第03节空间点、线、面的位置关系班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）1.【2022课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】2.【2022高考浙江文数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【答案】C【解析】由题意知，．故选C．3.【2022届浙江省杭州市高三4月检测（二模）】设，是两个不同的平面，是一条直线，给出下列命题：-16-\n①若，，则；②若，，则.则（）A.①②都是假命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①②都是真命题【答案】B【解析】如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以①正确；若，，则与不一定垂直，所以②错误.故选择B.4.已知两直线m，n及两个平面α，β，给出下列四个命题，正确的命题是（）．A.若m∥α，n∥α则m∥nB.若α⊥β，m⊥α，n⊥β则m⊥nC.若α⊥β，m∥β则m⊥αD.若α∥β，m∥α则m∥β【答案】B【解析】A中，m与n可能相交，不一定是平行的故A错误．B中，两条线垂直于两个垂直的平面，则两条线应是垂直关系，故B正确．C中，m与α可能平行，故C错误．D中，m可能在β上，此时不满足m∥βD错误．故选B．5.【2022年福建省数学基地校】已知、是两条不同直线，、为两个不同平面，那么使成立的一个充分条件是( )A.，B.，C.，，D.上有不同的两个点到的距离相等【答案】C6.【浙江省嘉兴市高三教学测试】已知直线,m和平面,下列命题正确的是()A.若则B.若则C.若则D.若则【答案】D-16-\n7.设为空间不重合的直线，是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（）①//，//，则//；②，，则//；③若；④若∥，，，则∥；⑤若⑥，则A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】试题分析：①显然正确；②可能相交；③l可能在平面内；④l可能为两个平面的交线，两个平面可能相交；⑤可能相交；⑥显然正确，故选C．8.【2022届浙江台州中学高三10月月考】正方体中，是的中点，为底面的中心，为棱上的任意一点，则直线与直线所成的角为（）A.B.C.D.与点的位置有关【答案】C.【解析】如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，设，，，，∴，，∴，即，故夹角为，故选C.9.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）．-16-\nA.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1角为60°【答案】D10.【温州市十校联合体期末联考】空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF＝，则异面直线AD,BC所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】设G为AC的中点，由已知中AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF-16-\n＝，根据三角形中位线定理，我们易求出∠EGF为异面直线AD、BC所成的角（或其补角），解三角形EGF即可得到答案.11.【安徽蚌埠市高二期末】在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．B．C．D．【答案】C12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=12，则下列结论中错误的是（）．A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等【答案】D【解析】连接，则，所以平面，则-16-\n，故A正确；因为平面，所以平面，故B正确；因为三棱锥A-BEF的底面是底边为，高为棱长的三角形，面积为，三棱锥的高为点到平面的距离，所以三棱锥A-BEF的体积是定值，故C正确；显然ΔAEF的面积与ΔBEF的有相同的底边，且到的距离是棱长1，且到的距离是，即两三角形的面积不相等，故D错误；；故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）13.【2022高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△，直线AC与所成角的余弦的最大值是______．【答案】-16-\n此可设，则，与平行的单位向量为，所以＝，所以时，取最大值．14.下列命题中不正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．-16-\n【答案】①②15.【北京市朝阳区高三第一次综合练习】如图，在四棱锥中，底面．底面为梯形，，∥,，．若点是线段上的动点，则满足的点的个数是．【答案】16.【2022届福建闽侯县二中高三上期中】如图，正方体的棱长为1，是的中点，则下列四个命题：①直线与平面所成的角等于45°；②四面体在正方体六个面内的投影图形面积的最小值为；③点到平面的距离是；④与所成的角为．-16-\n其中真命题的序号是____________．【答案】①②④【解析】试题分析：①与面所成的角即为，∴①正确；②在四个面上的投影或为正方形或为三角形，最小为三角形面积为，∴②正确；③，，∴到面的距离等于到面的距离为，∴③不正确；④与所成的角即为与所成的角，即，，，，．∴，故与所成的角为，∴④正确．故答案为：①②④.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于点M，RQ、DB的延长线交于点N，RP、DC的延长线交于点K，求证：M、N、K三点共线．【答案】证明见解析.18.（本题满分12分）【2022届河南省豫北重点中学高三4月联考】如图，四棱柱中，平面，，，为-16-\n的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，，求证：平面平面.【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）分别取的中点，连结，可证明四边形是平行四边形，所有又根据中，中位线的性质，，根据平行线的传递性可知；（Ⅱ）根据条件可证明，所有平面，即，也可证明，所有平面，即证明了平面平面.试题解析：（Ⅰ）分别取中的中点为，并连接，则由，得，，，可得四边形为平行四边形，那么，，又，，所以，且，得四边形是平行四边形，可得，又，所以.（Ⅱ）取中点，连接，则，可得，则，即，，那么，又，得平面，那么，由，得，又，那么，-16-\n同理，，即得，可得平面，即得平面平面.19.