第六章 不等式、推理与证明第一节 不等式的性质及一元二次不等式课时规范练A组——基础对点练1．若a>b>0，则下列不等式不成立的是( )A.< B．|a|>|b|C．a＋b<2D．<解析：∵a>b>0，∴<，且|a|>|b|，a＋b>2，又f(x)＝是减函数，∴<.故C项不成立．答案：C2．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则( )A.－＞0B．sinx－siny＞0C．()x－()y＜0D．lnx＋lny＞0答案：C3．若a>b，则下列各式正确的是( )A．a·lgx>b·lgxB．ax2>bx2C．a2>b2D．a·2x>b·2x解析：已知a>b，选项A，由已知不等式两边同乘lgx得到，由不等式的性质可知，当lgx>0时，a·lgx>b·lgx；当lgx＝0时，a·lgx＝b·lgx；当lgx<0时，a·lgx<b·lgx．故该选项不正确．选项B，由已知不等式两边同乘x2得到，由不等式的性质可知，当x2>0时，ax2>bx2；当x2＝0时，ax2＝bx2.故该选项不正确．选项C，由已知不等式两边平方得到，由不等式的性质可知，当a>b>0时，a2>b2；当a>0>b且|a|<|b|时，a2<b2.故该选项不正确．选项D，由已知不等式两边同乘2x得到，且2x>0，所以a·2x>b·2x.故该选项正确．答案：D4．设a，b∈R，若a＋|b|＜0，则下列不等式成立的是( )\nA．a－b＞0B．a3＋b3＞0C．a2－b2＜0D．a＋b＜0解析：当b≥0时，a＋b＜0；当b＜0时，a－b＜0，所以a＜b＜0，所以a＋b＜0.答案：D5．(2020·运城模拟)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A．ac＞bdB．ac＜bdC．ad＜bcD．ad＞bc解析：根据c＜d＜0，有－c＞－d＞0，由于a＞b＞0，两式相乘有－ac＞－bd，ac＜bd.答案：B6．函数f(x)＝的定义域是( )A．(－∞，1)∪(3，＋∞)B．(1，3)C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．(1，2)∪(2，3)解析：由题意得－x2＋4x－3＞0，即x2－4x＋3＜0，所以1＜x＜3，又ln(－x2＋4x－3)≠0，即－x2＋4x－3≠1，所以x2－4x＋4≠0，所以x≠2.故函数定义域为(1，2)∪(2，3)．答案：D7．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A．a>0，4a＋b＝0B．a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0D．a<0，2a＋b＝0解析：∵f(0)＝f(4)>f(1)，∴c＝16a＋4b＋c>a＋b＋c，∴16a＋4b＝0，即4a＋b＝0，且15a＋3b>0，即5a＋b>0，而5a＋b＝a＋4a＋b，∴a>0.故选A.答案：A8．(2020·蓉城名校高三第一次联考)已知a＝4cos，b＝3sin，c＝3cos，则a，b，c的大小关系是( )A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．a＜c＜b解析：因为＝＝tan＜tan＝1，且b＝3sin＞0，c＝3cos＞0，所以b＜c；设f(x)＝cosx，x∈(0，)，则f′(x)＝－cosx－sinx＝－(cosx＋sinx)＜0，x∈(0，)，所以函数f(x\n)在(0，)上单调递减，所以f()＜f()，即3cos＜4cos，即c＜a.所以b＜c＜a，故选B.答案：B9．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为__________．解析：依题意知，解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－2<x<3.所以不等式的解集为(－2，3)．答案：(－2，3)10．已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则解得因为－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，所以－π＜2(α－β)＜π，故－π＜3α－β＜2π.答案：(－π，2π)B组——素养提升练11．已知a＞b＞0，则－与的大小关系是( )A.－＞B．－＜C.－＝D．无法确定解析：(－)2－()2＝a＋b－2－a＋b＝2(b－)＝2(－)，因为a＞b＞0，所以－＜0，所以(－)2－()2＜0，所以－＜.答案：B12．已知下列不等式：①x2－4x＋3＜0；②x2－6x＋8＜0；③2x2－9x＋a＜0，且使不等式①②成立的x也满足③，则实数a的取值范围是( )A．a≥B．a≤10C．a≤9D．a≥－4解析：联立①②得即解得2＜x＜3，所以2＜x＜3也满足③2x2－9x＋a＜0，所以③的解集非空且(2，3)是③的解集的子集．令f(x)＝2x2－9x＋a，即2＜x＜3时，f(x)max＜0，又f(x)的对称轴为x＝.由f(x)＝2x2－9x＋a＜0，得f(2)＝8－18＋a≤0，且f\n(3)＝18－27＋a≤0，解得a≤9.答案：C13．(2020·河南新乡一模)设函数f(x)＝e－x－ex－5x，则不等式f(x2)＋f(－x－6)＜0的解集为( )A．(－3，2)B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C．(－2，3)D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析：∵f(－x)＝ex－e－x＋5x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∵f(x2)＋f(－x－6)＜0，即f(x2)＜－f(－x－6)＝f(x＋6)．由f(x)的图像(图略)知，f(x)是减函数，∴f(x2)＜f(x＋6)，∴x2＞x＋6，解得x＜－2或x＞3.故不等式f(x2)＋f(－x－6)＜0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．答案：D14．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－4]B．[－4，＋∞)C．[－4，3]D．[－4，3)解析：不等式x2－2x－3≤0的解集为[－1，3]，假设的解集为空集，则不等式x2＋4x－(a＋1)≤0的解集为集合{x|x<－1或x>3}的子集，因为函数f(x)＝x2＋4x－(a＋1)的图像的对称轴方程为x＝－2，所以必有f(－1)＝－4－a>0，即a<－4，则使的解集不为空集的a的取值范围是a≥－4.答案：B15．已知－<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，D＝，则A，B，C，D的大小关系是__________．解析：令a＝－，则A＝，B＝，C＝，D＝，所以D<B<A<C.答案：D<B<A<C16．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．解析：当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0，5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5，5)．所以f(x＋2)<5的解集为(－7，3)．答案：(－7，3)
