高考填空题分项练4 不等式1．(2022·江苏海安测试)关于x的不等式x＋＋b≤0(a，b∈R)的解集{x|3≤x≤4}，则a＋b的值为________．答案 5解析 由题意可得解得⇒a＋b＝5.2．若变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使得目标函数z＝λx＋2y取得最大值，则实数λ的值为________．答案 －1解析 约束条件表示的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．目标函数z＝λx＋2y可化为y＝－x＋，因为有无穷多个点(x，y)使得目标函数z＝λx＋2y取得最大值，分析可得，直线y＝－x＋与直线BC：y＝＋1重合时目标函数取得最大值，且有无穷多个点(x，y)满足要求，6\n所以－＝，解得λ＝－1.3．已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.答案 5解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程可得交点坐标为A，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点A处取得最小值，所以－＝－1，解得m＝5.4．已知x，y满足不等式组则x－2y的最大值为________．答案 －1解析 画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(包含边界)，平移直线z＝x－2y，由图可知，目标函数z＝x－2y过点A时取得最大值，由解得A(1,1)，此时z＝x－2y取得最大值1－2＝－1.5．设x，y>0，且x＋y＝4，若不等式＋≥m恒成立，则实数m的最大值为________．答案 解析 ＋＝＝6\n≥＝(5＋2×2)＝，当且仅当y＝2x＝时等号成立．6．设f(x)＝x2＋x＋1，g(x)＝x2＋1，则的取值范围是________．答案 解析 ＝＝1＋，当x＝0时，＝1；当x>0时，＝1＋≤1＋＝；当且仅当x＝1时取等号．当x<0时，x＋＝－≤－2，则＝1＋≥1－＝.当且仅当x＝－1时取等号．∴∈.7．已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值是________．答案 4解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由解得所以z＝ax＋by在A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2，a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝(a－4)2＋4≥4.方法二 由满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y6\n－3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝2.又因为a2＋b2是原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，故当是原点到直线2a＋b－2＝0的距离时最小，所以的最小值是＝2，所以a2＋b2的最小值是4.8．一批货物随17列货车从A市以vkm/h的速度匀速到达B市，已知两地铁路线长为400km，为了安全，两列货车的间距不得小于2km(货车的长度忽略不计)，那么这批货物全部运到B市，最快需要________h.答案 8解析 这批货物从A市全部运到B市的时间为t＝＝＋≥2＝8(h)，当且仅当v＝100时，取等号．9．(2022·江苏南京金陵中学期末)若对满足x＋y＋6＝4xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围为________．答案 解析 因为4xy≤(x＋y)2，又因为正实数x，y满足x＋y＋6＝4xy，解得x＋y≥3，由x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，可求得a≤x＋y＋，根据双勾函数性质可知，当x＋y＝3时，x＋y＋有最小值，所以a的取值范围为.10．在R上定义运算：AB＝A(1－B)，若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．答案 解析 (x－a)(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，∴－x2＋x＋a2－a<1，即x2－x－a2＋a＋1>0对x∈R恒成立．∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，6\n∴(2a－3)(2a＋1)<0，即－<a<.11．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是________．答案 ∪(2，＋∞)解析 由x<g(x)，得x<x2－2，则x<－1或x>2；由x≥g(x)，得x≥x2－2，则－1≤x≤2.因此f(x)＝即f(x)＝∵当x<－1时，f(x)>2；当x>2时，f(x)>8，∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f(x)的值域是(2，＋∞)．∵当－1≤x≤2时，－≤f(x)≤0，∴当x∈[－1,2]时，函数f(x)的值域是.综上可知，函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．12．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为________．答案 1解析 z＝x2－3xy＋4y2(x>0，y>0，z>0)，∴＝＝≤＝＝1.当且仅当＝，即x＝2y>0时等号成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴＋－＝＋－＝－＋＝－2＋1，∴当y＝1时，＋－取得最大值1.13．(2022·江苏扬州树人学校模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x－b＋1(a，b6\n为正实数)只有一个零点，则＋的最小值为________．答案 解析 ∵函数f(x)＝x2＋2x－b＋1(a，b为正实数)只有一个零点，∴Δ＝4a－4＝4a＋4b－4＝0，∴a＋b＝1.∴＋＝＋＝＝＝－2＋.令t＝3a＋2(t>2)，则a＝，∴－2＋＝－2＋＝－2－＝－2－≥－2－＝，当且仅当t＝，即t＝4时等号成立，此时a＝，b＝.∴＋的最小值为.14．若关于x的不等式(ax－1)(lnx＋ax)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案 解析 令f(x)＝ax－1，g(x)＝lnx＋ax，则M(x)＝f(x)·g(x)(x>0)，当a≠0时，令g′(x)＝a＋＝＝0，则x＝－.(1)当a＝0时，M(x)＝－lnx，不符合题意；(2)当a>0时，f(x)在上恒为负，在上恒为正；g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则需g＝－lna＋1＝0，此时a＝e，符合题意；(3)当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上恒为负；g(x)在上单调递增，在上单调递减，故g(x)在x＝－处取得极大值也是最大值，g(x)≤g＝ln－1≤0，解得a≤－.综上所述，实数a的取值范围是.6
