考点一 双曲线的定义及其标准方程1．(2022·安徽，6)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是( )A．x2－＝1B.－y2＝1C．x2－＝1D.－y2＝1解析 由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.答案 A2．(2022·天津，5)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1解析 双曲线－＝1的一个焦点为F(2，0)，则a2＋b2＝4，①双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意得＝，②联立①②解得b＝，a＝1，所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.答案 D3．(2022·天津，6)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析 由题意可得＝2，c＝5，所以c2＝a2＋b2＝5a2＝25，解得a2＝5，b2＝20，8\n则所求双曲线的方程为－＝1.答案 A4．(2022·江西，9)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析 设双曲线的右焦点为F，则F(c，0)(其中c＝)，且c＝|OF|＝r＝4，不妨将直线x＝a代入双曲线的一条渐近线方程y＝x，得y＝b，则A(a，b)．由|FA|＝r＝4，得＝4，即a2－8a＋16＋b2＝16，所以c2－8a＝0，所以8a＝c2＝42，解得a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为－＝1.答案 A5．(2022·湖北，2)已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析 在双曲线C1中，实轴长2a＝2sinθ；虚轴长2b＝2cosθ；焦距2c＝2＝2＝2；离心率e＝＝.在双曲线C2中，实轴长2a＝2cosθ；虚轴长2b＝2sinθ；焦距2c＝2＝2＝2；离心率e＝＝.即两条双曲线的焦距相等．故选D.答案 D6．(2022·新课标全国Ⅱ，15)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为______________．8\n解析 由双曲线渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.答案 －y2＝17．(2022·北京，12)已知(2，0)是双曲线x2－＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.解析 由题意：c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2.得b2＝4－1＝3，所以b＝.答案 8．(2022·新课标全国Ⅰ，16)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析 设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1.与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12.答案 129．(2022·天津，11)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________．解析 双曲线C1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C2的渐近线方程为y＝±2x，即＝2，又因为a2＋b2＝5，所以a＝1，b＝2.答案 1 210．(2022·全国，16)已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝________．解析 由角平分线的性质得＝，由题意得F1(－6，0)，F2(6，0)，所以|F1M|＝8，|F2M|＝4，则＝2，所以点A在右支，所以|AF1|－|AF2|＝|AF2|＝2×3＝6.答案 6考点二 双曲线的几何性质8\n1．(2022·湖南，6)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.B.C.D.解析 由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.答案 D2．(2022·四川，7)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )A.B．2C．6D．4解析 右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，∴y＝±2，∴A(2，2)，B(2，－2)，∴|AB|＝4.答案 D3．(2022·重庆，9)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A．±B．±C．±1D．±解析 双曲线－＝1的右焦点F(c，0)，左、右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，易求B，C，8\n则kA2C＝，kA1B＝，又A1B与A2C垂直，则有kA1B·kA2C＝－1，即·＝－1，∴＝1，∴a2＝b2，即a＝b，∴渐近线斜率k＝±＝±1.答案 C4．(2022·湖北，9)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )A．对任意的a，b，e1<e2B．当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2C．对任意的a，b，e1>e2D．当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2解析 e1＝，e2＝.不妨令e1<e2，化简得<(m>0)，得bm<am，得b<a.所以当b>a时，有>，即e1>e2；当b<a时，有<，即e1<e2.故选B.答案 B5．(2022·新课标全国Ⅰ，4)已知双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝( )A．2B.C.D．1解析 由双曲线方程知b2＝3，从而c2＝a2＋3，又e＝2，因此＝＝4，又a>0，所以a＝1，故选D.答案 D8\n6．(2022·重庆，8)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为( )A.B.C．4D.解析 根据双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a.又(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，所以4a2＝b2－3ab，即(a＋b)(4a－b)＝0，又a＋b≠0，所以b＝4a，所以e＝＝＝＝.答案 D7．(2022·广东，8)若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析 若0<k<5，则5－k>0，16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等．故选D.答案 D8．(2022·新课标全国Ⅰ，4)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析 ∵e＝，∴＝，即＝.∵c2＝a2＋b2，∴＝.∴＝.∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴渐近线方程为y＝±x.故选C.8\n答案 C9．(2022·浙江，9)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )A.B.C.D.解析 根据椭圆的定义可得AF1＋AF2＝4，又根据勾股定理，得AF＋AF＝12.解得AF1＝2－，AF2＝2＋.所以C2的离心率为＝.答案 D10．(2022·福建，5)已知双曲线－＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A.B.C.D.解析 ∵右焦点为(3，0)，∴c＝3，又∵c2＝a2＋b2＝a2＋5＝9，∴a2＝4，a＝2，∴e＝＝.答案 C11．(2022·湖南，6)设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )A．4B．3C．2D．1解析 双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，整理得3x±ay＝0，故a＝2，故选C.答案 C12．(2022·山东，15)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．解析 把x＝2a代入－＝1得y＝±b.不妨取P(2a，－b)．又∵双曲线右焦点F2的坐标为(c，0)，∴kF2P＝.由题意，得＝.∴(2＋)a＝c.∴双曲线C的离心率为e＝＝2＋.答案 2＋8\n13．(2022·辽宁，15)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点．若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为____________．解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则解得mn＝2，∴(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝8＋4＝12，∴m＋n＝2，即|PF1|＋|PF2|＝2.答案 214．(2022·重庆，14)设P为直线y＝x与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________．解析 ∵PF1⊥x轴，∴xP＝－c，代入－＝1，得yP＝±，∵P在y＝x上，∴yP＝－，∴3b＝c，∴9b2＝c2，∴9(c2－a2)＝c2，∴＝，∴＝，∴e＝.答案 15．(2022·山东，15)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________________．解析 由题意知a2＋b2＝16－9，即a2＋b2＝7，①又＝2×，即＝，②由①②得a2＝4，b2＝3.∴双曲线方程为－＝1.答案 －＝18
