD∥AB，∴设CD的解析式为。∵C（－1，0），∴，解得。∴CD的解析式为。由，解得，。∴D（－2，）或（1，）。此时CD=2或CD=4，与AB=6不等，故四边形ABCD或ABDC是梯形。综上所述，符合条件的点D的坐标为（6，），（－2，），（1，）。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的性质，梯形的判定。【分析】（1）由于A与B是反比例函数图象上的两个点，根据曲线上点的坐标与方程的关系，可列方程组求k的值。（2）判断是不是梯形，就要判定一组对边平行且不相等．求出坐标，既能求线段长度，又能判别平行。15.（江苏省常州市2022年7分）2022年5月12日四川汶川地区发生8.0级特大地震，举国上下通过各种方式表达爱心。某企业决定用p万元援助灾区n所学校，用于搭建帐篷和添置教学设备。根据各校不同的受灾情况，该企业捐款的分配方案是:所有学校得到的捐款数都相等，到第n所学校的捐款恰好分完，捐款的分配方法如下表所示.(其中p,n,a都是正整数)分配顺序分配数额(单位:万元)帐篷费用教学设备费用第1所学校5剩余款的第2所学校10剩余款的第3所学校15剩余款的………54用心爱心专心\n第（n-1）所学校5(n-1)剩余款的第n所学校5n0根据以上信息，解答下列问题：(1)写出p与n的关系式；(2)当p=125时，该企业能援助多少所学校？(3)根据震区灾情，该企业计划再次提供不超过20a万元的捐款，按照原来的分配方案援助其它学校。若a由(2)确定，则再次提供的捐款最多又可以援助多少所学校?【答案】解：（1）∵所有学校得到的捐款数都为5n万元，∴p=n×5n=5n2（n为正整数）。
（2）当p=125万元时，5n2=125，∴n2=25，n=±5。∵n是正整数，∴n=5。∴该企业的捐款可以援助5所学校。（3）由（2）知，第一所学校获得捐款125÷5=25万元，∴，解得a=6。∴该企业计划再次提供的捐款为20×6=120万元。根据题意，得5n2≤120，∴n2≤24。∵n是正整数，∴n最大为4。∴再次提供的捐款最多又可以援助4所学校。【考点】方程和不等式的应用。【分析】（1）根据每所学校得到的捐款相同，可以根据“捐款总数=学校数×每个学校得到的捐款数”列出关系式。（2）把p=125代入解析式求解。（3）根据（2）的方案，由捐款的分配方法可求出a，从而求出该企业计划再次提供的捐款额。再由5n2≤120求出n的取值范围，再计算出n的值。16.（江苏省常州市2022年11分）如图，抛物线与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上一动点.(1)求点A的坐标;(2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊54用心爱心专心\n四边形的顶点P的坐标;(1)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当时，求x的取值范围.【答案】解：（1）∵，∴A（－2，－4）。（2）当四边形ABP1O是菱形时，P1（－2，4）；当四边形ABOP2是等腰梯形时，P2（）：当四边形ABP3O是直角梯形时，P3（）；当四边形ABOP4是直角梯形时，P4（）。（3）∵A（－2，－4），B（－4，0）。∴AB的解析式为。∴直线l的解析式为。设点P坐标为（x，－2x）。①当点P在第二象限时，x＜0，。又，∴。∵，∴，解得。54用心爱心专心\n∴x的取值范围是。②当点P在第四象限时，x＞0，过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′。则。∵，∴。∵，∴，解得。∴x的取值范围是。综上所述，当时，x的取值范围为或。【考点】二次函数综合题，【分析】（1）已知抛物线的解析式，可根据顶点公式或将解析式化为顶点式，可求出A点的坐标。（2）由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=－2x－8，所以直线l对应的函数关系式为y=－2x。若ABP1O为菱形时，根据菱形的性质，则P1点横坐标与A坐标相同，然后再代入直线y=－2x就可求出纵坐标，则P1坐标就求出：P1（－2，4）。若ABOP2为等腰梯形时，OA=BP2，已知O，A坐标，可求出OA长度：。设P2横坐标为a，将x=a代入y=－2x，得y=－2a，∴P2（a，－2a）．∴由OA=BP2得，(－4－a)2+(0＋2a)2=20，解得，a=－2（舍去），a=，故P2（）。54用心爱心专心\n若ABP3O为直角梯形时，BP3与AB垂直，可求出直线BP3的关系式：y=x+2。直线BP3与直线l的交点（联立y=x+2和y=－2x）即P3点坐标：P3（）。若四边形ABOP4是直角梯形时，AP4与AB垂直，可求出直线AP4的关系式：y=x－3。直线AP4与直线l的交点（联立y=x－3和y=－2x）即P4点坐标：P4（）。（3）根据图分析有两种情况可以构成QABP为四边形，即当P在第二象限时和在第四象限时，当P在第二象限时，四边形由△AOB和△POB组成，△AOB面积确定，则△POB的面积可以求出来，由于△AOB+△POB代入到面积的不等式中可以得出x的取值范围。同理可求P在第四象限时，x的取值范围。17.