第三章第二节同角三角函数根本关系式与诱导公式题组一同角三角函数根本关系式的应用1.已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，那么sin(－2π＋α)＝样( )A．－B.C．±D.解析：由cos(α－π)＝－得，cosα＝，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－＝－.答案：A2．(2022·潍坊模拟)已知α∈(，)，tan(α－7π)＝－，那么sinα＋cosα的值为( )A．±B．－C.D．－解析：tan(α－7π)＝tanα＝－，∴α∈(，π)，sinα＝，cosα＝－，∴sinα＋cosα＝－.答案：B3．已知tanθ＝2，那么＝( )A．2B．－2C．0D.解析：＝＝＝＝＝－2.答案：B题组二化简问题4.(tanx＋)cos2x＝( )A．tanxB．sinxC．cosxD.解析：(tanx＋)cos2x＝(＋)cos2x5/5\n＝·cos2x＝＝.答案：D5．sin(π＋)sin(2π＋)sin(3π＋)…sin(2022π＋)的值等于________．解析：原式＝(－)(－)…＝－.答案：－6．如果sinα·cosα＞0，且sinα·tanα＞0，化简：cos·＋cos·.解：由sinα·tanα＞0，得＞0，cosα＞0.又sinα·cosα＞0，∴sinα＞0，∴2kπ＜α＜2kπ＋(k∈Z)，即kπ＜＜kπ＋(k∈Z)．当k为偶数时，位于第一象限；当k为奇数时，位于第三象限．∴原式＝cos·＋cos·＝cos·＋cos·＝＝.题组三条件求值问题7.已知cos(＋α)＝－，那么sin(－α)＝( )5/5\nA．－ B.C．－D.解析：sin(－α)＝cos[－(－α)]＝cos(＋α)＝－.答案：A8．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg＝n，那么lgsinA的值为( )A．m＋B．m－nC.(m＋)D.(m－n)解析：两式相减得lg(l＋cosA)－lg＝m－n⇒lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n⇒lgsin2A＝m－n，∵A为锐角，∴sinA＞0，∴2lgsinA＝m－n，∴lgsinA＝.答案：D9．已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)假设α为第三象限角，且cos(α－π)＝，求f(α)的值；(3)假设α＝－π，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵cos(α－π)＝－sinα＝，∴sinα＝－，又∵α为第三象限角，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝.(3)∵－π＝－6×2π＋π∴f(－π)＝－cos(－π)5/5\n＝－cos(－6×2π＋π)＝－cosπ＝－cos＝－.题组四公式的灵活应用10.已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零常数，假设f(2009)＝－1，那么f(2010)等于( )A．－1B．0C．1D．2解析：法一：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝－1，∴f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1.法二：f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asin[π＋(2009π＋α)]＋bcos[π＋(2009π＋β)]＝－asin(2009π＋α)－bcos(2009π＋β)＝－f(2009)＝1.答案：C11．假设f(cosx)＝cos3x，那么f(sin30°)的值为________．解析：∵f(cosx)＝cos3x，∴f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos(3×60°)＝cos180°＝－1.答案：－112．(2022·宁波模拟)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域和最小正周期；(2)假设f(x)＝2f′(x)，求的值．解：(1)∵f′(x)＝cosx－sinx，∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin(2x＋)，函数F(x)的值域为[1－，1＋]，最小正周期为T＝＝π.(2)∵f(x)＝2f′(x)⇒sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，5/5\n∴cosx＝3sinx⇒tanx＝，∴＝＝＝＝.5/5
