2022-2022年江苏南通中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题12：押轴题一、选择题1.（2022江苏南通3分）下列命题：（1）相似三角形周长的比等于对应高的比；（2）顶角为800且有一边长为5cm的两个等腰三角形全等；（3）若两圆相切，则这两个圆有3条公切线；（4）在⊙O中，若 弧AB+弧CD＝弧EF，则AB+CD＝EF，其中真命题的个数为【】A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【答案】A。【考点】相似三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，两圆相切的性质，圆心角、弧、弦的关系，【分析】三角形三边关系。根据相关知识作出判断：（1）根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比和对应高的比都等于它们的相似比，所以相似三角形周长的比等于对应高的比。故命题正确，是真命题。（2）顶角为800且有一边长为5cm的两个等腰三角形，可能是腰可能是底为5cm。当一个等腰三角形底是5cm，另一个等腰三角形腰是5cm时，两个等腰三角形不全等。故命题错误，不是真命题。（3）若两圆相切，可能外切也可能内切。当两圆内切时，这两个圆有1条公切线.。故命题错误，不是真命题。（4）如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，则弧FM=弧AB。∴AB=FM，CD=EM。在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF。故命题错误，不是真命题。 综上所述，真命题的个数为1个。故选A。2.（江苏省南通市2022年3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于【】57\nA．2cmB．3cmC．4cmD．5cm【答案】B。【考点】折叠的性质，勾股定理。【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长：∵AC=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm。∵AE=6cm，∴BE=4cm。设CD=x，则在Rt△DEB中，42＋x2=（8－x）2，解得x=3（cm）。故选B。3.（江苏省南通市2022年3分）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为【】A．B．C．D．【答案】D。【考点】二次函数的图象，反比例函数的图象。【分析】由反比例函数的图象得到k的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致：∵函数的图象经过二、四象限，∴k＜0。∴抛物线开口向下，对称轴，即对称轴在y轴的左边。故选D。57\n4.（江苏省南通市2022年3分）某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是【】A、正方形B、正六边形C、正八边形D、正十二边形【答案】C。【考点】平面镶嵌（密铺），多边形内角和定理。【分析】根据密铺的条件得，两多边形内角和必须凑出360°，进而判断即可：A、正方形的每个内角是90°，90°×2+60°×3=360°，∴能密铺；B、正六边形每个内角是120°，120°+60°×4=360°，∴能密铺；C、正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，135°与60°无论怎样也不能组成360°的角，∴不能密铺；D、正十二边形每个内角是150°，150°×2+60°=360°，∴能密铺。故选C。5.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）二次函数的图象如图所示,若,,则【】A、B、C、D、【答案】D。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】∵当=2时，，∴可以判断；∵当=－1时，，∴可以判断；∵抛物线的开口向上，对称轴在=1右侧，∴＞0，对称轴，即。∴可以判断。故选D。57\n6.（江苏省南通市课标卷2022年3分）用3根火柴棒最多能拼出【】A．4个直角 B．8个直角C．12个直角 D．16个直角【答案】C。【考点】垂线，立体图形。【分析】当3根火柴棒有公共交点且两两垂直时，可拼出“三线十二角”，十二个角都是直角。故选C。7.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）已知二次函数y=2x2+9x+34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值与【】A、x=1时的函数值相等B、x=0时的函数值相等C、x=时的函数值相等D、x=时的函数值相等【答案】B。【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性。【分析】∵当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则以x1、x2为横坐标的两点关于直线x=对称，∴，所以。∵根据抛物线的对称性可知x=与x=0时函数值相等。故选B。8.（江苏省南通市课标卷2022年3分）如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有【】A．10个B．12个C．14个D．16个【答案】C。【考点】正方形的性质，勾股定理的逆定理。【分析】根据正方形的性质和直角三角形的判定方法进行判定：连接AE得△ABE、△ADE，连接BD得△ABD、△BED，同理连接CE、BF、AF、CD得到△BCE、△CFE、△BCF、△BEF、△ACF、△ADF、△ACD、△CDF、△AEC、△DBF，共可得到14个直角三角形。故选C。9.（江苏省南通市2022年4分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是【】．57\nA、cmB、cmC、cmD、cm【答案】B。【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数值。【分析】易证△AOD是等腰直角三角形．则圆心O到弦AD的距离等于AD，所以可先求AD的长即可。以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，则OA=OD，△AOD是等腰直角三角形。易证△ABO≌△OCD，则OB=CD=4cm。在直角△ABO中，根据勾股定理得到OA2=20，OA=。在等腰直角△OAD中，过圆心O作弦AD的垂线OP。则OP=OA•sin45°=cm。故选B。10.（江苏省南通市2022年4分）设、是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，则【】A．B．C．D．【答案】C。【考点】一元二次方程根与系数的关系，解一元一次不等式。【分析】∵，∴。∵，∴。∵、是关于的一元二次方程的两个实数根，∴。∴＜0，＞0，解得：。故选C。11.（江苏省2022年3分）下面是按一定规律排列的一列数：57\n第1个数：；第2个数：；第3个数：；……第个数：．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【】A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数【答案】A。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较：第1个数：；第2个数：；第3个数：；按此规律，第个数：；第个数：。∵，∴越大，第个数越小，所以选A。12.（江苏省南通市2022年3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有【】57\nA．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B。【考点】等腰三角形的判定，坐标与图形性质。【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案，注意求解有关等腰三角形问题时一定要注意分情况讨论：如图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，22）（0，-22）（0，4）。故选B。13.（江苏省南通市2022年3分）设，，则＝【】A．2B．C．D．3【答案】A。【考点】代数式变换，完全平方公式，平方差公式，根式计算。【分析】由有，因为，所以，，则。故选A。14.（2022江苏南通3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠B＝30º，AC＝1，AC在直线l上．将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋；…，按此规律继续旋转，直到得到点P2022为止，则AP2022＝【】A．2022＋671B．2022＋671C．2022＋671D．2022＋671【答案】B。【考点】分类归纳（图形的变化类），旋转的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。57\n【分析】寻找规律，发现将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次，APi（i=1,2,3,···）的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=。