考点一 椭圆的定义及其方程1．(2022·大纲全国，6)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析 由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.又e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1，故选A.答案 A2．(2022·新课标全国Ⅰ，10)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，∴①－②，得＋＝0，即＝－，∵AB的中点为(1，－1)，11\n∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而＝kAB＝＝，∴＝.又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴椭圆E的方程为＋＝1，故选D.答案 D3．(2022·大纲全国，3)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析 ∵2c＝4，∴c＝2.又∵＝4，∴a2＝8，b2＝a2－c2＝4.∴椭圆方程为＋＝1，故选C.答案 C4．(2022·山东，10)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为y＝±x，与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，可得四边形为正方形，其边长为4，双曲线的渐近线与椭圆C的一个交点为(2，2)，所以有＋＝1，又因为e＝＝，a2＝b2＋c2，联立解方程组得a2＝20，b2＝5，故选D.答案 D5．(2022·辽宁，15)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．解析 设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|＋|BN|＝2|F1P|＋2|F2P|＝2×2a＝4a＝12.11\n答案 126．(2022·安徽，14)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．解析 设点A在点B上方，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，故即代入椭圆方程可得＋b2＝1，得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.答案 x2＋＝17．(2022·四川，15)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．解析 设椭圆的右焦点为F1，则|AF|＝2a－|AF1|＝4－|AF1|，∴△AFB的周长为2|AF|＋2|AH|＝2(4－|AF1|＋|AH|)．∵△AF1H为直角三角形，∴|AF1|>|AH|，仅当F1与H重合时，|AF1|＝|AH|，∴当m＝1时，△AFB的周长最大，此时S△FAB＝×2×|AB|＝3.答案 38．(2022·重庆，21)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.解 (1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝＝＝2，即c＝，即c＝，从而b＝＝1.11\n故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)法一 如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则＋＝1，x＋y＝c2，求得x0＝±，y0＝±.由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得x0＞0，从而|PF1|2＝＋.＝2(a2－b2)＋2a＝(a＋)2.由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此，(2＋)|PF1|＝4a，即(2＋)(a＋)＝4a，于是(2＋)(1＋)＝4，解得e＝＝－.法二 如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，得|PF1|＝2(2－)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝＝＝＝＝－.9．(2022·福建，18)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点(0，)，且离心率e＝.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G11\n与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．解 法一 (1)由已知得，解得所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)．得(m2＋2)y2－2my－3＝0.所以y1＋y2＝，y1y2＝－，从而y0＝.所以|GH|2＝＋y＝＋y＝(m2＋1)y＋my0＋.＝＝＝＝(1＋m2)(y－y1y2)，故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋＝－＋＝＞0，所以|GH|＞.故点G在以AB为直径的圆外．法二 (1)同法一．(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝，11\n＝.由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，从而·＝＋y1y2＝＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋＝＋＋＝＞0，所以cos〈，〉＞0.又，不共线，所以∠AGB为锐角．故点G在以AB为直径的圆外．考点二 椭圆的几何性质1．(2022·浙江，9)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )A.B.C.D.解析 椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.又因为四边形AF1BF2为矩形，所以∠F1AF2＝90°.所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，所以|AF1|＝2－，|AF2|＝2＋.所以在双曲线C2中，2c＝2，2a＝|AF2|－|AF1|＝2，11\n故e＝＝＝，故选D.答案 D2．(2022·新课标全国，4)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )A.B.C.D.解析 设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝－c，故cos60°＝＝＝，解得＝，故离心率e＝.答案 C3．(2022·江西，15)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2得＝，所以e＝.答案 4．(2022·福建，14)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，11\n则该椭圆的离心率等于________．解析 由直线y＝(x＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|＝c.又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(＋1)c＝2a，即e＝＝－1.答案 －15．(2022·辽宁，15)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.解析 如图所示．根据余弦定理|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，即|BF|2－16|BF|＋64＝0，得|BF|＝8.又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB|·|BF|cos∠ABF，得|OF|＝5.根据椭圆的对称性|AF|＋|BF|＝2a＝14，得a＝7.又|OF|＝c＝5，故离心率e＝.答案 6．(2022·新课标全国，14)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．解析 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，因为AB过F1且A、B在椭圆上，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.11\n又离心率e＝＝，∴c＝2，∴b＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.答案 ＋＝17．(2022·陕西，20)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．解 (1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.(2)法一 由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝，易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝，从而x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝|x1－x2|＝＝，由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.法二 由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②11\n依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝，因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.8．(2022·北京，19)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由题意得解得a2＝2，故椭圆C的方程为＋y2＝1.设M(xM，0)．因为m≠0，所以－1＜n＜1.直线PA的方程为y－1＝x.所以xM＝，即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)．11\n设N(xN，0)，则xN＝.“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得＝”，即yQ满足y＝|xM||xN|.因为xM＝，xN＝，＋n2＝1.所以y＝|xM||xN|＝＝2.所以yQ＝或yQ＝－.故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，)或(0，－)．11
