专题检测（四）排列、组合、二项式定理一、选择题1．(2019·重庆模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A．48 B．72C．90D．96解析：选D 由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛．①当甲参加另外3场竞赛时，共有C·A＝72(种)选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A＝24(种)选择方案．综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种)．故选D.2.6的展开式中，有理项共有( )A．1项B．2项C．3项D．4项解析：选D 6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·36－r·x6－r，令6－r为整数，求得r＝0,2,4,6，共计4项．故选D.3．(2019·济南模拟)已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝( )A．18B．24C．36D．56解析：选B ∵(2x－1)4＝[(2x－2)＋1]4＝[1＋(2x－2)]4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，∴a2＝C·22＝24.故选B.4．在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为( )A．－5B．－15C．－25D．25解析：选B ∵(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋C(－x)3＋…，∴在(1－x)5·(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为5－2C＝－15.故选B.5．(2019·安庆模拟)在(＋x)65的展开式中，项的系数为( )A．200B．180C．150D．120\n解析：选C (＋x)6展开式的通项公式为Tr＋1＝C()6－rxr＝Cx，令＝4，得r＝2，则T3＝Cx＝15x4.5展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr＝Cy－r，令r＝2可得T3＝Cy－2＝10y－2.故项的系数为15×10＝150.故选C.6．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝( )A．1B．243C．121D．122解析：选B 令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选B.7．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位男生，2位女生，如果2位女生不能连着出场，且男生甲不能排在第一个出场，那么不同出场顺序的排法种数为( )A．12B．24C．36D．60解析：选D 根据题意，分两种情况讨论：①第一个出场的是女生，则第二个出场的是男生，以后的出场顺序任意排，排法有C×C×A＝36(种)；②第一个出场的是除甲之外的剩余2位男生中的1位，将剩下2位男生排好，有C×A种情况，排好后，有3个空位可选，在其中任选2个安排2位女生，有A种情况，则此时的排法有C×A×A＝24(种)，则不同出场顺序的排法种数为36＋24＝60.故选D.8．(2019·新余模拟)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( )A．16种B．18种C．37种D．48种解析：选C 满足题意的不同的分配方案有以下三类：①三个班中只有一个班去甲工厂有C×32＝27(种)方案；②三个班中只有两个班去甲工厂有C×3＝9(种)方案；③三个班都去甲工厂有1种方案．综上可知，共有27＋9＋1＝37(种)不同方案．故选C.\n9．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是( )A．16B．24C．8D．12解析：选A 根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16.故选A.10.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有( )ABCDA．192种B．128种C．96种D．12种解析：选C 根据题意，对于A，B两个方格，可在1,2,3,4中任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C＝6(种)情况，对于C，D两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16(种)情况，则不同的填法共有16×6＝96(种)．故选C.11．在二项式n的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项的系数是( )A．35B．－35C．－56D．56解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n＝8.所以二项式8展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－r(－x－1)r＝(－1)rCx8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，故展开式中含有x2项的系数是(－1)3C＝－56.故选C.12．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方法共有( )A．120种B．156种C．188种D．240种解析：选A 根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丙、丁相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A＝6(种)安排方法，则此时有4×2×6＝48(种)编排方法；②\n甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丙、丁相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A＝6(种)安排方法，则此时有3×2×6＝36(种)编排方法；③甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丙、丁相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A＝6(种)安排方法，则此时有3×2×6＝36(种)编排方法，则符合题意要求的编排方法有48＋36＋36＝120(种)．故选A.二、填空题13．(2019·郑州模拟)已知二项式(2x－3)n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中x2的系数为________．解析：由题意可知2n＝64，n＝6，即二项式为(2x－3)6，所以T5＝C(2x)2(－3)4＝4860x2，所以x2的系数为4860.答案：486014．(2019·上海浦东新区一模改编)已知二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n＝________，展开式中的第五项为________．解析：二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为C＋C＋C＝1＋n＋＝37，则n＝8，故展开式中的第五项为C··x＝x.答案：8 x15．为了迎接植树节的到来，某班现从6名男班委和4名女班委中选取3人，参加义务植树活动，若男、女班委至少各有一人，则不同选法的种数为________．解析：法一：(直接法)男、女班委至少各有一人，不同的选法可分两类：第一类，男班委1人，女班委2人，共有CC种不同的选法；第二类，男班委2人，女班委1人，共有CC种不同的选法．根据分类加法计数原理，不同的选法共有CC＋CC＝96(种)．法二：(间接法)从10名班委中任选3名，共有C种不同的选法；从6名男班委中任选3名，共有C种不同的选法；从4名女班委中任选3名，共有C种不同的选法．所以男、女班委至少各有一人，不同选法的种数为C－C－C＝96.答案：9616．某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为________种．解析：分三步：\n第一步：从5个培训项目中选取3个，共C种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人、1人、3人，共C种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人、2人、2人，共种情况；第三步：将选出的3个培训项目分配给3组教师，共A种情况．故选择情况数为CA＝1500(种)．答案：1500