根据旋转的性质，将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次，APi（i=1,2,3,···）的长度依次增加2，，1，且三次一循环。∵2022÷3==670…2，∴AP2022=670（3+）+2+=2022+671。故选B。二、填空题1.（2022江苏南通3分）已知ΔABC内接于⊙O，∠AOB＝1300，则∠C的度数为▲_。【答案】650。【考点】圆周角定理。【分析】∵⊙O是△ABC的外接圆，∴∠C和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角。又∵∠AOB＝1300，∴根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，得∠C＝∠AOB＝650。2.（江苏省南通市2022年3分）为了了解小学生的素质教育情况，某县在全县各小学共抽取了200名五年级学生进行素质教育调查，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前4个小组的频率分别为0.04，0.12，0.16，0.4，则第五小组的频数为▲．【答案】56。【考点】频率分布直方图，频数、频率和总量的关系。【分析】根据各小组频率之和等于1，求得第5组的频率，再根据频率=频数÷总数，求得频数=频率×总数：根据题意，得：第5小组的频率是1－（0.04+0.12+0.16+0.4）=0.28，则第5小组的频数是200×0.28=56。3.（江苏省南通市2022年2分）57\n已知：如图：AB是⊙O的直径，BD=OB，∠CAB=30度．请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除AO=OB=BD外）：①▲②▲③▲。【答案】BC=AB；BC=OB；BC=OB。（答案不唯一）【考点】圆周角定理。【分析】根据已知及圆周角定理进行分析，从而得到答案：∵AB是⊙O的直径，BD=OB，∴∠ACB=90°又∵∠CAB=30°，∴BC=AB=OB。∵BD=OB，∴BC=OB。4.（江苏省南通市2022年3分）已知一个矩形的长为3cm，宽为2cm，试估算它的对角线长为▲cm（结果保留两个有效数字，要求误差小于0.2）【【答案】3.6。【考点】矩形的性质，勾股定理，估算无理数的大小，有效数字和近似值的误差。【分析】根据矩形的性质，采用勾股定理进行求解：根据勾股定理，得对角线的长=。∵3.62=12.96，3.72=13.69，∴，显然取。∵对于有，，∴。∴3.6符合误差小于0.2的条件。∴估算这个矩形的对角线长为3.6cm（结果保留两个有效数字，误差小于0.2）。5.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）如图,△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在的图象上,斜边OA1、A1A2都在轴上,则点A2的坐标是▲.57\n【答案】（，0）。【考点】等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程。【分析】如图，作P1B⊥y轴于点B，P1A⊥x轴于点A，P2C⊥y轴于点C，P2D⊥x轴于点D。∵△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，∴AP1=BP1，A1D=DA2=DP2，∵点P1在的图象上，∴OA•OB=4。∴OA=OB=AA1=2，OA1=4。设A1D=x，∵点P2在的图象上，∴OD•OC=4，即（4+x）x=4。解得（∵，∴舍去）。则。∴A2坐标为（，0）。6.（江苏省南通市课标卷2022年3分）如图，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是▲．【答案】（，0）。【考点】等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程。57\n【分析】如图，作P1B⊥y轴于点B，P1A⊥x轴于点A，P2C⊥y轴于点C，P2D⊥x轴于点D。∵△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，∴AP1=BP1，A1D=DA2=DP2，∵点P1在的图象上，∴OA•OB=4。∴OA=OB=AA1=2，OA1=4。设A1D=x，∵点P2在的图象上，∴OD•OC=4，即（4+x）x=4。解得（∵，∴舍去）。则。∴A2坐标为（，0）。7.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣7x2y1的值等于▲ ．【答案】20。【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可：由题意知，直线y=kx（k＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线交于两点，则这两点关于原点对称，∴x1=﹣x2，y1=﹣y2。又∵点A、点B在双曲线上，∴x1y1=4，x2y2=4。∴原式=﹣2x2y2+7x2y2=﹣2×4+7×4=20。57\n8.（江苏省南通市课标卷2022年3分）请写出一个二次函数y=ax2＋bx＋c，使它同时具有如下性质：①图象关于直线x=1对称；②当x=2时，y＞0；③当x=－2时，y＜0．答：▲．（答案不唯一）【答案】y=－x2＋2x－3（答案不唯一）。【考点】二次函数的性质【分析】根据二次函数的性质，∵图象关于直线x=1对称，∴。又∵当x=2时，y＞0；当x=－2时，y＜0，∴a＜0，c＞0，b2－4ac＞0。∴与x轴的交点为（x1，0），（x2，0）且x1＜x2，－2＜x1＜0，2＜x2＜4。∴可得较简单的一个为a=－1，b=2，x1=－1，x2=3，c=x1•x2=－3。∴次函数y=ax2＋bx＋c可以为y=－x2＋2x－3。9.（江苏省南通市2022年3分）如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB∶OD＝5∶3，则k＝▲．【答案】12。【考点】反比例函数系数k的几何意义。【分析】先找到点的坐标，然后再利用矩形面积公式计算，确定k的值：由题意，设点D的坐标为（xD，yD），则点B的坐标为（xD，yD），矩形OABC的面积=|xD·yD|=，∵图象在第一象限，∴k=xD•yD=12。10.（江苏省南通市2022年3分）已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：方法1：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．方法2：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差．方法3：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．现给出三点坐标：A（－1，4），B（2，2），C（4，－1），请你选择一种方法计算△ABC的面积，你57\n的答案是＝▲．【答案】。【考点】直角梯形的性质，坐标与图形性质。【分析】应用方法二：过点A和点C分别向x轴和y轴引垂线，两垂线交于点D．过点B向x轴引垂线，交CD于点E，则。11.（江苏省2022年3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为。∵△DEF的面积为，∴。∴梯形ABCD的面积为。12.（江苏省南通市2022年3分）设x1、x2是一元二次方程x2＋4x－3=0的两个根，2x1(x22＋5x2－3)＋a＝2，则a=▲．【答案】8。【考点】一元二次方程根的概念，一元二次方程根与系数的关系。【分析】根据一元一次方程根与系数的关系，求出x1＋x2，x1•x2的值，然后化简所求代数式，把x1＋x2，x1•x2的值整体代入求值即可：根据题意可得x1＋x2=－4，x1•x2=－3，又∵x2是一元二次方程x2＋4x－3=0的两根，∴x22＋4x2－3=0。又∵2x1(x22＋5x2－3)＋a＝2，即2x1(x22＋4x2－3＋x2)＋a=2，即2x1x2＋a=2，57\n∴2×（－3）＋a=2，解得a=8。13.（江苏省南通市2022年3分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在轴上，并与直线相切．设三个半圆的半径依次为r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝▲．【答案】9。【考点】一次函数，直角三角形的性质，相似三角形。【分析】设直线y＝x与三个半圆分别切于A，B，C，作AEX轴于E，则在Rt∆AEO1中，易得∠AOE=∠EAO1=300，由r1＝1得EO=，AE=，OE=，OO1=2。则。同理，。14.（2022江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于▲．【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得。∴直线l的解析式为：y=2x－1。∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1。∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。57\n三、解答题1.（2022江苏南通11分）如图，已知ΔABC内接于⊙O，点E在弧BC上，AE交BC于点D，EB2＝ED·EA，经过B，C两点的圆弧交AE于点I。