课时作业77 相似三角形的判定及有关性质一、填空题1．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形为________．解析：由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE.答案：△FCD、△FBE、△ABD2．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD＝5，DB＝3，FC＝2，则BF＝________.解析：由平行线的性质可得＝＝＝，所以BF＝FC＝.答案：3．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，ADBD＝23.则△ACD与△CBD的相似比为________．解析：8\n如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，又∵AD:BD＝2:3，令AD＝2x，BD＝3x(x>0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝x.又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A＝∠BCD.∴△ACD∽△CBD.易知△ACD与△CBD的相似比为＝＝.即相似比为:3.答案：:34.如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝__________.解析：∵AB∥CD∥EF，∴＝，＝，∴＝，＝，∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，∴＝4＝，8\n∴EF＝3.答案：35．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.解析：∵EF∥AD∥BC，∴△OAD∽△OCB，OA:OC＝AD:BC＝12:20，△OAE∽△CAB，OE:BC＝OA:CA＝12:32，∴EF＝2××20＝15.答案：156．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析：连接AD，由射影定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.答案：58\n7．如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于点H，BC＝4，AH＝，则△DEF的边长为________．解析：设DE＝x，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等，又DE∥BC，则＝＝，∴＝＝，解得x＝.答案：8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB＝9，则BM＝________.解析：∵E是AB的中点，∴AB＝2EB.∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB∥DE，∴∴△EDM∽△FBM.∴＝.∵F是BC的中点，∴DE＝2BF.∴DM＝2BM.∴BM＝DB＝3.8\n答案：39.如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.解析：连接AO，AC，因为∠ABC＝30°，所以∠CAP＝30°，∠AOC＝60°，△AOC为等边三角形，则∠ACP＝120°，∴∠APC＝30°，∴△ACP为等腰三角形，且AC＝CP＝1，∴PA＝2×1×sin60°＝.答案：二、解答题10．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴＝.又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.8\n11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.证明：(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.1．如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AD上的一点，延长BE交AC于点F.若＝，求的值．解：8\n如图，过点A作AG∥BC，交BF的延长线于点G.∵＝，∴＝.又∵△AGE∽△DBE，∴＝＝.∵D为BC中点，BC＝2BD，∴＝.∵△AGF∽△CBF，∴＝＝，∴＝.2．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.求证：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝.从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，8\n故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.8