（本题满分12分）【2022届浙江省名校协作体高三下学期考试】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD//BC，AB=BC=CD=1，DA=2，DP⊥平面ABP，O,M分别是AD,PB的中点.（Ⅰ）求证：PD//平面OCM；（Ⅱ）若AP与平面PBD所成的角为60∘，求线段PB的长.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）PB=33.试题解析：（Ⅰ）连接BD交OC与N，连接MN.因为O为AD的中点，AD=2，所以OA=OD=1=BC.又因为AD//BC，所以四边形OBCD为平行四边形，所以N为BD的中点，因为M为PB的中点，所以MN//PD.又因为MN⊂平面OCM，PD⊄平面OCM，所以PD//平面OCM.（Ⅱ）由四边形OBCD为平行四边形，知OB=CD=1，所以ΔAOB为等边三角形，所以∠A=60∘，所以BD=1+4-2×1×2×12=3，即AB2+BD2=AD2，即AB⊥BD.因为DP⊥平面ABP，所以AB⊥PD.又因为BD∩PD=D，所以AB⊥平面BDP，所以∠APB为AP与平面PBD所成的角，即∠APB=60∘，所以PB=33.20.（本题满分12分）【2022届江苏省如东高级中学高三2月摸底】如图，在四棱锥P-ABCD-16-\n中，PC⊥平面PAD，AB∥CD,CD=2AB=2BC,M,N分别是棱PA,CD的中点.（1）求证：PC∥平面BMN；（2）求证：平面BMN⊥平面PAC.【答案】（1）详见解析（2）详见解析面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定与性质定理：先由平行四边形ABCN为菱形得BN⊥AC，再由PC⊥平面PAD得PC⊥AD，即BN⊥PC，从而得BN⊥平面PAC试题解析：（1）设AC∩BN=O，连结MO,AN，因为AB=12CD,AB∥CD，N为CD的中点，所以AB=CN,AB∥CN，所以四边形ABCN为平行四边形，所以O为AC的中点，所以MO∥PC又因为MO⊂平面BMN，PC⊄平面BMN，所以PC∥平面BMN.（2）（方法一）因为PC⊥平面PDA，AD⊂平面PDA所以PC⊥AD，由（1）同理可得，四边形ABND为平行四边形，所以AD∥BN，所以BN⊥PC因为BC=AB，所以平行四边形ABCN为菱形，所以BN⊥AC，因为PC∩AC=CAC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BN⊥平面PAC因为BN⊂平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC.（方法二）连结PN，因为PC⊥平面PDA，PA⊂平面PDA，所以PC⊥PA因为PC∥MO，所以PA⊥MO，因为PC⊥平面PDA，PD⊂平面PDA，所以PC⊥PD因为N为CD的中点，所以PN=12CD，由（1）AN=BC=12CD，所以AN=PN又因为M为PA的中点，所以PA⊥MN因为MN∩MO=M，MN⊂平面BMN，MO⊂平面BMN所以PA⊥平面BMN，因为PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN.-16-\n21.（本题满分12分）【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月基础测试】如图，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°.（I）求证：直线AE⊥平面PAB；（II）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2)277.试题解析：（I）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，∴AE⊥CD又∵AB//CD,∴AE⊥AB又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AE,PA∩AB=A∴直线AE⊥平面PAB.（II）（方法一）连接PE,过A点作AH⊥PE于H点.∵CD⊥EA,CD⊥PA,EA∩PA=A,∴CD⊥平面PAE，∴CD⊥AH.-16-\n又∵AH⊥PE，∴AH⊥平面PCD.所以∠AEP为直线AE与平面PCD所成的角.在RtΔPAE中，PA=2,AE=3，∴sin∠AEP=PAPE=27=277∴直线AE与平面PCD所成角的正弦值为277（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系A-xyz.P0,0,2,E0,3,0,C1,3,0,D-1,3,0.AE=0,3,0,PC=1,3,-2,DC=2,0,0设平面PCD的法向量n=x,y,z，PC⋅n=0DC⋅n=0⇒x+3y-2z=02x=0⇒n=0，1，32cos<AE,n>=AE⋅nAE⋅n=277.所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为27722.（本题满分12分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AD,DD1的中点，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1，且这个几何体的体积为403．-16-\n（1）求证：EF//平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【解析】试题分析：(1)证得是平行四边形,得出线线平行,利用线面平行的判定定理证明命题成立；(2)利用等体积转化,求出；(3)在平面中作,过作,推出,证明,推出相似于,求得.（2）∵VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=2×2×AA1-13×12×2×2×AA1=103AA1=403，∴AA1=4．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分-16-\n（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于，过作QP//CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D.因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D，∴C1D⊥A1D1，而QP//CB,CB//A1D1，∴QP//A1D1，又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQC1,且A1P⊂平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D，∵ΔD1C1Q∼RtΔC1CD，∴C1QCD=D1C1C1C，∴C1Q=1，又∵PQ//BC，∴PQ=14BC=12．∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=5，∴A1P=(2-12)2+5=292．．．．．．．．．．12分-16-