（1）求证：ΔABE∽ΔBDE；（2）如果BI平分∠ABC，求证：；（3）设⊙O的半径为5，BC＝8，∠BDE＝450，求AD的长。【答案】解：（1）证明：∵EB2＝ED·EA，∴。又∵∠AEB＝∠BED，∴ΔABE∽ΔBDE。（2）证明：根据第（1）ΔABE∽ΔBDE，得到∠EBD=∠BAE。∵BI平分∠ABC，∴∠DBI=∠ABI。∵∠EBI=∠EBD＋∠DBI，∠BIE=∠BAE＋∠ABI，∴∠EBI=∠BIE。∴△BEI是等腰三角形，即BE=EI。根据第（1）ΔABE∽ΔBDE，得到，即。∴。（3）如图，连接OB，OE，OE交BC于点F。根据（1）ΔABE∽ΔBDE，得到∠EBD=∠BAE，∴。∴OE是BC的中垂线。∵⊙O的半径为5，BC＝8，∴BF=CF=4，OB=5。∴根据勾股定理，得OF=3。∴EF=5－3=2。∵∠BDE＝450，∴ΔDEF是等腰直角三角形。∴DF=EF=2，DE=2，BD=4＋2，DC=4－2。57\n又∵∠DBE=∠DAC，∠BED=∠ACD，∴ΔDBE∽ΔDAC。∴，即，解得AD=2。【考点】圆的综合题，相似三角形的判定和性质，角平分线定义，圆周角定理。垂径定理，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。【分析】（1）由EB2＝ED·EA可得，由公共角∠BED=∠ACB，根据相似三角形的判定即可证得ΔABE∽ΔBDE。（2）由（1）ΔABE∽ΔBDE可得∠EBD=∠BAE，从而由BI平分∠ABC可得∠EBI=∠BIE，根据等角对等边的判定得BE=EI。由（1）ΔABE∽ΔBDE可得，从而得出结论。（3）连接OB，OE，OE交BC于点F。由（1）ΔABE∽ΔBDE，得到∠EBD=∠BAE，从而得到，从而得出OE是BC的中垂线。由∠BDE＝450，得ΔDEF是等腰直角三角形。因此可求出BD、CD、DE的长，由ΔDBE∽ΔDAC的对应边成比例即可求得AD的长。2.（2022江苏南通12分）已知m、n是x的方程的两个根，且,过点Q（m,n）的直线L1交于点A（0，t），直线L1、L2分别与x轴的负半轴交于点B、C（如图）ΔABC为等腰三角形。（1）求m、n、t的值；（2）求直线L1与直线L2的解析式；（3）若P为直线L2上的点，且ΔABO与ΔABP相似，求点P的坐标。（4）【答案】解：（1）∵m、n是x的方程的两个根，且，57\n ∴，解得。 （2）由（1）得点Q，A。 设直线L1的解析式为，则，解得。 ∴直线L1的解析式为。 令，得。∴B（－1,0）。∴OA=，OB=1，AB=2。∵ΔABC为等腰三角形，∴BC=AB=2。∴OC=3，点C的坐标为（－3，0）。 设直线L1的解析式为，则，解得。 ∴直线L1的解析式为。（3）由点A、B、C的坐标，根据锐角三角函数定义，易求得∠OAB=∠BAC=300。 ∴要使ΔABO与ΔABP相似只要∠APB=900或∠ABP=900。 ∵点P在直线L2上，∴设P（）。 又∵OA=，OB=1， ∴AB=2，，。 若∠APB=900， 则，即。 解得，（舍去）或。57\n 此时，。 ∴P（）。【注：此时实际上两三角形全等】若∠ABP=900， 则，即。 解得，。 此时，。 ∴P（）。 综上所述，点P的坐标为（）或（）。【考点】一次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，解方程和方程组。【分析】（1）由m、n是x的方程的两个根，且，根据一元二次方程根与系数的关系，可得三元方程组，解之即得m、n、t的值。（2）由（1）可得点A、Q的坐标，用待定系数法，可求得直线L1的解析式。由ΔABC为等腰三角形可求得点C的坐标，从而由点A、C的坐标，用待定系数法，可求得直线L2的解析式。（3）由点A、B、C的坐标，根据锐角三角函数定义，易求得∠OAB=∠BAC=300，所以要使ΔABO与ΔABP相似只要∠APB=900或∠ABP=900。因此分∠APB=900或∠ABP=900两种情况分别求解即可。3.（江苏省南通市2022年10分）某家电集团公司生产某种型号的新家电，前期共投入固定成本200万元，每生产1台这种新家电，还需要生产成本0.3万元，已知每台新家电的售价为0.5万元．（1）分别求总成本y1（万元）和总利润y2（万元）关于新家电的总产量x（台）的函数关系式；（2）当x=900（台）时，该公司的盈亏情况如何？（3）请你利用第（1）小题中y2与x的函数关系式，分析该公司的盈亏情况．（注：总成本=固定成本＋生产成本，总利润=总产值－总成本）【答案】解：（1）根据题意，y1=0.3x＋200，y2=0.5x－（0.3x＋200）=0.2x－200。
（2）把x=900代入y2中，可得y2=0.2×900－200=－20＜0，∴当总产量为900台时，公司会亏损，亏损额为20万元。57\n（3）根据题意，当0.2x－200＜0时，解得x＜1000，说明总产量小于1000台时，公司会亏损；当0.2x－200＞0时，解得x＞1000，说明总产量大于1000台时，公司会盈利；当0.2x－200=0时，解得x=1000，说明总产量等于1000台时，公司不亏不盈。【考点】一次函数的性质和应用。【分析】（1）根据题意可直接列出两个函数解析式。（2）再把x=900代入y2中可求出盈利额，负则说明亏损，正则说明盈利。（3）利用y2的解析式，让y2＞0则可算出生产多少会盈利，y2=0不亏损也不盈利，y2＜0则会亏。4.（江苏省南通市2022年12分）设抛物线y=ax2＋bx＋c经过A（－1，2），B（2，－1）两点，且与y轴相交于点M．（1）求b和c（用含a的代数式表示）；（2）求抛物线y=ax2－bx＋c－1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；（3）在第（2）小题所求的点中，有一个点也在抛物线y=ax2＋bx＋c上，试判断直线AM和x轴的位置关系，并说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2＋bx＋c经过A（－1，2），B（2，－1）两点，∴，解得。（2）由（1）得，抛物线y=ax2－bx＋c－1的解析式是y=ax2＋（a＋1）x－2a，∵物线y=ax2－bx＋c－1上横坐标与纵坐标相等，∴ax2＋（a＋1）x－2a=x，即ax2＋ax－2a=0。∵a是抛物线解析式的二次项系数，∴a≠0。∴方程的解是x1=1，x2=－2，∴抛物线y=ax2－bx＋c－1满足条件的点的坐标是P1（1，1），P2（－2，－2）。（3）由（1）得抛物线y=ax2＋bx＋c的解析式是y=ax2－（a＋1）x＋1－2a。①当P1（1，1）在抛物线y=ax2＋bx＋c上时，有a－（a＋1）＋1－2a=1，解得。这时抛物线y=ax2＋bx＋c的解析式是，它与y轴的交点是M（0，2）。∵点A（－1，2），M（0，2）两点的纵坐标相等，57\n∴直线AM平行于x轴。②当P2（－2，－2）在抛物线y=ax2＋bx＋c上时，有4a＋2（a＋1）＋1－2a=－2，解得。这时抛物线的解析式为，它与y轴的交点是M（0，）。∵A、M两点的纵坐标不相等，∴直线AM与x轴相交。综上所述，当P1（1，1）在抛物线y=ax2＋bx＋c上时，直线AM平行x轴；当P2（－2，－2）在抛物线y=ax2＋bx＋c上时，直线AM与x轴相交。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）把A（－1，2），B（2，－1）两点分别代入抛物线y=ax2＋bx＋c，即可用a表示出b、c的值。（2）把（1）中所求b、c的值及x=y代入抛物线y=ax2－bx＋c－1，即可求出符合条件的点的坐标。（3）把（2）中所求的两点分别代入（1）中抛物线的解析式，即可求出未知数的值，从而求出其解析式，根据其解析式可求出函数图象与y轴的交点坐标，根据其纵坐标于A点纵坐标的关系即可判断出直线AM与x轴的关系。5.（江苏省南通市2022年7分）某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售，现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：运输单位运输速度（km/h）运输费用（元/千米）包装与装卸时间（h）包装与装卸费用（元）甲公司60641500乙公司50821000丙公司100103700解答下列问题：（1）若乙、丙两家公司的包装、装卸及运输的费用总和恰是甲公司的2倍，求A，B两市间的距离；（精确到个位）（2）如果A，B两市的距离为s（km），且这批水果在包装、装卸以及运输过程中的损耗为300元/小时，那么，要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？【答案】解：（1）设A，B两市间的距离为x（km），则三家运输公司包装，装卸及运输的费用分别为：甲公司（6x＋1500）元，乙公司（8x＋1000）元，丙公司（10x＋700）元，57\n依题意得，（8x＋1000）＋（10x＋700）=2（6x＋1500），解得x=216≈217（km）。∴A，B两市间的距离约为217km。（2）设选择三家运输公司所需的总费用分别为y1，y2，y3，由于三家运输公司包装，装卸及运输所需的时间分别为：甲公司（s60＋4）h，乙公司（s50＋2）h，丙公司（s100＋3）h，∴y1=6s+1500+（s60+4）×300=11s+2700，y2=8s+1000+（s50+2）×300=14s+1600，y3=10s+700+（s100+3）×300=13s+1600。∵s＞0，∴y2＞y3恒成立。∴只要比较y1与y3的大小：y1－y3=－2s+1100。∵①当s＜550（km）时，y1＞y3，又∵y2＞y3，∴此时选丙公司较好．②当s=550（km）时，y2＞y1=y3，∴此时选择甲公司或丙公司较好。③当s＞550（km）时，y2＞y3＞y1，∴此时选择甲公司较好。6.（江苏省南通市2022年10分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=4，BD=3，AD=5，以AB所在直线为x轴．以B点为原点建立平面直角坐标系．将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴的正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别是P、Q和T三点．（1）求证：点D在y轴上；（2）若直线y=kx+b经过P、Q两点，求直线PQ的解析式；57\n（3）将平行四边形PQTB沿y轴的正半轴向上平行移动，得平行四边形P′Q′T′B′，Q、T、B依次与点P′、Q′、T′、B′对应）．设BB′=m（0＜m≤3）．平行四边形P′Q′T′B′与原平行四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式．【答案】解：（1）证明：∵AB2+BD2=32+42=52=AD2∴△ABD为直角三角形，且AB⊥BD。∵x轴⊥y轴，AB在x轴上，且B为原点，∴点D在y轴上。
