第四章第二节同角三角函数的根本关系式及诱导公式题组一同角三角函数根本关系式的应用1.已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，那么sin(－2π＋α)＝( )A.－B.C.±D.解析：由cos(α－π)＝－得，cosα＝，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－＝－.答案：A2.已知α∈(，)，tan(α－7π)＝－，那么sinα＋cosα的值为( )A.±B.－C.D.－解析：tan(α－7π)＝tanα＝－，∴α∈(，π)，sinα＝，cosα＝－，∴sinα＋cosα＝－.答案：B3.已知tanθ＝2，那么＝( )A.2B.－2C.0D.解析：＝＝＝＝＝－2.答案：B-5-/5\n题组二化简问题4.(tanx＋)cos2x＝( )A.tanxB.sinxC.cosxD.解析：(tanx＋)cos2x＝(＋)cos2x＝·cos2x＝＝.答案：D5.sin(π＋)sin(2π＋)sin(3π＋)…sin(2022π＋)的值等于 .解析：原式＝(－)(－)…＝－.答案：－6.假设sinθ＝，那么＋的值为 .解析：原式＝＋＝＋＝＝＝6.答案：6题组三条件求值问题7.已知sin(α－)＝，那么cos(＋α)＝( )A.B.－C.D.－-5-/5\n解析：∵cos(＋α)＝sin[－(＋α)]＝sin(－α)＝－sin(α－)＝－.答案：D8.已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg＝n，那么lgsinA的值为( )A.m＋B.m－nC.(m＋)D.(m－n)解析：两式相减得lg(l＋cosA)－lg＝m－n⇒lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n⇒lgsin2A＝m－n，∵A为锐角，∴sinA＞0，∴2lgsinA＝m－n，∴lgsinA＝.答案：D9.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)假设α为第三象限角，且cos(α－π)＝，求f(α)的值；(3)假设α＝－π，求f(α)的值.解：(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵cos(α－π)＝－sinα＝，∴sinα＝－，又∵α为第三象限角，∴cosα＝－＝－，-5-/5\n∴f(α)＝.(3)∵－π＝－6×2π＋π∴f(－π)＝－cos(－π)＝－cos(－6×2π＋π)＝－cosπ＝－cos＝－.题组四公式的灵活应用10.已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零常数，假设f(2009)＝－1，那么f(2010)等于( )A.－1B.0C.1D.2解析：法一：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝－1，∴f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1.法二：f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asin[π＋(2009π＋α)]＋bcos[π＋(2009π＋β)]＝－asin(2009π＋α)－bcos(2009π＋β)＝－f(2009)＝1.答案：C11.假设f(cosx)＝cos3x，那么f(sin30°)的值为 .解析：∵f(cosx)＝cos3x，∴f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos3×60°＝cos180°＝－1.答案：－112.是否存在角α，β，α∈(－，)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？假设存在，求出α，β的值；假设不存在，请说明理由.解：假设存在角α，β满足条件，那么-5-/5\n由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝，∴sinα＝±.∵α∈(－，)，∴α＝±.当α＝时，cosβ＝，∵0＜β＜π，∴β＝；当α＝－时，cosβ＝，∵0＜β＜π，∴β＝.此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝，β＝满足条件.-5-/5
