专题能力训练19 排列、组合与二项式定理一、能力突破训练1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种2.已知x2+1xn的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为( )A.5B.40C.20D.103.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.212B.211C.210D.294.若x6+1xxn的展开式中含有常数项,则n的最小值等于( )A.3B.4C.5D.65.x2+1x2-23展开式中的常数项为( )A.-8B.-128\nC.-20D.206.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为( )A.1860B.1320C.1140D.10207.若二项式(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则ba+ab的最小值为( )A.2B.52C.136D.928.在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为( )A.1200B.2400C.3000D.36009.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )A.45B.60C.120D.21010.已知二项式x+12ax9的展开式中含x3的系数为-212,则e1x+ax的值为( )A.e2+12B.e2+32C.e2-32D.e2-5211.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案) 12.已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= . 13.(2022全国Ⅰ,理15)从2名女生,4名男生中选3人参加科技比赛,且至少有1名女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 14.在3x-2xn的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于 . 15.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴全运会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有 种.(用数字作答) 8\n16.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= . 17.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 18.某高三毕业班有40名同学,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答) 二、思维提升训练19.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )A.12种B.10种C.9种D.8种20.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )A.5B.6C.7D.821.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有( )A.36种B.30种C.24种D.6种22.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于( )A.27B.28C.7D.823.用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)24.1-90C101+902C102-903C103+…+(-1)k90kC10k+…+9010C1010除以88的余数是( )8\nA.-1B.1C.-87D.8725.某人根据自己爱好,希望从{W,X,Y,Z}中选2个不同字母,从{0,2,6,8}中选3个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z和数字2不能相邻,那么满足要求的车牌号有( )A.198个B.180个C.216个D.234个26.若A,B,C,D四人站成一排照相,A,B相邻的排法总数为k,则二项式1-xkk的展开式中含x2项的系数为 . 27.设二项式x-ax6的展开式中x2的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a= . 28.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.8\n专题能力训练19 排列、组合与二项式定理一、能力突破训练1.B 解析完成这件事,可分两类:第一类,第一个节目排甲,其余位置有A55=120种不同的排法;第二类,第一个节目排乙,最后一个节目有4种排法,其余位置有A44=24种不同的排法.所以共有A55+4A44=216种不同的排法.2.D 解析令x=1,得2n=32,所以n=5,则C5r(x2)5-r1xr=C5rx10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x4的系数为C52=10.3.D 解析由条件知Cn3=Cn7,∴n=10.∴(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.4.C 解析展开式的通项为Tr+1=Cnr(x6)n-r1xxr=Cnrx6n-152r,因为展开式中含常数项,所以6n-152r=0成立,即n=54r.当r=4时,n有最小值5.故选C.5.C 解析因为x2+1x2-23=x-1x6,所以Tr+1=C6rx6-r-1xr=(-1)rC6rx6-2r,所以当r=3时为常数项,常数项为-C63=-20.6.C 解析依题意,就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C21·C63·A44=960;第二类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C22·C62·A22·A32=180.因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960+180=1140.故选C.7.B 解析令x=1,a=2n,令x=-1,b=4n,ba+ab=2n+12n,令t=2n,t≥2,则ba+ab=2n+12n=t+1t≥2+12=52.