（2）由旋转的性质知，P点坐标为（0，5），且PQ=DC=4，∠QPB=∠DAB。过Q点作QH⊥BD，垂足为H。在Rt△PQH中，QH=PQ•sin∠QPH=PQ•sin∠DAB=4×，PH=PQ•cos∠QPH=PQ•cos∠DAB=4×，BH=PB－PH=。∴Q（，）。∵直线y=kx+b过P、Q两点．∴，解得。∴直线PQ的解析式为。（3）设B′T′与AB交于点M，Q′T′交AB于点E，交AD于点F。∵0＜m≤3，∴。由（2）可知，BE=QH=．∴AE=AB－BE=4－。57\n∴EF=AE•tan∠DAB=。∴。又ET′∥BB′，∴∠MB′B=∠T′=∠DAB．∴BM=BB′•tan∠MBB=m•tan∠DAB=m。∴。∴。7.（江苏省南通市2022年8分）已知：△ABC中，AB＝10⑴如图①，若点D、E分别是AC、BC边的中点，求DE的长；⑵如图②，若点A1、A2把AC边三等分，过A1、A2作AB边的平行线，分别交BC边于点B1、B2，求A1B1＋A2B2的值；⑶如图③，若点A1、A2、…、A10把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1、B2、…、B10。根据你所发现的规律，直接写出A1B1＋A2B2＋…＋A10B10的结果。【答案】解：（1）∵D、E分别是AC、BD的中点，且AB=10，57\n∴DE=AB=5。
（2）设A1B1=x，则A2B2=2x。∵A1、A2是AC的三等分点，且A1B1∥A2B2∥AB，∴A2B2是梯形A1ABB1的中位线，即：x+10=4x，得x=，∴A1B1+A2B2=10。（3）A1B1＋A2B2＋…＋A10B10=50。【考点】分类归纳（图形的变化类），三角形中位线定理，梯形中位线定理。【分析】（1）根据三角形的中位线定理进行计算。（2）设A1B1=x，根据三角形的中位线定理和梯形的中位线定理列方程求解。（3）根据（1）和（2）的解答过程，发现每一条线段的长和总线段之间的关系：当n等分点的时候，有，则。甩以A1B1＋A2B2＋…＋A10B10=5×（11－1）=50。8.（江苏省南通市2022年10分）已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC＝2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y＝2x＋1⑴求BC、AP1的长；⑵设AP＝m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；⑶以点E为圆心作⊙E与x轴相切①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围；②当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3∶5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并说明理由。【答案】解：（1）在y＝2x＋1中，令x=0，得y=1，∴B（0，1）。57\n∵A的坐标为（0，3），∴在y＝2x＋1中，，令y=3，得x=1，∴P1（1，3）。∴AB=3－1=2，BC=2AB=4，AP1=1。（2）过点D作DG∥PE交BC于点G，则由△DCG≌△BAP1，得CG=AP1=1∵1≤m＜4，∴PD=4－m，EC=4－m＋1=5－m，CD=2，∴。（3）①⊙P和⊙E的位置关系有相交、外切和相离，理由如下：在Rt△ABP1中，∵AB=2，AP1=1，∴BP1=。∴PE=BP1=。在Rt△ABC中，∵AB=2，BC=4，∴AC=2。∵Rt△APF∽Rt△ACD，∴，即，∴。∴EF=－。如图，过点E作EH⊥x轴于点H，则EH=OB=1。设AP＝m，∴当⊙P和⊙E相切时，EF=EH，即－=1，解得。当⊙P和⊙E相交时，1≤m＜4，且EF＜EH，即－＜1，解得。当⊙P和⊙E相离时，1≤m＜4，且EF＞EH，即－＞1，解得。∴当时，⊙P和⊙E相离；当时，⊙P和⊙E相切；57\n当时，⊙P和⊙E相交。②外离或相交．理由如下：∵矩形ABCD的面积是8，且直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3：5，∴或者。当时，9－2m=5，m=2，即AP=2，∴。∴此时两圆外离。当时，9－2m=3，m=3，即AP=3，∴。∴此时两圆相交。【考点】直线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，勾股定理，梯形的面积，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）求BC、AP1的长，因为BC=2AB，可以根据直线的解析式是y=2x+1，确定B、P1的坐标，得出AB的距离，从而求出BC、AP1的长。（2）根据梯形PECD的面积公式求出PD、EC、CD的长，从而求出S与m之间的函数关系式，及自变量m的取值范围。（3）根据圆与圆的位置关系，圆心距＞两圆的半径时外离，圆心距=两圆的半径时相切，圆心距＜两圆的半径时相交，求出AP相应的取值范围，确定⊙P和⊙E的位置关系。9.（江苏省南通市大纲卷2022年10分）已知关于的方程有两个不相等的实数根、,且.（1）求证：;（2）试用的代数式表示;（3）当时,求的值.【答案】解：（1）证明：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴△。∴。又∵－k2≤0，∴n＜0。（2）由根与系数的关系，得，解关于的方程，57\n得=3，或=5．当=3，即＋()=3时，得=3－k；当=5，即＋()=5时，得=5－k。（3）∵，n=－3，∴k2＜4，即：－2＜k＜2。原方程可化为：，把=3－k代入，得到k2－3k＋2=0，解得k1=1，k2=2（不合题意，舍去）。把=5－k代入，得到3k2－15k＋22=0，△=－39＜0，所以此时k不存在。∴k=1。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程的解和解一元二次方程。【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于n，k的不等式，结合不等式的性质，证出结论。（2）根据根与系数的关系，把x1+x2=k代入已知条件（2x1+x2）2-8（2x1+x2）+15=0，即可用k的代数式表示x1。（3）首先由（1）知，又n=－3，求出k的范围；再把（2）中求得的关系式代入原方程，即可求出k的值。10.（江苏省南通市大纲卷2022年12分）在平面直角坐标系中，直线经过点A（,4），且与轴相交于点C，点B在轴上，O为为坐标原点,且。记的面积为S.（1）求m的取值范围;（2）求S关于m的函数关系式;（3）设点B在轴的正半轴上，当S取得最大值时,将沿AC折叠得到,求点的坐标.【答案】解：（1）∵直线经过点A（，4），∴，∴。∵，∴，解得2≤m≤6。（2）∵A的坐标是（，4），∴OA=。57\n又∵，∴OB=7。∴B点的坐标为（0，7）或（0，－7）。直线与y轴的交点为C（0，m）。①当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7－m。∴。②当点B的坐标是（0，－7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m。∴。（3）当m=2时，一次函数取得最大值，这时C（0，2）。如图，分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E。则AD=，CD=4－2=2。在Rt△ACD中，，∴∠ACD=60°。由题意，得∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7－2=5，∴∠B′CE=180°－∠B′CB=60°。在Rt△B′CE中，∠B′CE=60°，CB′=5，∴CE=，B′E=。∴OE=CE－OC=。∴点B′的坐标为（，－）。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，解不等式组，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据点在直线上的意义可知．由即可求出m的取值范围。（2）根据题意求出B点的坐标（0，7）或（0，－7）。分两种情况求出S关于m的函数关系式。