课时作业(三十九)绝对值不等式及柯西不等式(选修4－5)一、选择题1．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B解析：|x－1|＜2⇔－1＜x＜3，x(x－3)＜0⇔0＜x＜3.则(0,3)(－1,3)．故应选B.2．设a，b为满足ab＜0的实数，那么( )A．|a＋b|＞|a－b| B．|a＋b|＜|a－b|C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|＜|a|＋|b|答案：B解析：∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.3．设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )A．2B．－3C．7D．0答案：B解析：由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素为－3.4．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( )A．2B．4C．6D．8答案：A解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.5．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( )A．3B．4C．5D．6答案：C解析：由题，得|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.6．不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )4\nA．(0,4)B．(－1,4]C．[－1,4]D．[0,4]答案：C解析：由绝对值的几何意义易知|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.二、填空题7．(2015·青岛一模)不等式|2x＋1|－|x－4|＞2的解集是________．答案：(－∞，－7)∪解析：原不等式等价于或或解得x∈(－∞，－7)∪.8．(2015·淄博模拟)当|a|≤1，|x|≤1时，关于x的不等式|x2－ax－a2|≤m恒成立，则实数m的取值范围是________．答案：解析：|x2－ax－a2|＝|－x2＋ax＋a2|≤|－x2＋ax|＋|a2|＝|－x2＋ax|＋a2，当且仅当－x2＋ax与a2同号时取等号．故当－x2＋ax≥0时，有|x2－ax－a2|＝|－x2＋ax|＋a2＝－x2＋ax＋a2＝－2＋a2，当x＝时，有最大值a2.而|a|≤1，|x|≤1，所以当a＝1，x＝或a＝－1，x＝－时，|x2－ax－a2|有最大值，且|x2－ax－a2|max＝，故m的取值范围是.9．(2013·山东)在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．答案：解析：当x≤－1时，不等式|x＋1|－|x－2|≥1，即－(x＋1)＋(x－2)＝－3≥1，此时无解；当－1＜x≤2时，不等式|x＋1|－|x－2|≥1，即x＋1＋x－2≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，不等式|x＋1|－|x－2|≥1，即x＋1－x＋2＝3≥1，解得x＞2.故在区间[－3,3]上不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集为1≤x≤3，故所求的概率为＝.4\n10．(2015·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋2|x－a|(a∈R)．不等式f(x)≥1在区间(－∞，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为________．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)解析：当a＞2时，f(x)＝当a＝2时，f(x)＝当a＜2时，f(x)＝∴f(x)的最小值为f(2)或f(a)，则解得a≤1或a≥3.故实数a的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．三、解答题11．设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由|2x－1|＜1，得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M，可知0＜a＜1,0＜b＜1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.12．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图象如图所示．由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0，所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)∵a＞－1，则－＜，4\n∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|＝当x∈时，f(x)＝a＋1，即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立．∴a＋1≤－＋3，即a≤，∴a的取值范围为.13．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.解：(1)由题意得f(x＋2)＝m－|x|，故m－|x|≥0的解集为[－1,1]，即|x|≤m的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，且＋＋＝m＝1，∴(a＋2b＋3c)＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋6＝9，当且仅当＝＝＝＝＝＝1时等号成立，∴a＋2b＋3c≥9.4
