课时作业(四十七) 高考解答题专题突破(四)立体几何的热点问题1．(2015·临沂二模)如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，ED∥FB，ED⊥平面ABCD，AD＝BD＝2，BF＝2DE＝2.(1)求证：AE⊥CF；(2)求二面角A－FC－E的余弦值．解：(1)证明：证法一：在△AEF中，AE＝，EF＝，AF＝2，∴AE2＋EF2＝AF2，∴AE⊥EF.在△AEC中，AE＝，EC＝，AC＝2，∴AE2＋EC2＝AC2，∴AE⊥EC.又∵EF∩EC＝E，∴AE⊥平面ECF.又∵FC⊂平面ECF，∴AE⊥CF.证法二：∵四边形ABCD是菱形，AD＝BD＝2，∴AO⊥BD，AC＝2.∵ED⊥平面ABCD，BD＝2，BF＝2DE＝2，故可以以O为坐标原点，以OA，OB所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(，0,0)，E(0，－1，)，C(－，0,0)，F(0,1,2)，∴＝(－，－1，)，＝(，1,2)，∴·＝－3－1＋4＝0，∴AE⊥CF.(2)由(1)，知＝(－，1,2)，＝(－2，0,0)，＝(0,2，)，＝(－6\n，1，－)．设平面AFC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得令z1＝1，得n1＝(0，－2，1)．设平面EFC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，同理可得n2＝(－，－1，)．设二面角A－FC－E的大小θ，则cosθ＝＝＝.2．(2015·泰安二模)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)若点M，N分别是边A1B1，BC的中点，求证：MN∥平面ACC1A1；(2)证明：AB⊥A1C；(3)若AB＝CB＝2，A1C＝，求二面角B－AC－A1的余弦值．解：(1)证明：如图，取AC的中点D，连接DA1，DN，∵N为BC的中点，∴在△ABC中，ND綊AB.又∵M为A1B1的中点，A1B1∥AB，∴A1M綊AB，∴ND綊A1M，∴四边形A1MND为平行四边形．∴MN∥A1D.又MN⊄平面ACC1A1，A1D⊂平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1.(2)证明：取AB的中点E，连接EC，EA1，在△ABC中，CA＝CB，∴EC⊥AB.又在△AA1B中，AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△AA1B为正三角形，∴A1E⊥AB，又A1E∩EC＝E，∴AB⊥平面A1EC，∴AB⊥A1C.(3)∵CA＝CB，AB＝CB＝2，∴△ABC为边长为2的正三角形，且CE＝，6\n易求A1E＝，又A1C＝，∴A1E2＋CE2＝6＝A1C2，∴EC⊥EA1.又EC⊥AB，EA1∩AB＝E，∴EC⊥平面AA1B.故以E为原点，EA所在直线为x轴，EA1所在直线为y轴，EC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∴A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，∴＝(－1,0，)，＝(－1，，0)，＝(0，，0)，∵EA1⊥平面ABC，∴取为平面ABC的一个法向量，设平面AA1C的法向量为n＝(x，y,1)，则有即解得∴n＝(，1,1)，∴cos〈n，〉＝＝＝，∴二面角B－AC－A1的余弦值为.3．(2015·烟台诊测)已知平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD.(1)求证：C′D⊥平面ABD；(2)求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．解：(1)证明：平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，可知C′D＝6，BC′＝BC＝10，BD＝8，即BC′2＝C′D2＋BD2，C′D⊥BD.又∵平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD＝BD，C′D⊂平面BC′D，∴C′D⊥平面ABD.(2)由(1)，知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D－xyz，6\n则D(0,0,0)，A(8,6,0)，B(8,0,0)，C′(0,0,6)，＝(－8,0,0)．∵E是线段AD的中点，∴E(4,3,0)．在平面BEC′中，＝(－4,3,0)，＝(－8,0,6)，设平面BEC′的法向量为n＝(x，y，z)，∴即令x＝3，得y＝4，z＝4，故n＝(3,4,4)．设直线BD与平面BEC′所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.∴直线BD与平面BEC′所成角的正弦值为.4．(2015·威海模拟)已知矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1，沿EF将四边形BEFC向上折起，使得平面B′EFC′⊥平面ADFE.(1)求证：C′D∥平面B′AE；(2)求证：平面B′DE⊥平面B′EF；(3)求二面角A－B′E－F的平面角的余弦值．解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′E∥C′F，AE∥DF，∵AE∩B′E＝E，DF∩FC′＝F，∴平面AB′E∥平面DFC′，∵C′D⊂平面DFC′，∴C′D∥平面B′AE.(2)证明：如图，连接DE，在Rt△DAE中，DE＝＝2，6\n∵EF＝2，DF＝4，∴DE2＋EF2＝DF2，∴DE⊥EF.过B′作B′H⊥EF，∵平面B′EF⊥平面AEF，∴B′H⊥平面AEF，∵DE⊂平面AEF，∴B′H⊥DE.∵B′H∩EF＝H，∴DE⊥平面B′EF.∵DE⊂平面B′DE，∴平面B′DE⊥平面B′EF.(3)以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(2,2,0)，F(0,4,0)，B′.设平面AB′E的法向量为n1＝(x，y，z)，＝，＝(0,2,0)，由得令x＝1，则所以n1＝，平面FB′E的一个法向量为n2＝＝(2,2,0)，∴cos〈n1，n2〉＝＝，由(2)，可知二面角A－B′E－F的平面角为钝角，∴二面角A－B′E－F的平面角的余弦值为－.5．(2014·新课标全国Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E—ACD的体积．6\n解：(1)证明：如图，连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A－xyz，则D(0，，0)，E，＝.设B(m,0,0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)．设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1＝.又n2＝(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设知|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，解得m＝.因为E为PD的中点，所以三棱锥E－ACD的高为.三棱锥E－ACD的体积V＝××××＝.6