（3）分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E．利用Rt△ACD中的关系：，得∠ACD=60°，∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7－2=5，所以∠B′CE=180°－∠B′CB=60°．再利用Rt△B'CE中的线段之间的关系可求得，CE=，B′E=57\n．故OE=CE－OC=．所以点B′的坐标为（，－）。11.（江苏省南通市课标卷2022年9分）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？（3）当a至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？【答案】解：（1）设，∵x＝4时，y＝400；x＝5时，y＝320．∴，解之，得。∴y与x的函数关系式为。（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），当y＝380时，，得x＝4.25,该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780＝2395(元)。显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少。（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则W＝xy＝x（－80x+720）＝，∴当x＝时，W最大值＝1620。要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则50a≥W最大值+780，即50a≥1620+780，57\n解之，得a≥48。所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算。由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯。【考点】一次和二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】（1）设y=kx+b，根据题意得出k，b的值即可求出y与x的函数关系式。（2）分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得。（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，解出二次函数求出W的最大值可求解。12.（江苏省南通市课标卷2022年11分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（－10，0），B（－8，6），O为坐标原点，△OAB沿AB翻折得到△PAB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度，得到四边形O1A1P1B1．设四边形O1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．（1）求A1、P1两点的坐标（用含m的式子表示）；（2）求周长l与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．【答案】解：（1）过点B作BQ⊥OA于点Q．（如图）∵点A坐标是（－10，0），∴点A1坐标为（－10＋m，－3），OA＝10。又∵点B坐标是（－8，6），∴BQ＝6，OQ＝8。在Rt△OQB中，，∴OA＝OB＝10，。由翻折的性质可知，PA＝OA＝10，PB＝OB＝10，∴四边形OAPB是菱形。∴PB∥AO，∴P点坐标为（－18，6）。∴P1点坐标为（－18＋m，3）。57\n（2）①当0＜m≤4时，（如图）,过点B1作B1Q1⊥x轴于点Q1，则B1Q1＝6－3＝3。设O1B1交x轴于点F，∵O1B1∥BO，∴∠α＝∠β。在Rt△FQ1B1中，，∴。∴Q1F＝4。∴B1F＝＝5。∵AQ＝OA－OQ＝10－8＝2，∴AF＝AQ+QQ1+Q1F＝2+m+4＝6+m。∴周长l＝2（B1F＋AF）＝2（5＋6＋m）＝2m＋22。②当4＜m＜14时，（如图）设P1A1交x轴于点S，P1B1交OB于点H，由平移性质，得OH＝B1F＝5，此时AS＝m－4，∴OS＝OA－AS＝10－（m－4）＝14－m，∴周长l＝2（OH＋OS）＝2（5＋14－m）＝－2m＋38．【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，菱形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）首先应求得点P的坐标．根据点B的坐标，运用勾股定理求得OB的长，发现OB=OA，再结合折叠，即四条边都相等的四边形是菱形，根据菱形的性质求得点P的坐标．再根据平移和点的坐标之间的联系：左减右加，由点A，P的坐标求得点A1、P1两点的坐标。（2）由于向右移的单位长度不确定，所以此题应分情况考虑．根据勾股定理可以求得当向下平移3个单位长度时，P1到AP的距离是4，P1到y轴的距离是14，所以分为当0＜m≤4时和当4＜m＜14时两种情况，结合平行线分线段成比例定理和平移的性质进行计算。13.（江苏省南通市大纲卷2022年10分）已知：如图，O是57\n正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；（3）若GE•GB=4﹣2，求正方形ABCD的面积．【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCD=90°．∵∠DCF=∠BCD=90°，CF=CE，∴△BCE≌△DCF（SAS）。（2）OG=BF。理由如下：∵△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC。∵∠BEC=∠DEG，∴∠DGE=∠BCE=90°，即BG⊥DF．∵BE平分∠DBC，BG=BG，∴△BGF≌△BGD（AAS）。∴DG=GF。∵O为正方形ABCD的中心，∴O为BD的中点。∴OG=BF。（3）设BC=x，则DC=x，BD=x。由（2），得BF=BD=x，∴CF=BF－BC=（－1）x。在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF2=x2+(－1)2x2①。∵∠GDE=∠GBC=∠GBD，∠DGE=∠BGD=90°，∴△DGE∽△BGD。∴，即DG2=GE·GB=4－2。∵DF=2DG，∴DF2=4DG2=4(4－2)②。由①，②两式，得x2+(－1)2x2=4(4－2)，解得x2=4。∴正方形ABCD的面积为4个平方单位。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】（1）根据全等三角形的判定方法寻找条件。57\n（2）因为O是BD的中点，结合已知条件，知道证明G是DF中点即可。（3）要求正方形的面积，求出边长的平方即可，为此要找到一个关于边长的方程，因为已知中有直角，根据勾股定理，结合已知条件，列出方程，求出答案。14.（江苏省南通市大纲卷2022年12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B（5，0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60度．（1）求点D，B所在直线的函数表达式；（2）求点M的坐标；（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（0°＜α＜30°后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交边DC于点E，射线MC1交边CB于点F，设DE=m，BF=n．求m与n的函数关系式．【答案】解：（1）过点C作CA⊥OB，垂足为A．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBO＝60°，OD＝BC＝2，∴CA＝BC·sin∠CBO＝，BA＝BC·cos∠CBO＝1。∴点C的坐标为（4，）。设直线CB的解析式为，由B（5，0），C（4，），得，解得。∴直线CB的解析式为（2）∵∠CBM＋∠2＋∠3＝180°，∠DMC＋∠1＋∠2＝180°，∠CBM＝∠DMC＝∠DOB＝60°，∴∠2＋∠3＝∠1＋∠2．∴∠1＝∠3。∴△ODM∽△BMC。∴。∴OD·BC=BM·OM。57\n∵B点为（5，0），∴OB＝5。设OM＝x，则BM＝5－x。∵OD＝BC＝2，∴2×2＝x（5－x），解得x1＝1，x2＝4。∴M点坐标为（1，0）或（4，0）。（3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图1，OM＝1，BM＝4。∵DC∥OB，∴∠MDE＝∠DMO。又∵∠DMO＝∠MCB．∴∠MDE＝∠MCB。∵∠DME=∠CMF=α，∴△DME∽△CMF。∴。又由（2），∴CF=2DE。∵CF＝2＋n，DE＝m，∴2＋n＝2m，即。（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，如图2，OM＝4，BM＝1。同理可得△DME∽△CMF，∴，∴DE=2CF。∵CF＝2－n，DE＝m，∴m＝2（2－n），即。【考点】一次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．利用三角函数可求得，点D的坐标为（1，），设直线DB的函数表达式为y=kx+b，把点B（5，0），D（1，）代入解析式利用待定系数法，即得直线DB的函数表达式。