专题四立体几何第1讲 三视图及空间几何体的计算问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2022·广东卷)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )．A．大于5B．等于5C．至多等于4D．至多等于3解析 当n＝3时显然成立，故排除A，B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立，故选C.答案 C2．(2022·东北三校第三次模拟)如图，多面体ABCDEFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如右，则其正视图和侧视图正确的是( )．解析 注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D.答案 D3．(2022·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．9\nA．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S＝2×π×12＋×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.答案 D4．(2022·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A.＋πB.＋πC.＋2πD.＋2π解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝π×12×2＋××1＝π＋，选A.答案 A5．(2022·新课标全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝9\n( )．A．1 B．2C．4 D．8解析 由题意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2.答案 B6．在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为( )．A．13B．7＋3C.πD．14解析 由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱或水平放置的圆柱．由图象可知四棱柱的体积最大．四棱柱的高为1，底面边长分别为1,3，所以表面积为2(1×3＋1×1＋3×1)＝14.答案 D7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )．9\nA.B．1C.D.解析 易知正方体是水平放置的，又侧视图是面积为的矩形．所以正方体的对角面平行于投影面，此时正视图和侧视图相同，面积为.答案 D二、填空题8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成．其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2，高为4.所以V＝2×2×4＋×22×π×4＝16＋8π.答案 16＋8π9．(2022·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析 设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.答案 10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．解析 利用三棱锥的体积公式直接求解．VD1－EDF＝VF－DD1F＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.9\n答案 11．(2022·重庆卷改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，直角梯形ABPA1的面积为×(2＋5)×4＝14，计算可得A1P＝5.直角梯形BCC1P的面积为×(2＋5)×5＝.因为A1C1⊥平面A1ABP，A1P⊂平面A1ABP，所以A1C1⊥A1P，故Rt△A1PC1的面积为×5×3＝.又Rt△ABC的面积为×4×3＝6，矩形ACC1A1的面积为5×3＝15，故几何体ABC－A1PC1的表面积为14＋＋＋6＋15＝60.9\n答案 6012．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为________．解析 在Rt△ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝＝.同理，SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，AD＝BD，故SC⊥平面ABD，且△ABD为等腰三角形．因为∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1×＝，则三棱锥S－ABC的体积为××2＝.答案 三、解答题13．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解 由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥EABCD，AB＝8，BC＝6.(1)V＝×8×6×4＝64.(2)四棱锥EABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝9\n＝4；另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2＝＝5.因此S＝2×＝40＋24.14．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD垂直．(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；(2)若∠EAD＝∠EAB＝60°，EF＝2.求多面体ABCDEF的体积．(1)证明 ∵EA＝ED且EE′⊥平面ABCD，∴E′D＝E′A，∴点E′在线段AD的垂直平分线上．同理，点F′在线段BC的垂直平分线上．又四边形ABCD是正方形，∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上．∴直线E′F′垂直且平分线段AD.(2)解 如图，连接EB、EC，由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分．设AD的中点为M，在Rt△MEE′中，由于ME′＝1，ME＝，∴EE′＝.∴VEABCD＝·S正方形ABCD·EE′＝×22×＝.又VEBCF＝VCBEF＝VCBEA＝VEABC＝S△ABC·EE′＝××22×＝，∴多面体ABCDEF的体积为VEABCD＋VEBCF＝2.9\n15．如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积VFDEG.(1)证明 在等边三角形ABC中，AB＝AC.∵AD＝AE，∴＝，∴DE∥BC，∴DG∥BF，如图2，DG⊄平面BCF，∴DG∥平面BCF.同理可证GE∥平面BCF.∵DG∩GE＝G，∴平面GDE∥平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)证明 在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥FC，∴BF＝FC＝BC＝.在图2中，∵BC＝，∴BC2＝BF2＋FC2，∴∠BFC＝90°，∴FC⊥BF.又∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)解 ∵AD＝，9\n∴BD＝，AD∶DB＝2∶1，在图2中，AF⊥FC，AF⊥BF，∴AF⊥平面BCF，由(1)知平面GDE∥平面BCF，∴AF⊥平面GDE.在等边三角形ABC中，AF＝AB＝，∴FG＝AF＝，DG＝BF＝×＝＝GE，∴S△DGE＝DG·EG＝，∴VF－DEG＝S△DGE·FG＝.9