（江苏省2022年12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）∵点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），∴销售量为（万升）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，54用心爱心专心\n则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。（3）线段。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据公式：销售利润＝（售价－成本价）×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量＝销售利润÷（售价－成本价）。（2）分别求出点、、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。（3）段的利润率=；段的利润率=；段的利润率=。∴段的利润率最大。18.（江苏省2022年12分）如图，已知射线与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线的方向作匀速运动．设运动时间为秒．（1）请用含的代数式分别表示出点与点的坐标；（2）以点为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点在点的左侧），连接PA、PB．①当与射线有公共点时，求的取值范围；54用心爱心专心\n②当为等腰三角形时，求的值．【答案】解：（1）∵，∴。∴。过点作⊥轴于点，∵，，∴。又∵，且，∴，即。∴。∴。∴。（2）①当的圆心由点向左运动，使点到点时，有，即。当点在点左侧，与射线相切时，过点作射线，垂足为，则由，得，则．解得。由，即，解得。∴当与射线有公共点时，的取值范围为。②（I）当时，过作轴，垂足为，有54用心爱心专心\n。由（1）得，，，∴。又∵，∴，即。解得。（II）当时，有，∴，解得。（III）当时，有，∴，即。解得（不合题意，舍去）。综上所述，当是等腰三角形时，，或，或，或。【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，等腰三角形时的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由可得，从而得到点的坐标。作点作⊥轴于点，利用可得，从而得到点的坐标。（2）①当与射线有公共点时，考虑（I）当的圆心由点向左运动，使点到点时，的取值；（II）当点在点左侧，与射线相切时，的取值。当在二者之间时，与射线有公共点。②分，，三种情况讨论即可。19.（江苏省常州市2022年9分）如图，已知二次函数的图像与轴相交于点A、C，与轴相较于点B，A（），且△AOB∽△BOC。（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数的关系式；（2）在线段AC上是否存在点M（54用心爱心专心\n）。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。【答案】.解：（1）∵当=0时，=3，∴B（0，3）。∵△AOB∽△BOC，∴∠OAB＝∠OBC，。∵OA=，OB=3，∴，解得OC=4。∴C（4，0）。∵∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠OBC+∠OBA＝90°。∴∠ABC＝90°。∵图象经过点A（），C（4，0），∴，解得。∴二次函数的关系式为。（2）存在。分三种情况：①如图1，当CP＝CO时，点P在以BM为直径的圆上，∵BM为圆的直径，∴∠BPM＝90°。又∵∠ABC＝90°，∴PM∥AB。∴△CPM∽△CBA。∴。∵OC=4，OB=3，∴CB=5。又CA=，CP=CO=4，∴，解得CM＝5。∴＝－1。②如图2，当PC＝PO时，点P在OC垂直平分线上，则CP＝。54用心爱心专心\n由△CPM∽△CBA，得，即，解得CM＝。∴。③当OC＝OP时，M点不在线段AC上。综上所述，的值为或－1。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，平行的判定，线段中垂线的性质。【分析】（1）由点B是二次函数的图像与轴的交点，令=0，即可得点B的坐标，从而由△AOB∽△BOC得对应边的比，求得C（4，0）。由三角形内角和定理求出∠ABC＝90°。由二次函数图象经过点A（），C（4，0），用待定系数法求出函数关系式。（2）分CP＝CO，PC＝PO和OC＝OP三种情况分别讨论即可。20.（江苏省常州市2022年10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ。设AP＝x。（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围。【答案】解：（1）当PQ∥AD时，AP=DQ，即x=8－x，解得x＝4。（2）设线段PQ的垂直平分线与BC边相交于点E，如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，∴，即。54用心爱心专心\n∵0≤y≤6，∴0≤≤6，解得。（3）由题意∵AP＝CQ，∴∵，∴整理得：当x＝4时，S有最小值12。当x＝或x＝时，S有最大值。∴12≤S≤。【考点】动点问题，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，梯形的面积，二次函数的性质。