（2）先证明△ODM∽△BMC．得，所以OD•BC=BM•OM．设OM=x，则BM=5﹣x，得2×2=x（5﹣x），解得x的值，即可求得M点坐标。（3）分M点坐标为（1，0和M点坐标为（4，0）两种情况讨论即可。15.（江苏省南通市大纲卷2022年10分）如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB=∠DEC=90°，AE=DE，AC，BD的交点为O．57\n（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC=∠DCB=90°，AB=2cm，求图中阴影部分的面积．【答案】解：（1）证明：∵∠AEB=∠DEC=90°，∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC，即∠AEC=∠DEB。∵△BEC是等边三角形，∴CE=BE。又∵AE=DE，∴△AEC≌△DEB（SAS）。（2）连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD。由（1）△AEC≌△DEB得知AC=BD。．∵∠ABC=∠DCB=90°，∴∠ABC+∠DCB=180°。∴AB∥DC。∵AB2=AC2－BC2=BD2－BC2=CD2，∴AB=CD。∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形。∴OA=OB=OC=OD。又∵BE=CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC。∴BF=FC，∠EFB=90°。∴OF=AB=×2=1。∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC=60°。在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠ABE=∠ABC－∠EBC=90°－60°=30°。∴BE=AB•cos30°=2×。在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠EBF=60°，∴BF=BE•cos60°=，EF=BE•sin60°=。∴OE=EF－OF=。∵AE=ED，OE=OE，AO=DO，∴△AOE≌△DOE．∴。∴。57\n【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）在△AEB和△DEC中，已知AE=DE，BE=CE，且夹角相等，根据SAS可证全等。（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而△AEO面积=，所以解题中心即为求出OE和BF，由（1）中结论和已知条件即可求解。16.（江苏省南通市大纲卷2022年12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B（5，0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60度．（1）求点D，B所在直线的函数表达式；（2）求点M的坐标；（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（0°＜α＜30°后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交边DC于点E，射线MC1交边CB于点F，设DE=m，BF=n．求m与n的函数关系式．【答案】解：（1）过点C作CA⊥OB，垂足为A．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBO＝60°，OD＝BC＝2，∴CA＝BC·sin∠CBO＝，BA＝BC·cos∠CBO＝1。∴点C的坐标为（4，）。设直线CB的解析式为，由B（5，0），C（4，），得，解得。∴直线CB的解析式为（2）∵∠CBM＋∠2＋∠3＝180°，∠DMC＋∠1＋∠2＝180°，∠CBM＝∠DMC＝∠DOB＝60°，57\n∴∠2＋∠3＝∠1＋∠2．∴∠1＝∠3。∴△ODM∽△BMC。∴。∴OD·BC=BM·OM。∵B点为（5，0），∴OB＝5。设OM＝x，则BM＝5－x。∵OD＝BC＝2，∴2×2＝x（5－x），解得x1＝1，x2＝4。∴M点坐标为（1，0）或（4，0）。（3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图1，OM＝1，BM＝4。∵DC∥OB，∴∠MDE＝∠DMO。又∵∠DMO＝∠MCB．∴∠MDE＝∠MCB。∵∠DME=∠CMF=α，∴△DME∽△CMF。∴。又由（2），∴CF=2DE。∵CF＝2＋n，DE＝m，∴2＋n＝2m，即。（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，如图2，OM＝4，BM＝1。同理可得△DME∽△CMF，∴，∴DE=2CF。∵CF＝2－n，DE＝m，∴m＝2（2－n），即。【考点】一次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．利用三角函数可求得，点D的坐标为（1，），设直线DB的函数表达式为y=kx+b，把点B（5，0），D（1，）代入解析式利用待定系数法，即得直线DB的函数表达式。（2）先证明△ODM∽△BMC．得57\n，所以OD•BC=BM•OM．设OM=x，则BM=5﹣x，得2×2=x（5﹣x），解得x的值，即可求得M点坐标。（3）分M点坐标为（1，0和M点坐标为（4，0）两种情况讨论即可。17.（江苏省南通市2022年12分）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，CD＝．将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD’E’(如图②，点D’、E’分别与点D、E对应)，点E’在AB上，D’E’与AC相交于点M．(1)求∠ACE’的度数；(2)求证：四边形ABCD’是梯形；(3)求△AD’M的面积．【答案】解：（1）如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°。∵DE∥AB，∴∠DEC=∠DCE=45°，∠EDC=90°。∴DE=CD=。∴CE=CE′=4。如图2，在Rt△ACE中，∠E′AC=90°，AC=，CE′=4，∴cos∠ACE′=。∴∠ACE′=30°。（2）证明：如图2，∠D′CE′=∠ACB=45°，∠ACE′=30°，∴∠D′CA=∠E′CB=15°。又，∴△D′CA∽△E′CB。∴∠D′AC=∠B=45°。∴∠ACB=∠D′AC。∴AD′∥BC。∵∠B=45°，∠D′CB=60°，∴∠ABC与∠D′CB不互补。∴AB与D′C不平行。∴四边形ABCD′是梯形。（3）在图②中，过点C作CF⊥AD′，垂足为F。∵AD′∥BC，∴CF⊥BC。∴∠FCD′=∠ACF－∠ACD′=30°。在Rt△ACF中，AF=CF=，∴S△ACF=3。在Rt△D′CF中，CD′=，∠FCD′=30°，∴D′F=。∴S△D′CF=。57\n同理，SRt△AE′C=，SRt△D′E′C=4。∵∠AME′=∠D′MC，∠E′AM=∠CD′M，∴△AME′∽△D′MC。∴。∴S△AE′M=S△CD′M①。∵S△EMC＋S△AE′M=S△AE′C=②，S△E′MC＋S△CD′M=S△D′EC=4③，∴由③－②，得S△C′DM－S△AE′M=4－，由①，得S△CD′M=8－，∴S△AD′M=S△ACF－S△DCF－S△CD′M=。∴△AD′M的面积是。18.（江苏省南通市2022年15分）已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．(1)求直线BC的解析式；(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．57\n【答案】解：（1）∵A(0，1)、B(0，3)，∴AB=2。∵△ABC是等腰三角形，且点在x轴的正半轴上，∴AC=AB=2。∴。∴C（，0）。设直线BC的解析式为，∴，解得。∴直线BC的解析式为。（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称，∴。∴抛物线为y＝ax2＋c又抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（0，1）、D(3，－2)两点，∴，解得。∴抛物线的解析式是。在中，OA=1，AC=2，∴。在中，OB=3，，∴。∴CA是的角平分线。∴直线BC与x轴关于直线AC对称。∵点P关于直线AC的对称点在x轴上，∴符合条件的点P就是直线BC与抛物线的交点。∵点P在直线BC上，∴设点P的坐标是。又∵点P在抛物线上，57\n∴，解得，。∴所求的点P的坐标是，。（3）要求PM＋CM的取值范围，可先求PM＋CM的最小值。I）当点P的坐标是时，点P与点C重合，故。显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为。∵点M是y轴上的动点，∴PM＋CM无最大值，∴PM＋CM。II）当点P的坐标是时，由点C关于y轴的对称点，故只要求的最小值，显然线段最短．易求得。∴PM＋CM的最小值是6。同理PM＋CM没有最大值，∴PM＋CM的取值范围是PM＋CM。综上所述，当点P的坐标是时，PM＋CM，当点P的坐标是时，PM＋CM。【考点】二次函数综合题，等腰三角形的性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，对称的性质，垂直线段的性质。