故选B.8.B 解析若4人中,有甲电视台记者1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是C51C53A44=1200,若4人中,有甲电视台记者2人,乙电视台记者2人,则不同的提问方式总数是C52C52A22A32=1200,若4人中,有甲电视台记者3人,乙电视台记者1人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为1200+1200=2400.9.C 解析∵(1+x)6展开式的通项为Tr+1=C6rxr,(1+y)4展开式的通项为Th+1=C4hyh,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为C6rC4hxryh,∴f(m,n)=C6mC4n.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C42+C43=20+60+36+4=120.故选C.8\n10.C 解析二项式x+12ax9的展开式的通项公式为Tr+1=C9rx9-r12axr=C9r12arx9-2r,令9-2r=3,r=3,将r=3代入得C9312a3=-212,解得a=-1,e1x-1xdx=12x2-lnx|e1=e2-32.故选C.11.-20 解析(x+y)8的通项为Tr+1=C8rx8-ryr(r=0,1,…,8).当r=7时,T8=C87xy7=8xy7,当r=6时,T7=C86x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.12.4 解析二项展开式的通项Tr+1=Cnr(3x)r=3r·Cnr·xr,令r=2,得32·Cn2=54,解得n=4.13.16 解析方法一:①当3人中恰有1名女生时,有C21C42=12种选法.②当3人中有2名女生时,有C22C41=4种选法.故不同的选法共有12+4=16种.方法二:6人中选3人共有C63种选法,当3人全是男生时有C43种选法,所以至少有1名女生入选时有C63-C43=16种选法.14.112 解析由二项式定理,得所有项的二项式系数之和为2n,由题意,得2n=256,所以n=8.二项式展开式的通项为Tr+1=C8r(3x)8-r-2xr=(-2)rC8rx83-43r,求常数项则令83-43r=0,所以r=2,所以T3=112.15.1080 解析先将6位志愿者分组,共有C62·C42A22种方法;再把各组分到不同场馆,共有A44种方法.由乘法原理知,不同的分配方案共有C62C42A22·A44=1080.16.16 4 解析由二项式展开式可得通项公式为C3rx3-rC2mx2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.17.660 解析由题意可得,总的选择方法为C84C41C31种方法,其中不满足题意的选法有C64C41C31种方法,则满足题意的选法有:C84C41C31-C64C41C31=660种.18.1560 解析该问题是一个排列问题,故共有A402=40×39=1560条毕业留言.二、思维提升训练19.A 解析将4名学生均分为2个小组共有C42C22A22=3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有A22=2种分法,8\n最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A22=2种分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12种.20.B 解析:由题意可知,a=C2mm,b=C2m+1m,∵13a=7b,∴13·(2m)!m!m!=7·(2m+1)!m!(m+1)!,即137=2m+1m+1.解得m=6.故选B.21.B 解析首先从四个人中选择2个人作为一组,其余2个人各自一组分派到三个竞赛区,共有C42·A33种方法,再将甲、乙参加同一学科的种数A33排除,继而所求的安排方法有C42·A33-A33=30种,故答案为B.22.C 解析令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28,①令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0,②由①-②,得2(a1+a3+…+a11)=28,∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=7.23.A 解析本题可分三步:第一步,可取0,1,2,3,4,5个红球,有1+a+a2+a3+a4+a5种取法;第二步,取0或5个蓝球,有1+b5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c)5种取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5种取法.故选A.24.B 解析1-90C101+902C102+…+(-1)k90kC10k+…+9010C1010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C101889+…+C10988+1,∵前10项均能被88整除,∴余数是1.25.A 解析不选2时,有A33A42=72种;选2,不选Z时,有C21C32A22A32=72种;选2,选Z时,2在数字的中间,有A32C21C31=36种,当2在数字的第三位时,有A32A31=18种,根据分类计数原理,共有72+72+36+18=198,故选A.26.1124 解析由题设k=2A33=12,所以Tr+1=C12r-x12r=C12r-112rxr,则由题设可知r=2,所以含x2项的系数为C1221122=66×1122=1124,应填答案1124.27.-3 解析Tr+1=C6rx6-r·-axr=(-a)rC6rx6-2r,令6-2r=2,得r=2,A=a2C62=15a2;令6-2r=0,得r=3,B=-a3C63=-20a3,代入B=4A得a=-3.28.解(1)先选内科医生有C63种选法,再选外科医生有C42种选法,故选派方法的种数为C63·C42=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为C61·C44+C62·C43+C63·C42+C64·C41=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为C105-C65=246.8\n(3)分两类:一是选1名主任有C21·C84种方法;二是选2名主任有C22·C83种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为C21·C84+C22·C83=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为C105-C85=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有C94种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有C84-C54种选法.故有选派方法的种数为C94+C84-C54=191.8
