【2022版中考12年】上海市2022-2022年中考数学试题分类解析专题4图形的变换一、选择题二、填空题1.（上海市2022年2分）在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于▲度．【答案】30。【考点】翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线性质。【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠D=∠A，∠MCD=∠MCA，从而求得答案：在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，∴∠A=∠ACM。将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，设∠A=∠ACM=x度，∴∠A+∠ACM=∠CMB。∴∠CMB=2x。又根据折叠的性质可知∠MCG=∠ACM=x，如果CD恰好与AB垂直，则在Rt△CMG中，∠MCG+∠CMB=90°，即3x=90°，x=30°，即∠A等于30°。2.（上海市2022年2分）正方形ABCD的边长为1。如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D’处，那么tg∠BAD’＝▲。14\n【答案】。【考点】正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数的定义。【分析】根据题意画出图形．根据勾股定理求出BD的长，由旋转的性质求出BD′的长，再运用三角函数的定义解答即可：∵正方形ABCD的边长为1，则对角线BD=。∴BD′=BD=。∴tan∠BAD′=。3.（上海市2022年2分）如图所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为▲。【答案】。【考点】正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形。【分析】连接CH，得：△CFH≌△CDH（HL）。∴∠DCH=∠DCF=（90°－30°）=30°。在Rt△CDH中，CD=3，∴DH=CDtan∠DCH=。4.（上海市2022年3分）在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长为▲【答案】1。【考点】翻折变换（折叠问题）。【分析】∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，14\n∴。又∵△BDE是△ADE翻折而成，DE为折痕，∴DE⊥AB，，∴在Rt△ADE中，。5.（上海市2022年4分）在中，为边上的点，联结（如图所示）．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是▲．【答案】2。【考点】翻折变换（折叠问题）。【分析】∵沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，假设这个点是′。作，垂足分别为。∵在中，，∴′=3，，′=′=3，。∴，即。∴，即。所以点M到AC的距离是2。6.（上海市2022年4分）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示），把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为▲.14\n【答案】1或5。【考点】正方形的性质，旋转的性质，勾股定理。【分析】旋转两种情况如图所示：顺时针旋转得到F1点，由旋转对称的性质知F1C=EC=1。逆时针旋转得到F2点，则F2B=DE=2,F2C=F2B＋BC=5。【答案】80°或120°。【考点】图形旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，邻补角定义。【分析】由已知，B恰好落在初始Rt△ABC的边上且旋转角0°＜m＜180°，故点B可落在AB边上和AC边上两种情况。当点B落在AB边上时（如图中红线），由旋转的性质知△DBE是等腰三角形，由∠B＝50°和等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理可得m＝∠BDE＝80°。当点B落在AC边上时（如图中蓝线），在Rt△CDH中，由已知BD＝2CD，即DH＝2CD，得∠CDH的余弦等于，从而由特殊角三角函数值得∠CDH＝60°，所以根据邻补角定义得m＝∠BDH＝120°。14\n8.（2022上海市4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为▲．【答案】。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质。9.（2022年上海市4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为▲．14\n【答案】。【考点】翻折问题，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】如图，将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，过点E作AH⊥BC于点H，EF⊥BC于F，则EF是△ACH的中位线∵AB=AC，BC=8，∴根据等腰三角形三线合一的性质，得HC=BH=4。∵，即。∴AH=6。∴EF=3，FC=2。设BD=x，则根据翻折的性质，DE=BD=x，又。在Rt△DEF中，根据勾股定理，得，解得，即BD=。三、解答题1.（上海市2022年14分）已知：，点在射线上，（如图）．为直线上一动点，以为边作等边三角形（点按顺时针排列），是的外心．（1）当点在射线上运动时，求证：点在的平分线上（4分）；（2）当点在射线上运动（点与点不重合）时，与交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域（5分）；（3）若点在射线上，，圆为的内切圆．当的边或与圆相切时，请直接写出点与点的距离（5分）．【答案】解：（1）证明：如图，连结，∵是等边三角形的外心，14\n∴，圆心角。当不垂直于时，作，，垂足分别为。由，且，，∴。∴。∴。∴。∴点在的平分线上。当时，，即，∴点在的平分线上。综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上。（2）如图，∵平分，且，∴。由（1）知，，，∴，∴。∵，∴。∴。∴。∴。∴。定义域为：。（3）①如图1，当与圆相切时，；②如图2，当与圆相切时，；③如图3，当与圆相切时，。14\n【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，相似三角形的判定和性质，直线和圆相切的性质。②当点与点重合时，如图2，，，∴点与点的距离。③点在射线的反向上运动（点与点不重合）时，如图3，点与点重合，∴点与点的距离。2.（上海市2022年14分）已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1所示）．（1）当，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长（4分）；（2）在图1中，联结．当，且点在线段上时，设点14\n之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域（5分）；（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小（5分）．【答案】解：（1）∵，∴为等腰直角三角形。∴。∴。∵，∴为等腰直角三角形。又∵，∴。（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成，，高分别是，则，化简，得。∴。又，∴由得。∴关于的函数解析式为。(3)假设不垂直，则可以作一条直线′垂直于，与交于14\n′点，则：，′，，四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：。又由于所以，点′与点重合，所以。【考点】等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由等腰直角三角形的判定和性质和勾股定理可求出线段的长。（2）由求出和两高之间的关系，即可由列出关于的函数解析式。定义域：当垂直时，这时，∴。当点运动到与点重合时，的取值就是最大值，连接,作，由已知条件得：，，，四点共圆，则由圆周角定理可以推知：,∴。令,则由勾股定理得。在中，，即。在中，，即。消去，整理得：，，得(舍去)。所以函数的定义域为。(3)作出一条直线′垂直于，与交于′点，证明其与点重合即可。3.（2022上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；14\n（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。又∵OB=2，∴。（2）存在，DE是不变的。如图，连接AB，则。∵D和E是中点，∴DE=。（3）∵BD=x，∴。∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。∴∠2+∠3=45°。过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=。由△BOD∽△EDF，得，即，解得EF=x。∴OE=。∴。14\n数关系式。∵，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴。4.（2022年上海市14分）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，连接QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．14\n径为，若⊙P和⊙Q外切，则，即。代入，得解得。∴当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，。（3）∵EF=EC=4，且EF⊥PQ，EC⊥BC，∴PQ和BC是以点E为圆心，4为半径圆的两条切线。连接EQ，易得，△ABP∽△CEQ，∴。∵AB=5，AP=x，CE=4，CQ=，∴，即。14\n代入，得整理，得，解得。∴满足条件的x值为：或。14