【分析】（1）由等腰三角形的性质，求出点C的坐标即可求出直线BC的解析式。（2）由抛物线y＝ax2＋bx＋c关于轴对称和经过A（0，1）、D(3，－2)两点即可求出抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式。证出CA是的角平分线，即知直线BC与x轴关于直线AC对称，得出符合条件的点P就是直线BC：与抛物线的交点的结论，从而联立和，即可求出点P的坐标。（3）分点P的坐标是和点P的坐标是两种情况讨论即可。19.（江苏省南通市2022年10分）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）（1）请说明方案一不可行的理由；57\n（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．【答案】解：（1）理由如下：∵扇形的弧长＝16×＝8π，圆锥底面周长＝2πr，∴圆的半径为4cm。∵所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，，∴方案一不可行。（2）方案二可行，求解如下：设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则，①．②由①②，可得，。∴所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm。【考点】正方形的性质，勾股定理，圆锥和扇形的计算。【分析】（1）求出所给正方形纸片的对角线长和制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长比较即可。（2）根据和，联立求解即可。20.（江苏省南通市2022年14分）已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．57\n【答案】解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2。∴B点坐标为（－8，－2）。∵A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）。∴。（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，∴，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）。∵，S△DBO=，S△OEN=，∴。∴。∴双曲线为。由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1）。∴C（－4，－2），M（2，2）。设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得，解得。∴直线CM的解析式是。（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1。设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．57\n于是。同理。∴。【考点】反比例函数和一次函数的综合题，矩形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，关于原点对称点的性质，平行线的性质。【分析】（1）由矩形的性质可得点B的横坐标，代入即可求得点B的纵坐标，根据对称性可得点A的坐标，由曲线上点的坐标与方程的关系可得k的值。（2）由面积的关系式，求出点C、M的坐标，即可由待定系数法求出直线CM的解析式。（3）由平行线分线段成比例的性质，可得和，即可求出p－q的值。21.（江苏省2022年12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）∵点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），57\n∴销售量为（万升）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。（3）线段。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据公式：销售利润＝（售价－成本价）×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量＝销售利润÷（售价－成本价）。（2）分别求出点、、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。（3）段的利润率=；段的利润率=；段的利润率=。∴段的利润率最大。22.（江苏省2022年12分）如图，已知射线与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线的方向作匀速运动．设运动时间为秒．（1）请用含的代数式分别表示出点与点的坐标；57\n（2）以点为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点在点的左侧），连接PA、PB．①当与射线有公共点时，求的取值范围；②当为等腰三角形时，求的值．【答案】解：（1）∵，∴。∴。过点作⊥轴于点，∵，，∴。又∵，且，∴，即。∴。∴。∴。（2）①当的圆心由点向左运动，使点到点时，有，即。当点在点左侧，与射线相切时，过点作射线，垂足为，则由，得，则．解得。由，即，解得。∴当与射线有公共点时，的取值范围为57\n。②（I）当时，过作轴，垂足为，有。由（1）得，，，∴。又∵，∴，即。解得。（II）当时，有，∴，解得。（III）当时，有，∴，即。解得（不合题意，舍去）。综上所述，当是等腰三角形时，，或，或，或。【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，等腰三角形时的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由可得，从而得到点的坐标。作点作⊥轴于点，利用可得，从而得到点的坐标。（2）①当与射线有公共点时，考虑（I）当的圆心由点向左运动，使点到点时，的取值；（II）当点在点左侧，与射线相切时，的取值。当在二者之间时，与射线有公共点。②分，，三种情况讨论即可。23.（江苏省南通市2022年12分）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？57\n（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠B=∠C=900，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°。又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°。∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED。∴，即。∴。（2）∵当m=8时，，∴当x=4时，y的值最大，最大值是2。（3）由和得x的方程:，解得，。∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，Rt△BFE≌Rt△CED，∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2。∴m的值应为6或2时，△DEF是等腰三角形。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】在几何图形中建立函数关系式，体现了“数形结合”的数学思想，要注意运用“相似法”、“面积法”与“勾股法”建立有关等式，从而转化为函数关系式。因此，（1）通过证明y与x这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立y关于x的函数关系式。（2）将m的值代入⑴中的函数关系式，配方化成项点式后求最值。（3）逆向思考，当△DEF是等腰三角形，因为DE⊥EF，所以只能是EF=ED，再由⑴可得Rt△BFE≌Rt△CED，从而求出m的值。24.（江苏省南通市2022年14分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；57\n（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．【答案】解：（1）∵当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，∴这条抛物线的对称轴是y轴，故b=0，∴这条抛物线的解析式为y＝ax2＋c。∵点A（－4，3）、B（2，0）在这条抛物线上，∴把A（－4，3）、B（2，0）代入到y＝ax2＋c，得，解得。∴这条抛物线的解析式为。设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得，解得。∴直线AB的解析式为。（2）依题意，，即⊙A的半径为5。过点A作AD⊥直线l于点E，则AE=3＋2=5，即圆心到直线l的距离为5。∴圆心到直线l的距离=⊙A的半径。∴直线l与⊙A相切。（3）由题意，把x=－1代入，得，即D（－1，）。57\n对抛物线上任一点P1，作这P1H1⊥直线l于点H1，则P1O=P1H1，证明如下：设P1(),代入抛物线方程，得，即。∵P1O2=，∴P1O=。又∵P1H1=，∴P1O=P1H1。又∵△P1DO的周长=P1D+P1O+OD，且OD为定长，∴△P1DO的周长最小即为求P1D+P1O长度的最小，即P1D+P1H1长度的最小。∴由三角形两边之和大于第三边的性质，总有P1D+P1H1≥DH1，且当等号时，P1D+P1H1长度的最小，此时，D，P1，H1三点共线。