【分析】（1）根据题意，列出符合题意的方程x=8－x，解出即可。（2）由AP＝CQ，根据矩形的性质，得到。从而由，分别表示出和即可求出S关于x的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出S的取值范围。21.（2022江苏常州9分）在平面直角坐标系XOY中，一次函数的图像是直线，与轴、轴分别相交于A、B两点。直线过点且与直线垂直，其中＞0。点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位。⑴写出A点的坐标和AB的长；⑵当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线、轴都相切，求此时的值。54用心爱心专心\n【答案】解：（1）∵一次函数的图象直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴y＝0时，x＝－4，∴A（－4，0），AO＝4，∴x＝0时，y＝3，∴B（0，3），BO＝3，∴AB＝5。∴A点坐标为（－4，0），AB的长为5。（2）由题意得：AP＝4t，AQ＝5t，又∠PAQ＝∠OAB，∴△APQ∽△AOB，∴∠APQ＝∠AOB＝90°。∵点P在上，∴⊙Q在运动过程中保持与相切，①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，PQ=OQ，∴AQ=AO+OQ=4+PQ由△APQ∽△AOB得：∴PQ＝6；设与⊙Q相切于E，连接QE，则∵⊙Q与和都相切，∴QE＝PQ=6。由△QEC∽△APQ∽△AOB，得：，∴。②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，PQ=OQ，∴AQ=AO—OQ=4—PQ由△APQ∽△AOB得：∴PQ＝；设与⊙Q相切于F，连接QF，则∵⊙Q与和都相切，∴QF＝PQ=。54用心爱心专心\n由△QFC∽△APQ∽△AOB，得：，∴。∴。【考点】一次函数，勾股定理，相似三角形的判定的性质。圆心距和切线的关系。【分析】（1）由点在直线上，点的坐标满足方程，很易求出A和B点的坐标，应用勾股定理即可求出AB的长。（2）首先用相似三角形的判定方法得出相似三角形，再应用三角形对应边的比求出满足条件的的值。22.（2022江苏常州10分）在平面直角坐标系XOY中，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与直线相交于点P。点E为直线上一点，反比例函数（＞0）的图像过点E与直线相交于点F。⑴若点E与点P重合，求的值；⑵连接OE、OF、EF。若＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；⑶是否存在点E及轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）∵直线过点A（1，0）且与轴平行，直线过点B（0。2）且与轴平行，直线与直线相交于点P，∴点P（1，2）。若点E与点P重合，则k＝1×2＝2。54用心爱心专心\n（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形∵PE⊥PF，∴∴S△PEF＝∴四边形PFGE是矩形，∴S△PEF＝S△GFE，∴S△OEF＝S矩形OCGD－S△DOF－S△GFE－S△OCE＝∵S△OEF＝2S△PEF，∴，解得k＝6或k＝2，∵k＝2时，E、F重合，舍去。∴k＝6，∴E点坐标为：（3，2）。（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H∵△FHM∽△MBE，∴∵FH＝1，EM＝PE＝1－，FM＝PF＝2－k，∴。在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2，∴（1－）2＝（）2＋（）2解得k＝，此时E点坐标为（，2）。②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，。54用心爱心专心\n∵FQ＝1，EM＝PF＝k－2，FM＝PE＝－1，∴＝，BM＝2在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2∴（k－2）2＝（）2＋22，解得k＝或0，但k＝0不符合题意，∴k＝．此时E点坐标为（，2）∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．【考点】反比例函数，矩形，一元二次方程，全等级三角形，相似三角形，勾股定理。【分析】（1）易由直线，求交点P坐标。若点E与点P重合，则点P在图象上，坐标满足函数关系式，求出。（2）要求E点的坐标，只要先利用相似三角形对应边的比，用表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF面积是PEF面积2倍的关系求出。（3）要求E点的坐标，只要先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出。要注意应根据点P、E、F三点位置分k＜2和k＞2两种情况讨论。23.（2022江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。