考点 三角函数的求值与化简1．(2022·新课标全国Ⅰ，2)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( )A．－B.C．－D.解析 sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.答案 D2．(2022·新课标全国Ⅰ，8)设α∈，β∈，且tanα＝，则( )A．3α－β＝B．3α＋β＝C．2α－β＝D．2α＋β＝解析 由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋sinβcosα，所以sin(α－β)＝cosα，又cosα＝sin，所以sin(α－β)＝sin，又因为α∈，β∈，所以－<α－β<，0<－α<，因此α－β＝－α，所以2α－β＝，故选C.答案 C3．(2022·重庆，9)4cos50°－tan40°＝( )A.B.C.D．2－1解析 4cos50°－tan40°＝＝＝＝＝＝.7\n答案 C4．(2022·重庆，5)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A．－3B．－1C．1D．3解析 因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，而tan(α＋β)＝＝＝－3，故选A.答案 A5．(2022·山东，7)若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝( )A.B.C.D.解析 ∵θ∈，∴2θ∈，∴cos2θ＝－＝－，∴sinθ＝＝，故选D.答案 D6．(2022·大纲全国，7)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝( )A．－B．－C.D.解析 由(sinα＋cosα)2＝，得2sinαcosα＝－.∵α在第二象限，∴cosα<0，sinα>0，∴cosα－sinα＝－＝－，故cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝×＝－，选A.答案 A7．(2022·四川，12)sin15°＋sin75°的值是________．7\n解析 sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝sin(15°＋45°)＝sin60°＝.答案 8．(2022·江苏，8)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．解析 ∵tanα＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tanβ＝3.答案 39．(2022·新课标全国Ⅱ，14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．解析 f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin(x＋φ－φ)＝sinx，因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.答案 110．(2022·新课标全国Ⅰ，15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．解析 f(x)＝sinx－2cosx＝，令cosα＝，sinα＝－，则f(x)＝sin(α＋x)，当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值，即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，所以cosθ＝cos＝cos＝sinα＝－＝－.答案 －11．(2022·江苏，7)已知tan＝2，则的值为________．解析 由tan＝＝2，得tanx＝，＝＝(1－tan2x)＝7\n＝.答案 12．(2022·山东，16)设f(x)＝sinxcosx－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．解 (1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z)．(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝，由题意知A为锐角，所以cosA＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立．因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.13．(2022·江西，16)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.(1)若a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．解 (1)f(x)＝sin＋cos7\n＝(sinx＋cosx)－sinx＝cosx－sinx＝sin，因为x∈[0，π]，从而－x∈，故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.(2)由得又θ∈知cosθ≠0，解得14．(2022·广东，16)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.解 (1)f＝Asin＝，∴A·＝，A＝.(2)f(θ)＋f(－θ)＝sin＋·sin＝，∴[(sinθ＋cosθ)＋(－sinθ＋cosθ)]＝，∴cosθ＝，cosθ＝，又θ∈(0，)，∴sinθ＝＝，∴f＝sin(π－θ)＝sinθ＝.15．(2022·江苏，15)已知α∈，sinα＝.7\n(1)求sin的值；(2)求cos的值．解 (1)因为a∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.16．(2022·广东，16)已知函数f(x)＝cos，x∈R.(1)求f的值；(2)若cosθ＝，θ∈，求f.解 (1)因为f(x)＝cos，所以f＝cos＝cos＝cos＝1.(2)因为cosθ＝，θ∈，所以sinθ＝－.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.所以f＝cos＝cos＝cos2θ－sin2θ7\n＝－－＝.7