过点D作DH⊥直线l于点H。由垂直线段的性质，对任一DH1，DH最短。因此，DH与抛物线的交点P，即为使△PDO的周长最小时的位置。∴当△PDO的周长最小时，四边形CODP为梯形。由D（－1，），得m=－1，代入抛物线方程可得n=。∴梯形上下底：OC=2，PD=，高为1。∴四边形PDOC面积为：。【考点】二次函数和一次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，直线与圆的位置关系，三角形三边关系，垂直线段的性质。【分析】（1）由条件，利用待定系数法求解。（2）依题意可由勾股定理求出圆的半径，进而利用直线与圆的关系求解。（3）由（2）可进一步求解，关键是找出使△PDO的周长最小时点P的位置，应用（2）的方法和三角形两边之和大于第三边的性质、垂直线段最短的性质即可得出当D，P，H三点共线时△PDO的周长最小，从而求出四边形PDOC的面积。25.（江苏省南通市2022年12分）已知A(1，0)、B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)、E(4，2)五个点，抛物线(＞0)经过其中的三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线(＞0)上；(2)点A在抛物线(＞0)上吗？为什么？57\n(3)求和的值．【答案】解：(1)证明：用反证法。假设C(－1，2)和E(4，2)都在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上，联立方程，解之得a＝0，k＝2。这与要求的a＞0不符。∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。(2)点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。这是因为如果点A在抛物线上，则k＝0。B(0，－1)在抛物线上，得到a＝－1，D(2，－1)在抛物线上，得到a＝－1，这与已知a＞0不符；而由(1)知，C、E两点不可能同时在抛物线上。因此点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。(3)综合(1)(2)，分两种情况讨论：①抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)三个点，联立方程，，解之得a＝1，k＝－2。②抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、D(2，－1)、E(4，2)三个点，联立方程，解之得a＝，k＝。因此，抛物线经过B、C、D三个点时，a＝1，k＝－2。抛物线经过B、D、E三个点时，a＝，k＝。【考点】二次函数，二元一次方程组。【分析】(1)用反证法证明只要先假设结论成立，得到与已知相矛盾的结论即可。(2)要证点A不在抛物线上，只要证点A和其他任意两点不在同一抛物线上即可。(3)分别列出任意三点在抛物线上的所有情况，由(2)去掉点A，还有B、C、D、E四个点，可能情况有①B、C、D，②B、C、E，③B、D、E和④C、D、E。而由(1)去掉②B、C、E和④C、D、E两种C、E两点同时在抛物线上的情况。这样只剩下①B、C、D和③B、D、E两种情况，分别联立方程求解即可。57\n26.（江苏省南通市2022年14分）如图，已知直线经过点A(1，0)，与双曲线交于点B(2，1)．过点P(，－1)(＞1)作轴的平行线分别交双曲线和于点M、N．(1)求的值和直线的解析式；(2)若点P在直线＝2上，求证：△PMB∽△PNA；(3)是否存在实数，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)由点B(2，1)在y＝上，有2＝，即m＝2。设直线l的解析式为，由点A(1，0)，点B(2，1)在上，得，解之，得∴所求直线l的解析式为。(2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，∴P在直线l上，是直线y＝2和l的交点，见图（1）。∴根据条件得各点坐标为N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，BP＝∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。∴△PMB∽△PNA。(3)S△AMN＝。下面分情况讨论：当1＜p＜3时，延长MP交X轴于Q，见图（2）。设直线MP为57\n则有解得则直线MP为当y＝0时，x＝，即点Q的坐标为（，0）。则，由2＝4有，解之，p＝3（不合，舍去），p＝。当p＝3时，见图（1）S△AMP＝＝S△AMN。不合题意。当p>3时，延长PM交X轴于Q，见图（3）。此时，S△AMP大于情况当p＝3时的三角形面积S△AMN。故不存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP。综上，当p＝时，S△AMN＝4S△AMP。【考点】反比例函数，一次函数，待定系数法，二元一次方程组，勾股定理，相似三角形一元二次方程。【分析】(1)用点B(2，1)的坐标代入y＝即可得m值，用待定系数法，求解二元一次方程组可得直线l的解析式。(2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，实际上表示了点是直线y＝2和l的交点，这样要求证△PMB∽△PNA只要证出对应线段成比例即可。(3)首先要考虑点P的位置。实际上，当p＝3时，易求出这时S△AMP＝S△AMN，当p>3时，注意到这时S△AMP大于p＝3时的三角形面积，从而大于S△AMN，。所以只要主要研究当1＜p＜3时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用p表示），然后求出面积表达式，代入S△AMN＝4S△AMP后求出p值。27.（2022江苏南通12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．57\n①若a＝，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，∴BD=CD=BC=6。∵a=2，∴BP=2t，DQ=t。∴BQ=BD－QD=6－t。∵△BPQ∽△BDA，∴，即，解得：。（2）①过点P作PE⊥BC于E，∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。∴PB：AB=CM：AC。∵AB=AC，∴PB=CM。∴PB=PQ。∴BE=BQ=（6－t）。∵a=，∴PB=t。∵AD⊥BC，∴PE∥AD。∴PB：AB=BE：BD，即。解得，t=。∴PQ=PB=t=（cm）。②不存在．理由如下：∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。∴PB：AB=CM：AC。∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ。57\n若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。∴PM=CM。∴四边形PQCM是菱形。∴PQ=CQ。∴PB=CQ。∵PB=at，CQ=BD+QD=6+t，∴PM=CQ=6+t，AP=AB－PB=10－at，且at=6+t①。∵PM∥CQ，∴PM：BC=AP：AB，∴，化简得：6at+5t=30②。把①代入②得，t=。∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上。28.（2022江苏南通14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．57\n【答案】解：（1）将A（0，－4）、B（－2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：，解得，。∴抛物线的解析式：y=x2－x－4。源:学科网ZXXK]（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：，即：。它的顶点坐标P（1－m，－1）。由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）。∴直线AB：y=－2x-4；直线AC：y=x－4。当点P在直线AB上时，－2（1－m）－4=－1，解得：m=；当点P在直线AC上时，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2；又∵m＞0，∴当点P在△ABC内时，0＜m＜。（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB。如图，在△ABN、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；由勾股定理，得AB2=（－2）2+42=20，又AN=OA－ON=4－2=2，∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1－OA=10－4=6。57\n而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2。综上，AM的长为6或2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围。（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长。57
