第3讲 不等式及线性规划问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2022·丽水二模)已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为( )．A.B．4C.D．2解析 由4＝2a＋b≥2，得ab≤2，又a>0，b>0，所以≥，当且仅当a＝1，b＝2时等号成立．答案 C2．已知全集为R，集合A＝，B＝，则A∩∁RB等于( )．A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x<2，或x>4}D．{x|0<x≤2，或x≥4}解析 A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}．∴A∩∁RB＝{x|x≥0}∩{x|x>4，或x<2}，＝{x|0≤x<2，或x>4}．答案 C3．(2022·广东卷)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为( )．A.B．6C.D．4解析 不等式组所表示的可行域如下图所示，由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题当目标函数直线l：y＝－x＋经过A时，z6\n取得最小值即zmin＝3×1＋2×＝，故选C.答案 C4．(2022·陕西卷)设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )．A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q解析 ∵0＜a＜b，∴＞，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.答案 C5．(2022·福建卷)若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于( )．A．－B．－2C．－D．2解析 如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z，由图形可知当y＝2x－z过点时z最小，zmin＝2×(－1)－＝－，故选A.答案 A6\n6．(2022·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( ).甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元解析 设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，每天所获利润为z万元．由已知可得目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值．由得A(2,3)．则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．答案 D二、填空题7．不等式x2＋x－2<0的解集为________．解析 由x2＋x－2<0得－2<x<1，故其解集为{x|－2<x<1}．答案 {x|－2<x<1}8．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．解析 当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5,5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)<5的解集为{x|－7<x<3}．答案 {x|－7<x<3}9．(2022·浙江卷)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．解析 利用不等式求解．因为a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a.因为a2＋b2＋c2＝1，所以－a2＋1＝b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝a2－2bc，所以2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a26\n，所以3a2≤2，所以a2≤，所以－≤a≤.所以amax＝.答案 10．(2022·湖南卷)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.解析 作出不等式组表示的平面区域，结合线性目标函数的最值求k.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝2x＋y，则y＝－2x＋z.易知当直线y＝－2x＋z过点A(k，k)时，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，所以k＝－2.答案 －211．设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．解析 因为＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋取得最小值时，a＝－2.答案 －212．(2022·浙江卷)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.解析 约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC，其中点A(4,4)，B(0,2)，6\nC(2,0)．目标函数z＝kx＋y，化为y＝－kx＋z.当－k≤即k≥－时，目标函数z＝kx＋y，在点A(4,4)取得最大值12，故4k＋4＝12，k＝2，满足题意；当－k>即k<－时，目标函数z＝kx＋y在点B(0,2)取得最大值12，故k·0＋2＝12，无解，综上可知，k＝2.答案 213．有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．解析 本题是实际问题，建立函数关系即可．设矩形场地的宽为xm，则矩形场地的长为(200－4x)m，面积S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2500.故当x＝25时，S取得最大值2500，即围成场地的最大面积为2500m2.答案 2500m2三、解答题14．已知函数f(x)＝.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．解 (1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)∵x>0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.15．(2022·苏北四市调研)近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x6\n(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立F(x)关于x的函数关系式；(2)当x为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？解 (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费，即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C(0)＝＝24，得k＝2400，所以F(x)＝15×＋0.5x＝＋0.5x(x≥0)．(2)因为F(x)＝＋0.5(x＋5)－2.5≥2－2.5＝57.5，当且仅当＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，所以当x为55平方米时，F(x)取得最小值，最小值为57.5万元.6
