星期二 (概率统计与立体几何) 2022年____月____日1．概率统计知识(命题意图：考查运用排列、组合知识求解离散型随机变量的分布列、数学期望等．)有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ.已知ξ＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量ξ的数学期望．解 (1)∵当ξ＝2时，有C种坐法，∴C＝6，即＝6，∴n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)．(2)∵ξ的可能取值是0，2，3，4.∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝，∴ξ的概率分布列为：ξ0234P则E(ξ)＝0×＋2×＋3×＋4×＝3.2．立体几何知识(命题意图：以平面图形翻折成空间几何体为载体，考查线线、线面垂直关系的转化，考查用空间向量法求二面角的大小等．)在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如图1)．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF－B成直二面角，连接A1B，A1P(如图2)3\n(1)求证：A1E⊥平面BEP；(2)求二面角B-A1P-F的余弦值的大小．(1)证明：不妨设正三角形ABC的边长为3.在图1中，取BE的中点D，连接DF.∵AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2，∴AF＝AD＝2.而∠A＝60°，∴△ADF是正三角形．又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE.又BE∩EF＝E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP.(2)解 由(1)知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF.以E为原点，分别以EB，EF，EA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图3所示的空间直角坐标系．图33\n则A1(0，0，1)，B(2，0，0)，F(0，，0)，P(1，，0)．∴＝(2，0，－1)，＝(1，，－1)，＝(0，，－1)．设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面A1BP和平面A1PF的法向量，由得取y1＝1，得m＝(，1，2)．由得取y2＝1，得n＝(0，1，)．所以cos〈m，n〉＝＝.因为二面角B-A1P-F为钝角，所以二面角B-A1P-F的余弦值为－.3