（1）写出y与x之间的函数关系式▲；（2）若点E与点A重合，则x的值为▲；（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。54用心爱心专心\n【答案】解：（1）y=－x2＋4x。（2）或。（3）存在。过点P作PH⊥AB于点H。则∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，∴PD′=PD=4－x，ED′=ED=y=－x2＋4x，EA=AD－ED=x2－4x＋2，∠PD′E=∠D=900。在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4－x，D′H=。∵∠ED′A=1800－900－∠PD′H=900－∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=900，∴△ED′A∽△D′PH。∴，即，即，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得。∵当时，y=，∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。∵当时，y=，∴此时，点E在边AD上，符合题意。∴当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。【分析】（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，54用心爱心专心\n∴，即。∴y=－x2＋4x。（2）当点E与点A重合时，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。解得。（3）过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△ED′A与△D′PH相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。24.（2022江苏常州10分）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0）。以点P为圆心，为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（D点在点C的上方）。点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）。（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？（3）连接BC，求∠DBC－∠DBE的度数。【答案】解：（1）B（3m，0），E（m，4m）。（2）线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下：由（1）知B（3m，0），E（m，4m），∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，∴D（0，3m）。∴，，。∴。∴△BDE是直角三角形。54用心爱心专心\n∴BE是△BDE的外接圆的直径。设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B（3m，0），E（m，4m）得G（2m，2m）。过点G作GI⊥DG于点I，则I（0，2m）。根据垂径定理，得DI=IQ，∴Q（0，m）。∴。∴BQ=EQ。（3）延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m。根据垂径定理，得AH=BH=2m，AO=m。根据圆的对称性，OC=OA=m。又∵OB=3m，，，∴。。又∵∠COB=∠EDB=900，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。∴∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO。又∵OB=OC，∴∠DBO=450。∴∠DBC－∠DBE=450。【考点】直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理，圆的对称性，平行四边形的性质，中点坐标，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）过点P作PH⊥x轴于点H，PF⊥y轴于点F，连接OE，BP。∵点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0），∴P（m，m），H（m，0），F（0，m），OH=OF=HP=m。∵PB=，∴。∴OB=3m。∴B（3m，0）。∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，∴D（0，3m）。∵四边形DOPE是平行四边形，∴PE=OD=3m，HE=4m。∴E（m，4m）。（2）由勾股定理和逆定理，易知△BDE是直角三角形，从而根据圆周角定理和垂径定理可得点Q的坐标，从而根据勾股定理可求出BQ和EQ的长比较即得。（3）求出有关线段的长，可得，从而证得△COB∽△EDB，得到∠OBC=∠DBE。因此∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO=450。54用心爱心专心\n54用心爱心专心
