第三节 空间点、线、面的位置关系考点 空间点、线、面的位置关系1.(2022·广东，6)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交解析 若l与l1，l2都不相交则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交.答案 D2.(2022·湖北，5)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( )A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析 由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以p⇒q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q⇒/p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件.故选A.答案 A3.(2022·浙江，4)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β( )A.若l⊥β，则α⊥βB.若α⊥β，则l⊥mC.若l∥β，则α∥βD.若α∥β，则l∥m解析 选项A：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β，A正确；选项B：α⊥β，l⊂α，m⊂β，l与m位置关系不固定；选项C，∵l∥β，l⊂α，∴α∥β或α与β相交.选项D：∵α∥β，l⊂α，m⊂β.此时，l与m位置关系不固定，故选A.答案 A4.(2022·安徽，15)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).6\n①当0＜CQ＜时，S为四边形；②当CQ＝时，S为等腰梯形；③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝；④当＜CQ＜1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为解析 当CQ＝时，D1Q2＝D1C＋C1Q2，AP2＝AB2＋BP2，所以D1Q＝AP.又因为AD1∥PQ，AD1＝2PQ，所以②正确；当0＜CQ＜时，截面为APQM，所以为四边形，故①也正确，如图①所示. 图① 图②图③如图②，当CQ＝时，由△QCN∽△QC1R得＝，即＝，C1R＝，故③正确.如图③所示，当CQ＝1时，截面为APC1E，6\n可知AC1＝，EP＝且APC1E为菱形，S四边形APC1E＝，故⑤正确.当＜CQ＜1时，截面为五边形APQMF.所以④错误.答案 ①②③⑤5.(2022·四川，18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论.(3)证明：直线DF⊥平面BEG.(1)解 点F，G，H的位置如图所示.(2)证明 平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明 连接FH，因为ABCDEFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD，6\n又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，同理DF⊥BG，又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.6.(2022·陕西，17)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形.(1)解 由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝CD＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体体积V＝××2×2×1＝.(2)证明 ∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形.7.(2022·新课标全国Ⅱ，18)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.6\n(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥PABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离.(1)证明 设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO∥PB.又因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)解 V＝PA·AB·AD＝AB.由V＝，可得AB＝.作AH⊥PB交PB于H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC.在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，所以AH＝＝.所以A到平面PBC的距离为.8.(2022·天津，17)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.(1)解 如图，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝6\nBC且AD∥BC.又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角.又因为AD⊥PD，在Rt△PDA中，tan∠PAD＝＝2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明 由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)解 在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线.故PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2，可得∠PCD＝30°.在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝.由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.在Rt△PCB中，PB＝＝.在Rt△PEB中，sin∠PBE＝＝.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.6
