高考填空题分项练2 平面向量1．已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则·＝________.答案 －16解析 画图(图略)可知，向量与的夹角为∠C的补角，故·＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×＝－16.2．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．答案 解析 设向量a与b的夹角为θ，由题意知(a＋b)·a＝0，∴a2＋a·b＝0，∴|a|2＋|a||b|cosθ＝0，∴1＋2cosθ＝0，∴cosθ＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝.3．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.答案 －4解析 ∵向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，∴ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4.8\n(∵方向相反，∴λ<0⇒k<0)4．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．答案 3解析 由题意得解得∴x－y＝3.5．已知向量a＝(1,2)，b＝(m,4)，且a⊥(2a＋b)，则实数m的值为________．答案 －18解析 方法一 因为a＝(1,2)，b＝(m,4)，所以2a＋b＝(m＋2,8)．因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝m＋2＋16＝0，所以m＝－18.方法二 因为a＝(1,2)，b＝(m,4)，所以a2＝5，a·b＝m＋8.因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝10＋m＋8＝0，所以m＝－18.6．已知平面向量a，b满足|a＋b|＝3，且a－2b与直线x＋2y－2＝0的方向向量垂直，若b＝(－2,3)，则a＝________.答案 (－7,0)或解析 由题意得直线x＋2y－2＝0的斜率k＝－，因为a－2b与直线x＋2y－2＝0的方向向量垂直，所以a－2b所在直线的斜率与直线x＋2y－2＝0的斜率互为负倒数，故可设a－2b＝(m,2m)(m≠0)，从而a＝(m－4,2m＋6)，得a＋b＝(m－6,2m＋9)．因为|a＋b|＝3，所以(m－6)2＋(2m＋9)2＝90，解得m＝－3或m＝－，从而a＝(－7,0)或.7.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·8\n的值是________．答案 9解析 因为O为BD的中点，所以＋＝0，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋·＝9＋·＝－7，所以·＝－16.所以·＝(＋)·(＋)＝2＋·＝25－16＝9.8．已知点O在△ABC所在平面内，且AB＝4，AO＝3，(＋)·＝0，(＋)·＝0，则·取得最大值时线段BC的长度是________．答案 解析 ∵(＋)·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，∴||＝||＝3，同理||＝||＝3，则点O是△ABC的外心．如图，以O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，过点O且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－2，－)，B(2，－)，点C在以O为圆心，3为半径的圆上，8\n设C(3cosθ，3sinθ)，则·＝(4,0)·(3cosθ＋2,3sinθ＋)＝12cosθ＋8，当cosθ＝1，即C(3,0)时，·取得最大值20，此时BC＝.9．在菱形ABCD中，边长AB＝，对角线AC＝4，边DC上(包括D，C点)一动点P与CB的延长线上(包括B点)一动点Q满足DP＝BQ，则·的最小值是________．答案 2解析 方法一 连结BD交AC于点O，因为边长AB＝，对角线AC＝4，所以BD＝2.以O为坐标原点，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy.由题设可知，A(－2,0)，B(0，－1)，C(2,0)，D(0,1)．设P(2t,1－t)，t∈[0,1]，因为DP＝BQ，所以Q(－2t，－1－t)，0≤t≤1.所以·＝(－2－2t，t－1)·(－4t，－2)＝8t2＋6t＋2＝82＋，由二次函数的单调性可知，当0≤t≤1时，y＝8t2＋6t＋2单调递增，所以当t＝0时，·取得最小值，且最小值为2.方法二 因为边长AB＝，对角线AC＝4，所以BD＝2.设向量＝＝a，＝＝b，由余弦定理得cos〈a，b〉＝＝，8\n且a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝××＝3.令＝λa(0≤λ≤1)，则＝－(＋)＝－(b＋λa)，＝＋＝(1－λ)a－(1＋λ)b，·＝(b＋λa)·[(λ－1)a＋(1＋λ)b]＝3(λ－1)＋5(1＋λ)＋5λ(λ－1)＋3λ(1＋λ)＝8λ2＋6λ＋2＝82＋，由二次函数的单调性可知，当0≤λ≤1时，y＝8λ2＋6λ＋2单调递增，所以当λ＝0时，·取得最小值，且最小值为2.10．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________．答案 解析 ∵＝＋，∴3＝2＋，即2－2＝－，∴2＝，即P为AB的一个三等分点，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，而＝－，∴＝＋.8\n又＝－＝－＋，由已知＝t，可得＋＝t，又，不共线，∴解得t＝.11．已知向量a，b满足|a＋b|＝6，|a－b|＝4，则|a|·|b|的取值范围是________．答案 [5,13]解析 方法一 由|a＋b|＝6，|a－b|＝4得，①－②得，a·b＝5，进而得|a|·|b|cosθ＝5(设向量a，b夹角为θ)，则|a|·|b|≥5；①＋②得，|a|2＋|b|2＝26，进而得26＝|a|2＋|b|2≥2|a|·|b|，即|a|·|b|≤13.综上，|a|·|b|的取值范围是[5,13]．方法二 设a＋b＝2m，a－b＝2n，则|m|＝3，|n|＝2，a＝m＋n，b＝m－n.依题意有，(|a|·|b|)2＝|m＋n|2·|m－n|2＝(m2＋n2＋2m·n)·(m2＋n2－2m·n)＝(13＋2m·n)·(13－2m·n)＝169－4(m·n)2，而m·n的取值范围是[－6,6]，故(|a|·|b|)2∈[25,169]，则|a|·|b|的取值范围是[5,13]．12．设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|(t∈R)的最小值为________．答案 解析 ∵|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，∴a2＋2a·b＋b2＝1⇒a·b＝－，8\n∴|a－tb|＝＝＝，∴当t＝－时，|a－tb|min＝.13．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α和β之间的新运算⊗：α⊗β＝.若非零的平面向量a，b满足：a⊗b和b⊗a都在集合中，且|a|≥|b|，设a与b的夹角θ∈，则(a⊗b)sinθ＝________.答案 解析 由题意，设a⊗b＝＝cosθ＝(k1∈Z)，b⊗a＝cosθ＝(k2∈Z)，两式相乘，可得cos2θ＝.因为θ∈，于是<cos2θ<，即<k1k2<，又k1，k2都是整数，所以k1k2＝2，cos2θ＝，所以sinθ＝，又|a|≥|b|，所以k1＝2，k2＝1，a⊗b＝，所以(a⊗b)sinθ＝.14.如图，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝2，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．8\n答案 4－13解析 由题意得AB＝4，CD＝2，·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝||||cos120°＋||||－||||＋||||cos60°＝4×2×＋λ·22－4××2＋2λ·×2×＝－13＋6λ＋≥－13＋2＝4－13，当且仅当λ＝(舍负)时取等号，即·的最小值为4－13.8
