第04节应用向量方法解决简单的平面几何问题班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）1．【2022广东佛山二模】直角中，为斜边边的高，若，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意，由射影定理得，故.2．【2022山西三区八校二模】已知，，且，则的值是（）A.6B.5C.4D.3【答案】B3．【2022江西南昌十所重点二模】已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，∴，即，又∵，∴，∴.4．【2022江西4月质检】在矩形中，,，点为的中点，点在边上，若，则的值为（）-11-\nA.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，则，设，由，则，所以，故选B.5.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）A．B．C．1D．-1【答案】A【解析】6.已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，且，设，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C.【解析】如图所示，∵，∴设，，又∵，，∴，∴.-11-\n7.在平行四边形中，，，，为平行四边形内一点，，若（），则的最大值为()（A）1（B）（C）（D）【答案】A【解析】8.已知O是锐角△ABC的外心，若(x，y∈R)，则（）A．x+y≤-2B．-2≤x+y<-1C．x+y<-1D．-1<x+y<0【答案】C【解析】如图，点在直线上，若，则；点在直线的另一侧，若，则；而，所以中.当圆心到AB的距离接近0时，中-11-\n的值将无限增大，故选C.9.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为()A．B．3C．D．-3【答案】A10.【2022浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则A．B．C．D．【答案】C-11-\n11.如图A是单位圆与轴的交点，点在单位圆上，,,四边形的面积为,当取得最大值时的值和最大值分别为()A.，B.，1C.，D.，【答案】C【解析】根据可知四边形为平行四边形，于是，所以，当时，取得最大值.12.【2022北京西城区5月模拟】设是平面上的两个单位向量，.若，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】依题意，，则，所以当时，有最小值，选C.-11-\n二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）13.已知函数，点为坐标原点,点N,向量，是向量与的夹角，则的值为．【答案】【解析】由题意可得是直线的倾斜角，14.【2022浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】15.【2022四川宜宾二诊】在中，，其面积为，则-11-\n的最大值是__________．【答案】所以，又因为，所以，所以，所以,设，即.16.直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，记，其中为抛物线的顶点.（1）当与平行时，________；（2）给出下列命题：①，不是等边三角形；②且，使得与垂直；③无论点在准线上如何运动，总成立.其中，所有正确命题的序号是___.【答案】;①②③【解析】由抛物线方程知，焦点，准线为。（1）当与平行时，因为有公共点，所以三点共线。因为点在准线上，点在直线上，所以关于点对称，所以与是相反向量，所以-11-\n,此时.，当与垂直时，，解得，即.因为，所以且，解得。故②正确；因为，且，所以.故③正确.综上可得正确的序号是①②③.三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知中，，为角分线．（Ⅰ）求的长度；（Ⅱ）过点作直线交于不同两点，且满足，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）角分线定理可得，即．从而根据向量加减法的三角形法则可用表示出，根据即可求得．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所得．再用将表示出即可．-11-\n所以．（2），所以.18.【2022广西陆川】已知向量，，且.（1）若，求及的值；（2）若，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，∵，∴（2）∵，∴，∴-11-\n所以∵，∴，∴当时，取得最小值，当时，取得最大值-1.19.如图，在平面上，点，点在单位圆上，（）（1）若点，求的值；（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围.【答案】（1）-3，（2）.【解析】（1）由于，，所以，，于是.20.已知A、B、C是直线上的不同三点，O是外一点，向量满足，记；（1）求函数的解析式；-11-\n（2）求函数的单调区间．【答案】（1）；（2）单调增区间为．即的单调增区间为．-11-
